基于Pro/E和LS-DYNA的齒輪線外嚙合沖擊研究

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(1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819；3.中國人民解放軍65631部隊，遼寧 錦州 121300)

基于Pro/E和LS-DYNA的齒輪線外嚙合沖擊研究

佟操1，孫志禮1，馮真2，賈寧3

(1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819；3.中國人民解放軍65631部隊，遼寧 錦州 121300)

0 引言

眾所周知，齒輪的安裝與制造誤差對齒輪齒面接觸應力和齒根彎曲應力有很大影響。但是迄今為止，還沒有一種能夠精確求解帶有安裝與制造誤差齒輪接觸應力與彎曲應力的有效方法。傳統的方法是通過引入載荷系數，來考慮誤差因素。但是這僅取決于人為經驗，不可能精確計算帶有各類隨即因素的齒輪應力。

在齒輪嚙合過程中，由于輪齒誤差和輪齒變形，使輪齒產生“嚙合合成基節誤差”，使輪齒在嚙入和嚙出時的嚙入點和嚙出點偏離理論嚙合線，從而使主、被動齒輪轉動速度產生偏差和突變，引起嚙入和嚙出沖擊力。研究表明，嚙合沖擊是導致齒輪傳動振動、噪聲和點蝕破壞的主要原因之一[1-4]。

從文獻成果[5-10]來看，主要研究以振動理論為基礎的離散模型較多，其動力學模型是基于假設只有彈性而無慣性和只有慣性沒有彈性的質量塊組成，此離散模型可以大大簡化物理模型且有利于計算效率。然而，由于齒輪結構配置和幾何形狀復雜，同時齒輪嚙合剛度隨時間變化的非線性行為(由于移動的接觸點、單雙齒接觸交替、嚙合剛度不連續和齒側間隙的影響)，故離散模型很難精確地描述齒輪系統的動力學特性。

通過大型三維建模軟件Pro/E建立帶有基節偏差的齒輪實體模型，采用全球著名的顯式動力學軟件LS-DYNA對1對直齒輪進行動力學計算，不需要任何額外的假設與簡化，求解帶有基節偏差的齒輪動態接觸應力和彎曲應力特性。

1 齒輪嚙合沖擊碰撞相關理論

1.1 齒輪嚙合沖擊分析

在齒輪動力學中，將這種傳遞中齒對和齒對的交替過程稱為輪齒嚙合的過渡過程。一般說來，理想齒輪(無誤差、無變形的齒輪)的過渡過程是平穩的。但是，由于實際的齒輪總是存在誤差，而且在傳遞動力時也會產生彈性變形，因而在過渡過程中將產生沖擊。由于輪齒誤差和輪齒受載彈性變形所產生實際基節和理論基節的偏差，因此,在齒輪嚙合過渡過程中，使得輪齒1的基節不等于輪齒2的基節。這樣，輪齒在嚙入點和嚙出點會偏離理論嚙合線，從而導致齒輪傳動在嚙合開始與結束時發生嚙入與嚙出沖擊。

圖1 齒輪嚙入沖擊

1.2 關于兩接觸彈性體的接觸動力學相關理論

齒輪動力學平衡方程為:

(1)

關于解法，LS-DYNA采用顯式中心差分法，具體算法為：假定0,t1,t2,…,tn時刻的節點位移、速度與加速度均為已知，現求解tn+1(t+Δt)時刻的結構響應。中心差分法對加速度、速度的導數采用中心差分代替，即

(2)

將式(4)代入動力學基本方程，整理后得:

(3)

求解上式線性方程組即可求得各時刻的節點位移向量，將其代入差分公式可求得對應的速度、加速度向量。

關于兩物體A和B的接觸問題，構型分別為VA和VB，邊界面分別為ΩA和ΩB。A為主體(Master)，其接觸面為主動面，物體B為從面(Slave)，其接觸面為從動面。A與B接觸時的非嵌入條件可以表示為:

VA∩VB=0

(4)

物體A與物體B不能互相重疊，在每一時步，對比ΩC面上物體A與B對比節點的坐標，或對比速率來實現位移協調條件,即

(5)

下標N表示接觸法線方向。

接觸面力應滿足：

(6)

LS-DYNA顯式動力學接觸-碰撞算法采用對稱罰函數法，對于從節點nS，搜索與它最近主節點mS。檢查與其主節點上有關的所有主片，確定從節點nS穿透主表面時可能接觸的主片。若主節點mS與從節點nS不相重，且滿足式(9)時，從節點nS與主片Si發生接觸。

(7)

