從“點狀地學會”走向“結構化地會學”

引導學生從“學會”走向“會學”是教學改革的根本方向。從本質上說，阻礙課堂走向“會學”的不是班級規模，而是我們的教學目標和教學方式，我們的“知識導向型目標”強調的是以“教”為中心的“點狀”地“學會”。

基于以上現狀，筆者認為，今天的數學教學要積極探尋如何以數學認知結構為基礎，引導學生從“點狀”地“學會”走向“結構化”地“會學”。所謂數學認知結構，就是人們頭腦中的數學知識（經驗）按照自己理解的長度、寬度和高度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。下面試結合四年級蘇教版上冊《認識含有億級和萬級的數》一課的實踐來論述。

一、基于認知結構“長度”的自主整理

《認識含有億級和萬級的數》是整數領域的最后一節課。課前，老師先請學生自主回憶：“一到三年級，我們認識了萬以內的數。四年級起認數第一課時，我們首先認識了整萬的數，接下來呢？你能分別舉例子來說一說嗎？”

課始，師生在課前研習的基礎上共同回憶整理認知結構，學生舉例后教師也請學生來讀一讀這些給定數“1259”“12590000”，以方便知識點的連接而用。教師將“1259”和“12590000”這兩張數卡巧妙地合并為“12591259”，請學生讀后指出“這就是含有萬級和個級的數”，以此將“萬以內的數”和“整萬的數”這兩個知識點連接成“含有萬級和個級的數”。同樣，教師在“12590000”后面添4個0使其成為“125900000000”，再次自然地將“整萬的數”和“整億的數”這兩個知識點連接了起來。這兩個看似簡單的小動作蘊含著深意：縱向數之間的聯系與區別、橫向數之間的聯系與區別，這些都是積極影響學習遷移的認知結構變量，是學習遷移時可利用、可辨別、具有穩定性的因素。

回顧了所有已經學過的數后，教師順著知識的連接點追問：按照這樣的順序，接下來可能會認識怎樣的數？學生有的說“認識含有億級、萬級和個級的數”，也有說“認識含有億級和萬級的數”。繼續循著連接點追問：含有萬級和個級的數是由整萬數和萬以內數組合成的，那含有億級和萬級的數呢？學生自然能聯想到“含有億級和萬級的數是由整萬的數和整億的數組合成的”，這就在新舊聯系中通過同化自然獲得對新知識的理解和生長點的有意義擴張。至此，縱橫交錯的知識網絡圖也就同步生成。

確定教學內容，教師要把這一課、這一單元局部的教學內容，納入整冊教材、整個學段、整個知識體系。我們需要站在數學認知結構的邏輯長度來著力眼前的教學：每一個“知識點”的“連接點”和“生長點”分別是什么？“知識點”要夯實，“連接點”要形成清晰的網絡，而“生長點”就是將解決問題所需要的“知識點”重新整合，形成新的、解決問題的知識網絡。

從“知識點”到“連接點”再到“生長點”的形成，這是一個解讀信息，調動、運用知識，重新整合的思維過程。當我們能夠從教材的知識體系以及學生的已有經驗等整體出發，準確把握住知識的“連接點”和“生成點”，就會創生富有數學韻味和思考價值的情境。它能使學習從局部、零散的認識以集腋成裘的方式走向整體結構化，能使學生整體認識和宏觀把握數學知識，獲得的知識就會像一串葡萄，學完能拎起來。

課前先行回憶，課上反饋交流，并反思“在回憶的過程中，你遇到了哪些困難？是怎么解決的？”這樣的過程正是在引導學生從“回憶整理”走向“學會回憶整理”。

二、基于認知結構“寬度”的自主遷移

在讀含有億級和萬級的數前，老師先讓學生回憶已有的讀數經驗，師生一起歸納出讀數經驗：1.從高位起，一級一級地往下讀;2.讀億級或萬級數時，要按照個級數的讀法來讀，再在它的后面讀出“億”字或“萬”字;3.每級末尾的0都不讀，其他數位有一個0或連續幾個0，都只讀一個“零”。

接下來先讀零在（每級）末尾的數，讀“125912590000”后，教師追問“兩個1259在讀法上有什么不同點？這么多0為什么都不讀出來？”再讀零在（每級）非末尾的數，讀“1220000000”后，要求“給1220000000萬級的數搬搬家，使它只讀出一個零”，然后追問“1202000000、1200200000、1200020000的哪些0讀了出來？為什么都只讀出一個零？”再請學生讀“1202020000”，想“為什么讀出兩個零？”在經歷了層層深入的讀數和反思活動后，再請學生從整體上反思：以前的這些讀數經驗，在讀含有億級和萬級的數時，還能用嗎？

同理，在寫含有億級和萬級的數前，也先讓學生回憶已有的寫數經驗，師生共同歸納出寫數經驗：1.從高位起，一級一級地往下寫;2.哪個數位上一個單位也沒有，就在那一位上寫0。

