課例：“二分法求方程的近似解”的問題式教學設計

張麗麗

一、教學內容分析

二分法求方程的近似解是在學習了函數的零點與方程的根的之后，以連續函數的零點存在性定理為依據，打開了求解方程的新思路，體現了方程和函數之間的聯系，它引入了程序化解決問題的方法，體現了現代課改精神又根植了傳統算法，為必修三算法內容作了鋪墊.它包含了函數與方程思想、數形結合思想、極限思想和算法思想等，真實地讓學生在學習中感受“整體→局部”“定性→定量”“精確→近似”“計算→技術”“技法→算法”這些數學思想發展

的過程，具有萌發數學思想萌芽的數學教育價值.

二、教學目標的確定

根據教材特點，新課標的教學要求和學生的認知水平，確定如下教學目標：

1.理解二分法的概念，掌握運用二分法求方程的近似解；

2.體會逼近過程，了解極限思想，感受精確與近似的相對統一；

3.通過合作探究，培養從特殊到一般的歸納能力，增強對數學學習的信心.

三、教學方法的特點

本節課采用問題啟發式與探究式相結合，以學生活動為主：

1.注意以問題引導學習，形成認知沖突，激發求知欲.通過“追問”等方式使學生的心理傾向保持適度的狀態.

2.采取有步驟設置思維障礙等方法，鋪設恰當的認知階梯，呈現與學生思維最近發展區相適應的學習任務.

3.使用“反饋—調節”機制：通過教學反饋，及時調整設問方式，增加提示信息或進一步設置障礙調整學習任務難度.

4.活動的設計注意到兩個“還原”：

（1）還原思維的原發現過程

知識結構的建立，解題思路的探索，數學思想方法的概括過程.

（2）還原學生的思維過程

構建從具體到抽象，從特殊到一般的思維通道，通過設問引導使學生在課堂有高度的思維參與，經歷實質性的數學思維過程.

四、教學診斷分析

學生在學習本節內容時主要有以下兩個困難：

1.本節內容對計算能力要求較高，在縮小區間逐步逼近零點的過程中易計算錯誤而出現急躁情緒，設計了用線段了展示區間的縮小過程，放棄計算出區間端點的函數值而是選擇在線段相應位置標示正負來判別零點所在的區間化繁為簡，用線段貫穿始終，突破難點.

2.對“精確度”要求的理解教師詮釋精確度的含義后，學生很容易熟悉的“精確到0.1”混淆.特別注意介紹“精確度”和“精確到”的差別.“精確度”是衡量近似值與精確值的接近程度，概念較為抽象引導他們通過觀察線段長度來判斷精確度是否達到要求，直觀易掌握.

五、教學過程分析

1.情境引入

提問：請同學們在（0，1000）的范圍內猜出水晶小熊的價格.

學生活動：學生很感興趣，紛紛踴躍發言.學生發現直觀體會到每一個隨機的猜測都會使價格區間得到縮小越來越逼近實際

價格.

教學評價：我選用了一個頗有爭議的情境，對它進行了修改，將它和線段巧妙地結合，將“高”“低”與判斷零點所在區間的“正”“負”對應起來，更直觀演示逼近的過程和二分法的本質.

2.猜想探究

求函數f（x）=x3+x2-2x-2零點在區間（1，2）上的近似值.（精確度為0.3）

操作：“近似值”和“精確度”兩個詞讓學生眼前一亮.詮釋精確度的概念，引導學生通過觀察區間長度判斷是否達到精確度的要求.“精確度”規定達到要求的“范圍”，“精確到”規定達到要求的“位置”.

學生活動：老師詮釋后，學生觀察發現（1，1.5）區間長度0.5>

0.3，不符合要求，（1.25，1.5）長度為0.25達到要求，從而找出1.25或者1.5.

教學評價：當零點精確值復雜或求不出精確值時，我們沒有必要一直重復運算，只需求出零點近似值即可，這里體現了數學運算的另一側重點：估算.用數形結合的方法使學生更直觀地體會精確度的作用，突破難點.

3.合作完善

師：請小組總結用二分法求函數零點近似值的步驟.

學生活動：（1）定區間；（2）取區間中點；（3）計算區間中點值；（4）觀察中點對應函數值.如果此函數值為0，則中點就是函數的零點，運算停止如果中點對應函數值不為0，則選擇新區間；（5）如果新區間長度小于精確度，則將區間端點之一作為近似值；如果新區間長度不小于精確度，則重復1-4.

教學評價：這個活動以小組討論的形式呈現，培養學生從特殊到一般的化歸能力并滲透算法思想.

4.學以致用

師：用二分法求方程x3+3x-7=0在區間（0，1）的近似解（精確度0.1）.

學生活動：學生利用上節課函數的零點與方程的解的聯系，可以想到通過構造函數來求出函數零點近似值來實現.

教學評價：使學生體會到二分法也可以用于求方程的近似解，體現方程與函數的聯系，并進一步熟悉“二分法”步驟.

思考：用二分法求方程x3+3x-7=0的近似解（精確度為0.1）.

師：這個問題和上面老師所提問題有什么不同呢？

生：學生回答沒有給定解的初始區間.

師：上節課我們也遇到過類似的問題，那如何解決這個問題呢？

生：借助圖象來判斷.

師：如何作圖呢？

生：描點法畫出函數f（x）=x3+3x-7的圖象，尋找函數與x軸交點橫坐標范圍.

師：還有沒有別的辦法？這個陌生的函數里有沒有我們熟悉的函數？

生：方程寫成x3=-3x+7的形式，構造函數g（x）=x3，h（x）=-3x+7，通過尋找函數交點橫坐標的范圍來實現.

教學評價：讓學生養成及時總結的習慣，進行自我反饋，培養數學交流和表達的能力.

整個教學過程，通過老師不斷追問，促使學生對問題的深入思考，不僅能使用常用的辦法解決問題，還能在已有的知識體系上進行新的建構，培養學生的思維發散能力.讓學生在自主學習、探究活動中，變“被動接受”為“主動創造”，主動建構知識豐富的學習方式、改進學習方法，使學生學會學習，體驗數學發現與創造的歷程，提高學生獨立獲取知識的能力.

編輯 王團蘭