分層感知原點 漸進了解負數(shù)

王天予

(南京師范大學(xué)泰州學(xué)院，江蘇南京，22530)

負數(shù)概念的確立要符合兩個基本要素：原點和基準方向。只有具備這兩個要素，才能夠真正形成負數(shù)的概念。從負數(shù)的起源來看，我們有理由相信負數(shù)是中國人發(fā)明的，因為中國人很早就提出“入倉為正，出倉為負”的說法，并發(fā)明了和負數(shù)有關(guān)的加減計算法則。但是“負數(shù)”這一概念卻遲遲不能被西方數(shù)學(xué)家接受，原因是此時的負數(shù)只符合其中的一個要素：基準方向，對原點還沒有明確的說明。我國古代的正和負是用來表示具體情境中數(shù)量增減變化(相反意義的量)的情況的，而生活中不會出現(xiàn)有3噸貨物卻運走了4噸，有50個銅錢卻付出了80個這樣的情形。西方數(shù)學(xué)家認為負數(shù)是荒謬的，因為所有用負數(shù)解決的實際問題都可以在自然數(shù)的范疇內(nèi)解決。直到西方數(shù)學(xué)家在方程中得到負根(一個比“無/零”更小的數(shù)——笛卡爾)，此時原點出現(xiàn)了，負數(shù)的概念才慢慢被接受，隨著19世紀整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立起來。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“認識負數(shù)”的教學(xué)目標應(yīng)該是什么呢？2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》明確規(guī)定：“在熟悉的生活情境中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示日常生活中的一些量。”[1]這就意味著“在學(xué)習(xí)負數(shù)的過程中，學(xué)生更多的是經(jīng)歷‘具體情境中的數(shù)→解釋數(shù)的意義’這樣的過程，這一過程的重點是幫助學(xué)生認識負數(shù)和正數(shù)表示相反的意義”[2]。這是否意味著小學(xué)生對負數(shù)的認識只要達到我國古代的“入倉為正，出倉為負”的水平就可以了呢？近代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：“作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的數(shù)的系統(tǒng)理論，必須要有一個堅實的邏輯基礎(chǔ)。”[3]小學(xué)生學(xué)習(xí)負數(shù)，是在經(jīng)歷從自然數(shù)向整數(shù)系擴展的過程，這個過程是一個科學(xué)而嚴謹?shù)倪^程，應(yīng)該緊緊圍繞負數(shù)的兩個要素進行。

負數(shù)是一個比較抽象的概念，小學(xué)生必須在具體的生活情境中真正了解負數(shù)的意義。情境的選擇不僅要符合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，而且要有助于學(xué)生認識負數(shù)在其中的具體存在形式，幫助學(xué)生較好地了解負數(shù)的意義。在實際生活中，學(xué)生很容易將數(shù)量增加確定為基準方向，但是對原點的認識卻極其模糊。教學(xué)中應(yīng)該將原點的認識作為重難點，合理選擇生活情境，引導(dǎo)學(xué)生分層感知原點的各種形態(tài)，逐漸加深對負數(shù)意義的了解。

一、感知實際為“0”的原點，直觀了解“負數(shù)小于0”的含義

自然界中有一些人們熟知的分界點，如結(jié)冰的溫度、海平面、地面等。這些分界點很自然地將某一類數(shù)量分成兩部分，一部分由分界點向上遞增，另一部分由分界點向下遞減。這類分界點非常符合原點的特征，并且是靜態(tài)的，可直接用“0”來表示。我們可以把這類分界點看作基礎(chǔ)水平的原點，與這些分界點相關(guān)聯(lián)的自然現(xiàn)象和事物是學(xué)生比較熟悉或易于理解的，其中蘊含的原點和基準方向是清晰可辨的，因此，從此類情境開始負數(shù)的學(xué)習(xí)是非常合適的。

學(xué)生很熟悉氣溫的變化，可借此創(chuàng)設(shè)生活情境，將溫度計作為最佳的學(xué)習(xí)素材。小學(xué)生知道水結(jié)成冰的溫度是0℃，并且知道有高于0℃的溫度，也有低于0℃的溫度，他們能夠很自然地區(qū)分兩種溫度，并確定溫度的分界點。當學(xué)生了解到兩種溫度可以分別用正數(shù)和負數(shù)來表示，經(jīng)歷了在溫度計上尋找某些具體溫度的位置的過程后，就能想象處在這些具體溫度下的感受，再結(jié)合后面關(guān)于海拔高度的學(xué)習(xí)，就能明白“正數(shù)比0大，離0越遠就越大；負數(shù)比0小，離0越遠就越小；0是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù)”。

二、感知實際“非0”的原點，具體了解“相反意義的量”的含義

現(xiàn)實生活中用正負數(shù)來表示數(shù)量，原點常常是人為規(guī)定的，如盈虧中的成本、生產(chǎn)實踐中的計劃產(chǎn)量、達標測試中的標準等。此類原點有些復(fù)雜，盡管它們也是靜態(tài)的，但是其本身的數(shù)量往往不是0。此類原點被作為標準與實際數(shù)量進行比較，實際數(shù)量超出標準的部分用正數(shù)來表示，低于標準的部分用負數(shù)來表示，與標準相等時用“0”來表示。但是，實際數(shù)量本身通常是大于0的，學(xué)生在通過此類情境學(xué)習(xí)正負數(shù)在生活中的應(yīng)用時，如果不能感知到原點的存在，可能會對負數(shù)大小的認識產(chǎn)生困惑。