考慮到寫數較之讀數有難度，所以課前就請學生嘗試寫了“五億九千萬”和“五億八千九百五十七萬”這兩個數。課上，請兩名學生先后板演這兩個數并說說寫法，教師結合課前研習集中出現的錯例“59000、590000、5000090000、59000000”請學生辨析。最后反思：以前的這些寫數經驗，在寫含有億級和萬級的數時，還能用嗎？在寫這兩個數的過程中，你又遇到了哪些困難？是怎么解決的？學生在自主經歷了自己寫、辨析寫、反思寫的過程后能夠清晰地提煉出這樣的寫數注意點：寫數時要一級一級往下寫，要注意一個數級有四個數位;哪個數位上一個單位也沒有，一定要對準數位寫0，等等。

課尾再提問“你有哪些新的收獲”，并依次將活動數卡展開，請學生逐次讀出“12、120002、1200020002”，再次引導他們在自主反思的過程中形成關于整數的、相對完整的認知結構，并體會到數的無限和法的永恒——“無論數有多大、有多復雜，它們讀數和寫數的方法是一樣的。”

從縱向發展的長度來看，原有的數學認知結構在不斷擴充、完善中。從橫向發展的寬度來看，發展著的邏輯知識之間蘊含的經驗方法往往是不變的，這就為學習的正向遷移提供了條件。學習過程其實就是一個經驗被激活、利用、調整、提升的過程，是建立在原有經驗基礎上的主動建構過程。在這個過程中，首先要激活學生的已有經驗;其次要在學生已有經驗的基礎上做適當調整、提升與完善;接著引導學生經歷新的活動過程，以積累新的活動經驗;最后通過反思將新經驗與已有經驗有效對接，以實現方法的自主遷移。

三、基于認知結構“高度”的自主練習

在練習題的設置上，我們往往是教材教什么內容就練什么內容，教計算做計算題，教圖形做圖形題，教解決實際問題做解決實際的問題。長期這樣的封閉式練習，會使學生陷入只會做題不會思考的機械化誤區，不利于數學素養的長遠發展。我們可以為學生提供基于認知結構“高度”的練習，如果用數學課程標準來解釋，那就是在使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”的同時，還要讓學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。

從內容來看，《認識含有億級和萬級的數》比較簡單。但，這節課的教學目標僅僅只是定位在會讀數、會寫數嗎？在其背后，是否還可以隱藏更深層次的東西呢？怎樣讓簡單、枯燥的認數練習變得既實現鞏固功效，又有思維含量，更有趣味呢？老師巧妙地通過“感受成就”“了解不平衡”“懂得節約”這三個有意義的環節來實現。

“感受成就”環節先讓學生讀出其他三個年份的糧食總產量（表1），告訴學生“我國的糧食總產量在不斷增加，位居世界第一”，隨即激起第一個認知沖突，問：“但要知道這些糧食到底夠不夠吃？僅僅看糧食總產量，你認為合理嗎？應該怎樣看？”學生發現要根據糧食總產量和總人口數求出人均糧食量，才能知道這些糧食到底夠不夠吃。贊可夫說：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢。”這一練習情境就從單純的讀寫提升到了一定的高度，它與認數之外的其他知識有關，與生活應用有關，與思維有關。

接著出示相應年份的全國總人口數，要求學生根據要求寫數。最后一個寫數需聯系數學要求和生活實際來寫，對學生來說是一個很有意義的思維挑戰，也能進一步感受大數目在生活和學習中的價值。從糧食總產量到全國總人口數，教師可以驕傲地告訴學生：“在總人口數不斷增加的情況下，我們還能讓人均糧食量達到世界平均水平，用占世界很少（7%）的耕地養活了占世界五分之一（22%）的人口，這在世界上是非常了不起的成就！”（表2）

但“平均水平并不代表平衡”，教師緊接著出示2012年5月31日《羊城晚報》的報道《兒童節，有多少孩子餓肚子上學》和2013年初中央電視臺的報道《舌尖上的浪費》，這就形成了練習環節的第二次認知沖突。

在學生驚訝、驚嘆之后，教師請學生說說感想，他們由衷感嘆“如果每人節約一點就能救活很多人”，“光盤行動要從我做起”。順勢而下，教師設問“如果每人每天節省1粒大米，我們的力量會有大多呢”，最后請學生聽寫括號里的數。

如果每人每天節省1粒大米，全國13億人每天節省13億粒大米，大約重（520000000）克，合520噸。如果把這些節省下來的大米連接起來大約長（650000000）厘米，合6500千米。如果每人每天吃大米400克，這些節省下來的大米可供（1300000）名學生吃一天。

讓學生在數字、數位、數級、讀數、寫數、想數等過程中反復地積累經驗，這是培養數感的基本途徑。通過感受大數目的實際意義來培養初步的數感，這是另一個途徑，“如果每人每天節省1粒大米，全國13億人每天節省13億粒大米”這是一個怎樣的概念？三個聽寫題將“13億”和質量、長度、人數架起了看得見的聯系，學生在一定的情緒體驗中鍛煉了數感，接受了教育。

基于認知結構“長度”的自主整理，基于認知結構“寬度”的自主遷移，基于認知結構“高度”的自主練習……一節課的成功與否，并非僅僅在于這節課的教學任務是否完成，還在于對整個認知結構的貢獻有多少。結構化，讓世界從混沌變得清晰;結構化，讓學生從“學會”走向“會學”！

作者單位：江蘇省無錫市安鎮實驗小學， " 江蘇省無錫市錫山教師進修學校