Ci和Ci+1是主片Si在mS點的兩條邊矢量。矢量S是矢量g在主表面上的投影，g是從mS到nS的矢量。

S=g-(g·m)m

(8)

S=max(g·Ci/|Ci|)，i=1,2,…

(9)

從而確定了從節點nS在主片Si上可能的接觸點C的位置。其中r是主片Si上任一點的位置矢量。接觸點位置滿足如下方程。

(10)

求解C坐標(ξc,ηc)。之后檢查從節點nS是否穿透主片。若l=ni·[t-r(ξc,ηc)]<0，表示nS穿透主片Si，ni是在接觸點處Si外向法線單位矢量，若l≥0，即nS沒有穿透主表面。如果nS穿透主片Si，則在nS和接觸點之間附加一個接觸矢量，可計算主片Si各節點接觸力。

2 齒輪副參數化模型的建立

如前節分析知，齒輪線外嚙合沖擊主要是由于大小齒輪基節偏差所致，故本節探討關于帶有基節偏差的齒輪實體模型生成的方法，傳統的理想齒輪齒輪生成辦法[10-11]，不再予以敘述，重點闡述在理想齒輪基礎之上添加基節偏差參數化模型。

對于基節偏差，其定義為在基圓上同側齒面的法相實際距離與工程距離之差。當齒輪存在不同齒距偏差時，體現在模型中的變化是齒輪齒廓位置的偏移。因此，在Pro/E中建立齒輪輪齒特征時應用“陣列”方法，圍繞齒輪中心軸線，齒與齒間的陣列角度為360/Z，陣列的輪齒將均勻分布于齒輪外緣。

為了賦予陣列角度360/Z偏差值，直觀體現到模型中便是基節偏差。

然而在建立帶有基節偏差的齒輪，其難點就是基節偏差至陣列角度偏差的轉化問題，在具體設計建模過程中，給定基節偏差Δ基節，通過式(13)轉化為陣列角度偏差，并設置在關系式中,即

(11)

所以，在陣列齒輪時，陣列角度為:

(12)

圖2為生成帶有基節偏差的齒輪，由于偏差較小，不易肉眼觀察，故將此模型的基節偏差放大為0.1的效果圖。

圖2 誤差齒輪Pro/E

從圖2可以看出，后一對還齒輪即將進入嚙合，且在線外嚙合，從而為動力學仿真提供了生成帶有基節偏差的實體模型。

3 數值求解

3.1 前處理

選擇ANSYS作為前處理軟件，選擇適用于大變形分析的solid164體單元以及用于加載轉速與轉矩的shell163殼單元。對于solid164單元，選擇單點高斯積分形式，shell163殼單元，單元為均勻厚度，厚度為0.1mm，選擇S/R corotational Hughes-Liu面內多積分，以消除沙漏模態。齒輪的材料選擇30CrNi3，質量密度為7.85×103kg/m3，彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3。

3.2 有限元網格劃分

對于有限單元網格，六面體相比四面體網格單元，能夠得到較好的計算精度，且在相同計算精度下，可以使用較少的網格數量，從而提高計算速度，因此,使用solid164六面體劃分網齒輪進行劃分。

對于有限元算法本身的特性，其計算只是近似解，其計算的精度取決于網格質量。通常網格質量越好，密度越高，則計算精度越精確，但同時計算時間也大幅度增加。因此,選擇較好的網格控制參數，才能保證計算的結果準確可行。控制網格參數的原則是重要部位加密(如齒面、齒根過渡圓角部位)，不重要的位置(如齒輪輪轂)網格密度可以適當的稀疏，這樣不僅能保證重要部位的計算精度還能節省寶貴的計算時間，提高效率。

具體的操作步驟：首先采用solid164單元，選擇一個適當的網格控制參數，控制適當的esize、lsize以控制齒輪齒根圓、過渡圓角、漸開線的網格密度，對其齒輪整體進行體掃掠，采用shell163單元在齒輪內表面對其劃分網格，計算出當前接觸位置的應力結果；然后將網格密度大小縮小1倍，再試驗，直到同一位置2次計算結果相差很小時，則停止。此后網格密度繼續增多，不會增加計算精度，只會使計算時間大幅度增加，因此,在動力學仿真之前，通過反復試驗選取合適的網格密度，認為此時的網格密度為最佳。經過反復試驗和對比，最終的齒輪網格劃分如圖3所示。