蘇教版教材在舉出“溫度計”和“海拔高度”的例子之后，選擇“盈虧問題”作為例題的情境，把“會用正負數(shù)表示生活中相反意義的量”作為教學(xué)的重點，這樣的安排是非常合理的。前面的“溫度計”和“海拔高度”的教學(xué)，已經(jīng)幫助學(xué)生初步建立了“正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量”的形象直觀的模型，通過指導(dǎo)學(xué)生用正負數(shù)來表示生活實際中具有相反意義的量，幫助他們了解“相反意義的量”的含義。

“盈”和“虧”本身就是一組反義詞，如果學(xué)生知道盈數(shù)用正數(shù)來表示，自然會想到虧數(shù)用負數(shù)來表示，學(xué)生在這一點上應(yīng)該不會出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難。如果教學(xué)只停留在這個層面，就會讓學(xué)生對負數(shù)的意義產(chǎn)生困惑：盡管3月份虧損了，可是總不會沒有一點收入吧，收入的錢數(shù)還是大于0啊，為什么要用負數(shù)來表示呢？不是說負數(shù)小于0嗎？解決這樣的問題就需要學(xué)生對原點有所感知。教師不妨在《盈虧情況統(tǒng)計表》中增加一個“0”，讓學(xué)生去思考這個“0”表示什么意思，從而將“成本”這個隱含的數(shù)量揭示出來，使學(xué)生明白正數(shù)表示的是收入比成本多出的部分，負數(shù)表示的是收入比成本少的部分，盈數(shù)與虧數(shù)在以成本為標準時，它們的意義是相反的，所以可以分別用正數(shù)和負數(shù)來表示。這樣才能使學(xué)生對負數(shù)意義的認識保持前后一致，才能使學(xué)生真正了解“相反意義的量”的含義。

在隨后進行的“行程問題”的教學(xué)中，可以進一步引導(dǎo)學(xué)生認識“+2100米”和“-2100米”雖然方向相反，但是所表示的實際長度是一樣的。這樣可幫助學(xué)生形成關(guān)于“絕對值”的形象直觀的樸素理解。

三、感知抽象的原點，初步了解整數(shù)系的結(jié)構(gòu)

學(xué)生在前面幾個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，感知到的原點都是一些具體的形態(tài)，對負數(shù)的認識都是基于生活中對負數(shù)常見的描述。此時的學(xué)生嘴上說著某個負數(shù)，心中常常對應(yīng)著某個具體的數(shù)量，但還沒有真正將負數(shù)從具體數(shù)量中抽象出來，對于正數(shù)、負數(shù)和0在整數(shù)系中的位置還沒有非常清晰的認識。這時需要教師借助數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量抽象為數(shù)，從而初步了解整數(shù)系的結(jié)構(gòu)。

將生活情境中的圖形抽象為數(shù)軸，最好的素材莫過于“行程問題”了。行程問題中的各個元素與數(shù)軸中元素能夠完美對應(yīng)：行走的道路對應(yīng)軸線，起點對應(yīng)數(shù)軸上的原點“0”，目的地的方向?qū)?yīng)數(shù)軸的方向，所行的路程對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)。教學(xué)中可以在明確基準方向的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生想象兩個人朝相反方向行走的情況，在兩個人走過的道路上依次標出“+1米”“+2米”和“-1米”“-2米”等數(shù)量，隨后將數(shù)量后面的單位名稱隱去，用箭頭表示出方向，突出將起點抽象為“0”的過程，這樣一來，將起點初步抽象為原點的任務(wù)就完成了。然而，關(guān)于負數(shù)的教學(xué)僅僅做到這一步還是不夠的，教師還需要將前面學(xué)習(xí)過的“溫度計”和“海拔高度”的例題用課件演示的方式歸納到同一個數(shù)軸中來，讓學(xué)

生經(jīng)歷將不同類型的數(shù)量抽象為數(shù)的過程。整個抽象過程都要關(guān)注將各個原點的具體形態(tài)抽象為“0”的過程，突出“0”在數(shù)軸中的分界作用。

在隨后的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸直觀了解整數(shù)系的結(jié)構(gòu)，回顧有關(guān)負數(shù)的認識，將學(xué)生對負數(shù)意義的認識從基于具體數(shù)量的了解初步抽象為基于數(shù)的了解。“在學(xué)習(xí)自然數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)負數(shù)(負整數(shù))，是數(shù)域的一次重要擴展，學(xué)生對數(shù)的認識將從自然數(shù)集擴展到整數(shù)集。”[1]因此，借助數(shù)軸認識正數(shù)和負數(shù)，只要出現(xiàn)整數(shù)即可，如果學(xué)生提出負分數(shù)或負小數(shù)，可以明確肯定它們也是負數(shù)，無需在數(shù)軸上表示出來。

在上述三個層次的教學(xué)中，每個層次所選擇的生活情境都涉及負數(shù)意義的多個方面，我們要做的是根據(jù)學(xué)生認知的特點和各個情境突出的特點，合理安排生活情境出現(xiàn)的順序，在不同層次突出不同的重點，引導(dǎo)學(xué)生在整體與局部、直觀與抽象的循環(huán)認知過程中不斷深化對負數(shù)意義的了解，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

[1] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準[M].2011版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 王林，李繼海.小學(xué)數(shù)學(xué)備課手冊[M].南京：江蘇教育出版社，2006.

[3] 張奠宙，孔凡哲，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.