基于零空間的現代內點最優潮流新算法

全然，簡金寶，韋化

（1.河南工業大學理學院，鄭州 450001；2.玉林師范學院數學與信息科學學院，玉林 537000；3.廣西大學電氣工程學院，南寧 530004）

電力系統最優潮流是研究在滿足系統運行和安全約束的前提下如何達到系統的最優運行狀態的問題。隨著電力系統規模的不斷擴大和電力市場改革的不斷深入，最優潮流OPF（optimal power flow）得到了廣泛的關注和研究。Carpentier于1962年首先提出了嚴格數學基礎上的最優潮流模型[1]，其實質是一個帶一般約束的高維非線性最優化問題。求解最優化問題的許多方法都曾被用于求解OPF問題，如線性規劃法、二次規劃法、非線性規劃法、牛頓法以及現代內點法等。

由于能有效求解大規模優化問題，現代內點法被廣泛地應用于求解電力系統的各種優化問題，成為求解電力系統優化問題的主流算法，而且不斷地被深入研究[2～10]，尤其是原始－對偶內點法[2～7]得到了廣泛的應用和改進，取得了很好的效果。但仍存在一些問題需要研究，如算法的收斂性和計算速度等。文獻[2]結合電力系統的特點，通過重新排列原始對偶變量的順序使得修正方程組的系數矩陣出現與節點導納矩陣有相似結構的4×4子塊矩陣，顯著地減少了注入元的個數，增加了稀疏性，取得了很好的計算效果；內點算法在文獻[3～5]得到了進一步應用，取得了滿意的計算效果，成為一種成熟的內點算法。這種算法為局部內點法。其顯著特點是收斂速度快，計算時間短。但初始點選取不好可能會導致算法不收斂或收斂到不可行點，這將在第4節的數值實驗分析中進行詳細討論；文獻[11，12]也分別給出了簡單的數值例子，從數學上說明上述“壞”情況確實會出現；文獻[13]提出一種收斂性好的零空間內點算法NSIPM（null space interior point method）。該算法利用一個無約束二次規劃的近似解作為預測步，再求解一個等式約束的二次規劃得到一個零空間步作為迭代方向。算法具有良好的收斂結果。算法產生的點列要么收斂到松弛問題擾動的Karush－Kuhn－Tucher（KKT）點或原問題的FJ（Fritz－John）點，要么收斂于違背約束條件最小化問題的不可行穩定點。

本文把文獻[13]中的NSIPM應用于求解OPF，通過改進終止準則和修正原始對偶變量能有效控制迭代點的可行性及松弛變量的互補性，保證迭代點趨于最優解，提高了算法的收斂性。對5個IEEE標準系統進行仿真分析，結果表明算法的收斂性好，收斂速度快。對于IEEE 14、118和300節點系統，壓縮電壓約束的范圍，算法也能較好地收斂。對于IEEE 300節點系統，在一定范圍內取不同初始點，算法均能較快收斂，對初值不敏感。這些結果都表明算法具有良好的收斂性和魯棒性。

1 NSIPM簡介

電力系統OPF問題的數學模型具體可描述為

引入松弛變量l和u，則式（1）轉化為松弛問題

其擾動的KKT條件為

若初始點不可行，線性化等式可能會導致算法不收斂或收斂于不可行點。為克服這一不足，文獻[13]提出了基于零空間技術的原始對偶內點算法，其實質是對線性化等式右端項的擾動，具體過程如下。

首先，記

式中：g=g（x）；h=h（x）；▽g=▽g（x）；▽h=▽h（x）；I為單位矩陣；B=▽2（ fx）+▽2g（x）（w-z）+▽2h（x）y；▽f=▽（fx）；W=diag（w）；Z=diag（z）。

文中‖·‖均為歐幾里德范數，由帶等式約束的二次規劃的解產生零空間步，即

KKT條件為

根據文獻[13]的引理2.3知，當Q在R的零空間上正定時，式（8）與式（9）同解，所以只需式（9）即可得到各變量的增量。令d=（Δx，Δu，Δl），p=（w+Δw，z+Δz，y+Δy），將具體的R，Q，q，d，p分別代入式（9），可得

