悖論教學法在高等數學教學中的應用探討

顏冠群

一、悖論與悖論教學法

1.悖論。“悖論”一詞源于古希臘，屬邏輯學名詞，也可稱作“逆論”或“反論”。這個詞的意義較為豐富，它囊括了一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的結論，現在多指在表面上看似能自圓其說的命題或理論體系，在邏輯上卻可以推導出互相矛盾的結論。

一般來說，數學中具體可分為三種悖論。一類稱為“佯謬”，即這個論斷看似絕對錯誤，卻是正確的；一類論斷恰恰相反，看似是正確的，實際卻被證明是錯誤的；還有一類論斷，它的一組推論看起來天衣無縫，卻在邏輯上蘊含著自相矛盾。正如黑格爾所說：矛盾正是對知性的局限性的超越和這種局限性的消解。悖論的出現往往是因為人們對某些概念的理解、認識不夠深刻或存在錯誤所導致的。而解決悖論的過程則是發展認識并超載這種歷史局限性的過程。悖論的提出，曾經在歷史上給數學帶來極大的挑戰和震撼。而隨著對悖論不懈的探討和研究，數學本身也成就了巨大的變革和發展。

2.悖論教學法。在以知識為本位的傳統教學中，悖論往往是受擯棄的，因為傳統教學關注知識的傳授與接收，對于悖論這般“似是而非”或是“自相矛盾”的論斷避而不談，以免淆惑視聽是最佳之道。本文所探討的悖論教學法，則反其道而行，是把悖論適當引入高數課堂的一種教學方法。在課上提出一個悖論，往往能激起學生巨大的好奇心和共鳴。他們一步步走入平坦無奇的小道，遵循著一條無懈可擊的推理思路往前走，忽然之間，發現自己已置身于矛盾之中，究竟是哪錯了？悖論造成的強烈震撼使思維陷入左右搖擺的境地，于是他們努力試圖推翻它或是提出一系列的辦法解決它。正是在這樣不知不覺的過程中，學生也一步步走入了創設的課堂情境。可以說，正是由于悖論本身的奇妙魅力，在課堂中若能不失時機地引入，并且應用得當，不但不會誤入歧途，陷入思維誤區，還將幫助學生認清問題的本質，激發學習的興趣和內驅力。正如邏輯學家赫茨貝格說：“悖論之所以具有重大意義，是由于它們使我們看到我們對某些根本概念的理解存在多大的局限性，事實證明，它們是產生邏輯和語言的新觀念的豐富源泉。”

悖論教學法的理論依據可以從兩方面來探討：一是從心理學理論來看。一方面，教師在課堂中設計合理的悖論，誘使學生走入“錯誤的泥潭”。學生發現后必然在心理上產生警覺，這種警覺可以有效防止思維定式的消極作用。另一方面，在教學中適時引入悖論，然后再加以否定，通過正誤對比，可引起學生的注意，使學生記憶深刻。二是從學習理論來看。悖論教學法可以將學習轉化為學生自主的積極活動，學習不再是被動接受知識的過程，而是主動建構的過程。學生在發現、分析和消除悖論的過程中，進行知識建構、自主學習和重新調整自己的認知結構，使知識經驗更豐富和知識結構更合理、更系統。

二、悖論教學法的應用價值

1.激發學生對數學的興趣。在傳統的高數課堂教學實踐中，學生往往覺得數學理論枯燥乏味、煩瑣難懂，導致學生課堂持續注意時間普遍較短，學習內容和效果都很難得到有效落實。悖論教學法的實質，是讓學生心理形成一種認知失調，以激發其探究心理，培養直接或近景性的內在學習動力。所謂“不憤不啟，不悱不發”。在數學課堂中適時引入悖論，正是創設了一個新穎、有效的探究性學習情境，使其與學生原有的知識結構、思維定式產生矛盾，引發知識結構上的不協調和進一步沖突，造成心理上的懸念和思維上的刺激，激發學生學習探索的興趣。在實踐中適當應用悖論教學法，發起積極主動參與的數學活動，讓個體體驗到有能力來對待外部世界所帶來的變化，激發學生的學習動機，主動探索新情境；也讓學生體會到數學并非“空中樓閣”，而是真正地源于生活，高于生活。

