斜齒輪系統多自由度耦合模型及非線性因素表征

程聯社，陳潤霖

（1.楊凌職業技術學院機電工程學院，陜西 楊凌712100；2.西安交通大學機械工程學院，陜西 西安710049）

0 引言

斜齒輪傳動的重合度大，提高了齒輪的承載能力，工作平穩性好，噪音小，在對性能要求較高的場合已經全面取代了直齒輪，如工程機械、冶金、采礦、食品工業及航空航天等領域［1］。但是結構上斜齒輪引入了螺旋角因素，從單自由度振動拓展為多自由度振動，包括齒輪的扭振、橫向彎曲振動、軸向振動和齒輪體的圓盤振動等［2］，加上齒輪傳動的諸多非線性因素，使得斜齒輪系統動力學行為更為復雜，這就需要對斜齒輪傳動系統動力學模型進行深入的分析，以利設計。完整的傳動系統模型是以齒輪系統中的傳動系統作為分析對象，包含齒輪副，傳動軸，也可以包含支承軸承、原動機和負載的慣性［3－7］。

1 斜齒輪彎－扭－軸耦合振動模型建立

1對相嚙合的斜齒輪如圖1所示。其中，Oa和Op分別為主、從動斜齒輪的中心；F為2個齒輪的嚙合力；kn為輪齒嚙合剛度；cn為嚙合阻尼；kay，kaz，cay，caz分別為主動輪的徑向和軸向的支承剛度、阻尼；kpy，kpz，cpy，cpz分別為從動輪的徑向和軸向的支承剛度、阻尼。

圖1 斜齒輪彎－扭－軸耦合分析模型

該斜齒輪系統為一個6自由度系統，根據牛頓運動定律，設其廣義位移列陣為：

yi，zi，θi（i＝a，p）分別為主動輪和從動輪的中心點在切向（y向）、軸向（z向）的平移振動位移和繞軸向（z向）的扭轉振動位移。Ii（i＝a，p）分別為主、從動齒輪繞其軸線的轉動慣量；Ti（i＝a，p）分別為作用在主、從動齒輪的外載荷力矩。

將切向和軸向動態力代入上式中，把上面的方程寫成矩陣形式，即得到斜齒輪系統的動力學模型為：

［M］為質量矩陣；［C］為阻尼矩陣；［K］為剛度矩陣；［P］為外激勵向量。

2 斜齒輪彎－扭－軸耦合系統振動分析

2.1 固有頻率和振型

對于式（1），不考慮輪齒誤差e和各種阻尼c，令P＝0，采用模態分析法［2］可得：

令［A］＝［M］－1［K］，則矩陣［A］6個特征值的平方根（ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6）即為斜齒輪系統的各階固有圓頻率，其對應的特征向量即為對應的主振型。針對某斜齒輪傳動系統，各參數數值如表1所示。

表1 振動模型中各參數數值

把各參數代入式（1）中，不考慮阻尼和輪齒誤差e，通過編程求解得到系統的各階固有頻率分別為：f1＝0Hz，f2＝455Hz，f3＝573Hz，f4＝726Hz，f5＝1 047Hz，f6＝2 843Hz。

其對應的主振型分別為：

對于上述6個振型，1階振型為斜齒輪的剛體振型，2～6階振型為彈性振動的振型。其中，2階振型為軸向振動，最大振動為從動輪的軸向振動；3階振型為徑向和扭轉振動，最大振動為從動輪的扭轉振動；4階振型為軸向振動，最大振動為從動輪的軸向振動；5階振型為徑向和扭轉振動，最大振動為動輪的扭轉；6階振型為徑向和扭轉振動，最大振動為從動輪的扭轉振動。

2.2 耦合振動響應分析

假定在t＝0時刻，系統的初始位移和初始速度分別為：

在不考慮阻尼的條件下，采用振型疊加法，求得系統的振動時域關系。相比較而言，斜齒輪副的主、從動輪的徑向振動位移都較大，分別為0.747mm和0.633mm，而軸向振動位移都比較小。對于扭轉振動，從動輪的扭轉振動情況比較嚴重，在齒頂的振動位移達到了1.738mm，主動輪的扭轉振動則要小得多，齒頂的振動位移大約0.129mm。