式中，Lx=▽f+▽g（w-z）+▽hy。形式上式（10）與文獻[2]中的修正方程組相似，不同的是式（10）的右端項出現，若換為-r，則與文獻[2]的修正方程組本質上一致。這里的可看作-r的擾動項。正是這一擾動，通過對的控制，使得NSIPM具有很好的收斂性和魯棒性。文獻[13]假設滿足條件為

式中：κ1、κ2為正常數；矩陣在此條件下，再利用一定的假設條件，文獻[13]證明了NSIPM具有全局收斂性和局部超線性收斂性。尤其具有良好的全局收斂性，即文獻[13]中的定理4.10：算法產生的點列要么收斂到問題式（2）的擾動的KKT點（即滿足式（3））或原問題的FJ點，要么收斂于違背約束條件最小化問題的不可行穩定點。

若

則取

式中：ν∈（0，1）；ψ為式（7）中的目標函數。

否則計算

再在dC和dN張成的子空間中求預測步，使得

利用效益函數進行線搜索

式中：ξ=（x，u，l）；ρ為罰參數；m為式（1）中不等式約束的個數，即g（x）的維數，且φ（ξ）=（g+u-，-g+l+，h）。效益函數φ（ξ；ρ）為l2罰函數，不可微，由文獻[14]的命題3.1可知，其方向導數為

在當前迭代點ξk（k表示第k次迭代，下同）處，為使效益函數值有所下降，迭代步長αk應滿足

式中，σ∈（0，1/2）。

下面給出罰參數ρk+1的取值方法[13]。先計算

式中，τ∈（0，1）。從而取罰參數ρk+1為

求取原始對偶變量的初始最大步長為

2 OPF模型

本文采用的OPF模型中，目標函數和約束函數依次為

（1）目標函數采用發電燃料費用，即

（2）等式約束為潮流方程，即

（3）不等式約束為運行約束，即

式（25）～式（27）中：v=（PG，QR，e，f）；ei+j fi為節點i的電壓復相量分別為節點電壓幅值上下限的平方值；a2i、a1i、a0i分別為火電廠i的燃料系數；PG，i、QR，i分別為節點i上的可調有功出力和無功出力分別為其上下限；PDi、QDi分別為節點i上的有功負荷和無功負荷；Gij+j Bij為節點i與j之間的互導納；SG為發電機節點集合；SR為無功電源集合；SN為節點集合；SL為約束線路集合Bij為傳輸線i-j上的有功潮流，Pij，Pij分別為其上下限。

3 算法步驟

求解OPF問題的NSIPM計算步驟[13]如下。

步驟1初始化：設k=l=0；τ，β∈（0，1）；σ，μ，η，γ1，γ2＞0；ρ0=10；ε=10－5。

步驟4解式（10），得到各變量增量。

步驟5根據式（23）調整罰參數ρk+1。

步驟6進行線搜索確定步長αk：由式（24）確定原始對偶變量的初始最大步長sp和sd。取αk=spβθ，θ為使得式（21）滿足的最小非負整數。更新變量值

其中

令yk=yk+Δyk；k=k+1，轉入步驟3。

步驟7減小參數μ的值，l=l+1，轉入步驟2。

由于關于對偶變量wk，zk的修正不易執行[13]，步驟6給出對偶變量新的修正形式。此修正方法仍能使得Ukwk、Lkzk的每一個分量均屬于區間[γ1μ，γ2μ]，且（Ukwk，Lkzk）→（μe，μe）。當μ→0時，能保證松弛變量的互補性，即（Uw，Lz）=（0，0）。