2.有助于理解數學內涵與本質。數學知識往往包含多重屬性，學生對某一知識、概念的學習要經歷逐步剔除非本質屬性，從干擾因素中辨析出本質內涵的“曲折”思維進程。高等數學中涉及的概念大都是以無限結構為思想基礎建立的，理論性強，較為抽象，邏輯結構嚴密而復雜，要把握其中的內涵往往比較困難。悖論的課堂應用恰恰對思維進行了辨析、比較的操練，加強了思維的曲折感和沖擊力，讓學生的認知水平從思維表層進一步深入，落實到深處。同時，數學知識的理解過程，也是靈活運用和拓展的過程。在實踐教學中，對悖論如此“鮮活”的實例思考過程正是在應用中鞏固、拓展的過程。在選擇悖論時，教師可適當加工處理，并精心設計，加強其與課堂知識的聯系，體現知識的結構性和系統性，幫助學生實現有效的正向遷移。

3.提升學生的數學思維品質。“數學是一門理性思維的學科”。在新一輪的高數課程改革中，我們普遍認為：有效的數學學習活動不能依靠單純的模仿和記憶，主動實踐、自主探索和合作交流是學習的重要方式。課堂上，一個悖論的提出、分析和消解的過程，往往是對一個數學概念或理論從表面到實質、從片面到全面、從錯誤到正確的認識過程。悖論不失為理解數學問題和鍛煉數學思維的良好契合點。引導學生主動參與數學活動和策略游戲，正是對學生思維的廣度、深度開展訓練。學生在悖論的分析和解決中開拓思路，深化問題，經歷數學結論的獲得過程，同時培養思維的批判性、敏捷性和創造性，提高數學推理、空間推理和邏輯推理能力。

4.培養學生數學的審美能力。“數學實質上是藝術的一種”。可以說，“哪里有數學，哪里就有美”。數學之美是數學科學力量的理性之美，也是通過數學思維結構折射出的人類力量之美。悖論以揭露理論內在深刻矛盾的方式提出問題，對悖論問題的探究，正是審美主體對于數學中存在的美的真實反映，在感受、追求和欣賞的同時，不僅讓學生對數學美充滿熱忱信念，也讓他們體會到數學美的精髓。這種美不單是形式上對稱、劃一的和諧美，更是邏輯上的抽象美、結構上的整體美、內容上的嚴謹美、方法上的創造美和思路上的應用美。悖論教學法讓學生更直觀感受到現代數學所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質，培養了學生對數學美的鑒賞力，可以作為當前高數課程改革的有益嘗試。

三、悖論教學法的應用策略

1.悖論設疑，導入新課。導入新課是指在講授新的知識內容之前，教師本著一定的教學目標，根據具體內容的特點，精心設計與教學內容相關的引子，引導學生進入學習狀態的行為方式。目的在于調動學生的積極性，點明課堂教學的主要內容，為講授新課做好鋪墊，是教學中一個重要的環節。成功的課堂導入好比磁鐵，能牢牢地吸引學生的注意力，撥動學生的思維之弦，使之產生強烈的求知欲望和高漲的學習熱情。悖論在部分數學知識講授前就可以作為很好的引子進行設疑，引出新的知識點。

2.導致悖論，鞏固知識。在高數課堂教學實踐中，我們發現，由于認知水平的局限性或是負遷移的作用，學生對數學概念的理解往往不能準確把握，經常處于一知半解、似懂非懂的狀態。因此，知識的鞏固必須貫穿于教學過程的始終，學生對學習內容的感知、理解和實際應用，都會對知識的鞏固起到重要作用。在課堂上恰當導致悖論，正確引導，可以有效加深理解，把握實質。導致悖論教學法的關鍵是在講授過新的知識點后，設法引出悖論，然后再用事實、理據否定它，從而澄清錯誤概念，真正牢固樹立起正確的概念。

3.悖論懸疑，承前啟后。在傳統高數課堂教學中，教師總津津樂道于在一節課上解決了多少問題。而在新一輪的課改中，我們定位于學生是課堂學習的主人，那作為教師，就應該努力把沒有“問題”的學生教成有“問題”的學生。理想的一節課，不是教了幾個概念，講授了幾條定理，而是在解決問題的過程中，又產生了多少新問題。只有這些無窮無盡的問題，才能引起學生的思考和探索。現實中的數學悖論就是一種不錯的案例，有一些甚至已經成為了“懸案”，這樣的懸疑無須避諱，倒不妨在課堂最后作為課堂小結的延伸，留給學生去討論、去思考。這些悖論懸疑，可以成為吸引學生繼續前行的動力。