3 斜齒輪傳動非線性因素分析

3.1 時變剛度的表征分析

在斜齒輪嚙合過程中，輪齒嚙合的接觸線是傾斜的，且同時嚙合的輪齒對數較多（一般≥3），為了簡化起見，假設載荷在接觸線長度方向上均勻分布，這就可以用齒輪副接觸線長度的變化代替瞬時嚙合剛度的變化，來求解一對斜齒輪副的時變嚙合剛度。

如圖2所示，平面ABCD為一對斜齒輪的嚙合平面。AD＝εα·Pb（Pb為基圓齒距）；AB＝CD＝b（b為斜齒輪副的齒寬）；BE，DF等均為齒輪副的嚙合接觸線；βb為齒輪副的基圓螺旋角；εα，εβ分別為斜齒輪副的端面和軸向重合度。

于是，一對相嚙合的輪齒接觸線長度的變化曲線如圖3所示。

圖2 斜齒輪嚙合平面

圖3 一對輪齒接觸線長度變化曲線

故接觸線長度函數的表達式為：

由于斜齒輪副的總重合度大于1，則總存在多對輪齒的接觸，它們共同分擔載荷。由于系統研究的斜齒輪副重合度大于2，所以至少有2對輪齒接觸，在實際嚙合過程中接觸線的總長度即為這幾條接觸線長度之和，如圖4所示。

圖4 多對輪齒嚙合的接觸線總長度隨時間變化曲線

根據前面的假設，設斜齒輪副動態嚙合剛度與接觸線之間的關系為：

kl為剛度與接觸線之間轉化的一個系數。若km為斜齒輪副的平均嚙合剛度［8］，la為一個周期內接觸線的平均長度，則kl＝km／la。

于是，在1個周期T（T＝60／（n1z1））內，斜齒輪剛度變化曲線如圖5所示。其中，n1，z1分別為主動輪的轉速和齒數。

把剛度隨時間變化的函數用傅里葉級數展開，并針對某斜齒輪傳動系統，通過編程計算得該齒輪副的時變嚙合剛度曲線及各階傅里葉展開曲線如圖6所示。

通過對比可知，前5階傅里葉級數展開的曲線與原時變剛度曲線基本吻合，其精度可以滿足一般計算的要求，可以采用前5階傅里葉展開式來代替原時變剛度的分段函數，即

圖5 1周期內剛度變化曲線

圖6 斜齒輪剛度曲線及1，3，5階傅里葉展開曲線

an，bn為傅里葉系數，ωb＝2π／T。在代入非線性動力學模型中時，需先計算確定系數an，bn和ωb。對于所研究的某斜齒輪傳動系統，系數如表2所示。

表2 時變剛度表達式中的系數（×107） N／m

3.2 齒側間隙的表征分析

設函數f為描述具有齒側間隙時輪齒嚙合力的非解析函數［8］，若將其處理成對稱形式，則其表達式為：

c為齒側間隙。

間隙函數的曲線如圖7所示。在［－k，k］范圍內用高次多項式進行擬合，結果如圖8和圖9所示。

圖7 齒側間隙描述函數

圖8 齒側間隙函數及1，3，5階擬合曲線

圖9 齒側間隙函數及5，7，9階擬合曲線

對比圖8，圖9，可知多項式的次數取的越高，擬合的精度也就越高，但是當次數高于7次以后，多項式次數的提高對擬合精度的提高已經不明顯了。實際上，3次多項式已經能夠反映齒側間隙描述函數的總體變化趨勢，所以為了之后分析的方便，可以用3次多項式來擬合齒側間隙描述函數，即

對所研究的某斜齒輪傳動系統，齒側間隙為c＝5×10－5m，取k＝2×10－4m，可得a1＝0.344，a3＝1.201×107。

4 結束語

通過振型分析可知，所研究的斜齒輪副的扭轉振動比徑向振動和軸向振動大得多，需重點考慮。并分析了2種非線性因素，采用接觸線長度等效的簡化算法給出了時變剛度的表達式；基于“振－沖”模型給出了齒側間隙的表達方法。這些為齒輪系統非線性動力學分析提供了依據。

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