迭代過程中，‖F（w^k；μ）‖趨于0，但‖F（w^k；μ）‖有時產生波動，影響算法的收斂速度。這是因為NSIPM采用的效益函數不能保證‖F（w^k；μ）‖在每一次迭代時下降。數值仿真表明波動主要是受‖F（w^k；μ）‖中的▽f（xk）+▽g（xk）（wk-zk）+▽h（xk）yk的影響，去掉此項，記F（w^k；μ）中剩下部分為Z（?k；μ）=（rk，Ukwk－μe，Lkzk－μe），則在迭代過程中‖Z（?k；μ）‖平穩下降且趨于0。由式（3）可知，Z（?k；μ）中的rk為OPF問題的潮流約束和運行約束，Z（?k；μ）中的（Ukwk－μe，Lkzk－μe）為松弛變量的互補性條件。當‖Z（?k；μ）‖→0時，可保證OPF問題迭代點的可行性和互補性。因此，為減少迭代過程中的波動，加快收斂速度，在算法執行時，將步驟2和步驟3的收斂準則中的F（w^k；μ）換為Z（?k；μ），具有實際意義。

4 數值實驗

利用本算法，使用Matlab 7.1編寫程序，對IEEE14、30、57、118及300節點系統進行數值實驗。計算環境為：AMD Athlon（tm）64×2Dual Cone Processor3800+，896MBRAM，Windows XP。測試系統的基本參數見表1。算法執行時，參數分別設置為：μ=0.9；η=500；γ1=0.000 1；γ2=600；β=0.5；σ=0.01；τ=0.5。算法步驟7中取μ=0.1μ。

表1 測試系統參數Tab.1 Parameters of test system

記本文算法為“算法1”，文獻[2]的內點算法為“算法0”，2種算法在平啟動和電壓約束上下界分別為=1.1和=0.9時的計算結果見表2。由表2可以看出，2種算法的迭代次數相差不大。

表2 算法1與算法0的迭代結果Tab.2 Iteration results of algorithm s1 and 0

為加快收斂速度，去掉算法1中的線搜索步驟，借鑒文獻[2]中的步長取法，步驟6中取αk=sp；yk=yk+sdΔyk，這樣的算法記為“算法2”。雖然類似于文獻[2]中的原始對偶變量的步長取值，但兩者不一樣。本文在步驟6中對原始變量u、l和對偶變量w、z進行了二次修正。

表3 算法2與算法0的計算結果Tab.3 Results of algorithm s2 and 0

圖1 算法2對IEEE 118和300節點系統的迭代收斂過程Fig.1 Convergence procedure of algorithm 2 for IEEE 118 and 300-bus system s

其平穩地下降到誤差范圍內，很好地保證了迭代點的可行性、松弛變量的互補性和迭代點的最優性。說明改進的收斂準則和對偶變量的修正方法有效。分別以IEEE 14、118和300節點系統為例，通過與算法0比較說明算法1和算法2具有良好的收斂性。首先以IEEE 14節點系統為例，增大電壓約束下界，減小上界，使電壓約束更嚴格。經過實驗，當時，算法0在平啟動時不收斂，而算法1經過25次迭代后收斂；然后以IEEE 118節點系統為例，與算法0比較說明算法2具有良好的收斂性。此時算法2中的部分參數值調整為：η=5；γ1=0.05；在步驟7中取μ=0.08μ。增大電壓約束下界Vi，減小上界經實驗，當時，算法0在平啟動時不收斂，而在此條件下算法2收斂。對上界V進行小擾動，取Vi=，在平啟動時，算法0仍不收斂，算法2收斂，說明算法2具有良好的收斂性。這2種情況的迭代結果如表4所示。表4中電壓虛部初值f=0，實部初值取5種情況，其中a1=算法2與算法0分別在平啟動時對IEEE 118節點系統的收斂迭代過程如圖2所示。為清晰起見，圖2中從第60次迭代開始。算法0的收斂判斷值，即文獻[2]中的互補間隙為

最后以IEEE 300節點系統為例，將算法2與算法0進行比較。壓縮電壓上下界，下界為原來的1.01倍，上界為原來的0.935 614倍。算法0在平啟動時不收斂，而算法2收斂。在此電壓上下界條件下，電壓虛部初值為0，實部取不同初值時2種算法的迭代結果見表5。由表5可見，算法2具有良好的收斂性。

表4 算法2與算法0對IEEE 118節點系統的迭代結果Tab.4 Iteration results between algorithms2 and 0 for IEEE 118-bus system

圖2 算法2與算法0對IEEE118節點系統收斂迭代過程Fig.2 Convergence procedure between algorithms2 and 0 for IEEE 118-bus system

表5 算法2與算法0對IEEE 300節點系統的迭代結果Tab.5 Iteration results between algorithms2 and 0 for IEEE 300-bus system

5 結語

本文將NSIPM應用于求解OPF，通過預測步和零空間步來產生搜索方向，改進的收斂準則和對偶變量修正方法能有效控制迭代點的最優性和松弛變量的互補性。5種IEEE算例的數值結果表明，無論是在約束條件苛刻還是在一定范圍內取不同初始迭代點，本文算法均能收斂到最優解，具有良好的收斂性和魯棒性。

[1]Carpentier J.Contribution to the economic dispatch problem[J].Bulletin de ls Societe Francaise des Electriciens，1962，（8）：431-437.

[2]Wei Hua，Sasaki H，Kubokawa J，et al.An interior point nonlinear programming for optimal power flow problems with a novel data structure[J].IEEE Trans on Power Systems，1998，13（3）：870-877.

[3]韋化，李濱，杭乃善，等（WeiHua，LiBin，Hang Naishan，et al）.大規模水-火電力系統最優潮流的現代內點理論分析（An analysis of interior point theory for large-scale hydrothermal optimal power flow problems）[J].中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），2003，23（4）：5-8.

[4]韋化，丁曉鶯（WeiHua，Ding Xiaoying）.基于現代內點理論的電壓穩定臨界點算法（An algorithm for determining voltage stability critical point based on interior point theory）[J].中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），2002，22（3）：27-31.

[5]丁曉鶯，王錫凡，張顯，等（Ding Xiaoying，Wang Xifan，Zhang Xian，et al）.基于內點割平面法的混合整數最優潮流算法（Mixed integer optimal power flow based on interior point cutting plane method）[J].中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），2004，24（2）：1-7.

[6]黃鎮，楊京燕，覃智君，等（Huang Zhen，Yang Jingyan，Qin Zhijun，et al）.采用內點法的多目標低電壓風險優化（Interior point method based multi-objective optimization of low voltage risk）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2011，23（2）：92-97.

[7]李曉莉（LiXiaoli）.考慮支路電壓穩定指標的無功定價新模型（Reactive power pricing model considering line voltage stability index）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（5）：156-160.

[8]陳妍，黃民翔（Chen Yan，HuangMinxiang）.基于信賴域內點法的靜態ATC計算（Static ATC calculation based on a trust region interior-point method）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2005，17（5）：71-74.

[9]余娟，顏偉，李文沅（Yu Juan，YanWei，LiWenyuan）.考慮發電機安全運行極限的非固定分段無功優化模型及其算法（An unfixed piecewise model of reactive optimization and its algorithms considering generator capability limits）[J].中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），2007，27（7）：23-28.

[10]YuchiW，Debs A S，Marsten R E.A direct nonlinear predictor-corrector primal-dual interior point algorithm for optimal power flows[J].IEEE Trans on Power Systems，1994，9（2）：876-883.

[11]Wachter A，Biegler L T.Failure of global convergence for a class of interior point methods for nonlinear programming[J].Mathematical Programming，2000，88（3）：565-574.

[12]Byrd R H，Marazzi M，Nocedal J.On the convergence of Newton iterations to non-stationary points[J].Mathematical Programming，2004，99（1）：127-148.

[13]Liu Xinwei，Yuan Yaxiang.A null-space primal-dual interior-point algorithm for nonlinear optimization with nice convergence properties[J].Mathematical Programming，2010，125（1）：163-193.

[14]Liu Xinwei，Sun Jie.A robust primal-dual interior-point algorithm for nonlinear programs[J].SIAM Journal on Optimization，2004，14（4）：1163-1186.