圖3 齒輪有限單元模型

3.3 定義PART、接觸和施加載荷

在ANSYS/LS-DYNA程序中，沒有接觸單元，只要定義可能接觸的接觸表面、接觸類型以及與接觸有關的一些參數，在計算過程中程序就能保證接觸界面之間不發生穿透，并在接觸界面相對運動時考慮摩擦力的作用。模型選用的接觸類型是自動面面接觸(ASTS)，此接觸是最容易定義的接觸類型而且不會花費過多的CPU時間。

把采用剛體上加載轉矩轉速。定義大小齒輪的內圈為剛性體，主動齒輪施加轉速，被動軸施加阻力距，轉速為900r/min，轉矩為5 000N·mm。

3.4 修改K文件

改動的地方有以下幾點需要注意：

a.由于模型計算量較大，導致系統的內存不足，無法滿足計算需求，此時需要修改文件內存，將K文件第1行后面加上30×107，以滿足內存需求。

b.LS-DYNA求解碰撞問題時，不能有初始穿透，固先處理初始穿透，在關鍵字*CONTROL_CONTACT中將參數IGNORE項改為1，可以很好地消除初始穿透引起不真實的應力。

c.幾乎所有LS-DYNA的所有功能都能通過ANSYS命令流實現。但是，知道ANSYS只是將APDL命令轉化為K文件，最終計算時都是采用LS-DYNA求解器，輸入文件都是K文件，所以直接在更改K文件，會減少重建劃分網格、建立模型等時間。通過大量嘗試發現，ANSYS命令流不能完美地轉化為LS-DYNA的K文件，例如在主動輪的剛體留有只具有繞Z軸轉向自由度，對應K文件的參數值應為7，但是經過轉換后為8，故此處需改動。

d.定義接觸設置時，若要求的齒輪齒面接觸應力，需輸出對應文件，在LS-PrePost中才能調用。

4 數值仿真結果的驗證與分析

4.1 理想齒輪嚙合沖擊的結果分析

在Pro/E中首先建立理想齒輪副模型，調整齒輪副嚙合角度，使其第1對輪齒，第2對輪齒接近嚙合的位置，此時對其嚙合齒輪進行動力學仿真。對于彎曲應力的提取，在主動輪齒根部位提取相應單元，分別提取第1對、第2對輪齒的彎曲應力-時間曲線，如圖4所示。

圖4 理想無誤差齒根彎曲應力

從圖4可以看出,在雙齒嚙合區，由于2個輪齒共同參與嚙合，每個輪齒嚙合力峰值是單齒嚙合區峰值的1/2；單齒嚙合區嚙合力峰值分別為208 MPa,212MPa，其最大值與理論值18 MPa，相差不大，其比值為1.133，即動載系數，與理論相符，印證了計算模型的正確性。

對于接觸應力的提取，由于齒輪嚙合接觸點時刻變化，故其接觸應力的提取不能通過選取單一節點。提取方式為：通過選取接觸面上所有節點，認為其接觸應力值最大曲線對應的節點位置為齒輪嚙合接觸相對應的節點位置。

如圖5所示，對于第1對齒輪齒面上173號節點接觸沖擊最大，對于第2對齒輪齒面上466號節點接觸沖擊最大。

圖5 理想無誤差齒面最大接觸應力

4.2 基節偏差對齒輪嚙合沖擊的影響

由第1.1節分析知，當主動輪基節小于從動輪基節時，是產生嚙入沖擊的主要因素。故分別選取主動輪基節偏差為正(基節減小方向)、從動輪基節偏差為負(基節增大方向)，再由第2節中建立的參數化齒輪生成所需要的模型。由模型結果可得出，隨著齒輪的基節偏差增大，齒面所受沖擊應力值也在增長，故在校核齒輪強度時，應考慮最大基節偏差時的接觸應力作為最大校核應力，在沖擊接觸應力過大時，可以適當增加齒輪加工精度等級，以此來減少基節偏差。

5 結束語

齒輪接觸應力和彎曲應力的理論分析與動態仿真結果基本吻合，驗證了方法的正確性。對帶有不同基節偏差的齒輪模型進行動力學分析，得出基節偏差對齒輪嚙合沖擊的應力狀態具有十分重要的影響，即基節偏差越大，齒輪嚙合沖擊越嚴重。研究為齒輪強度的精確計算和設計提供了一種方法，在選擇齒輪精度加工等級時，可以根據上述計算方法選擇適當的齒輪基節偏差范圍，使其能夠承載當前的負載力矩與轉速。對于研究齒輪連續體各類隨即誤差對齒輪減振降噪具有一定的理論價值。

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Research of Gear Meshing Impact Outside the Engagement Line Based on Pro/E and LS-DYNA

TONGCao1,SUNZhi-li1,FENGZhen2,JIANing3

(1.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China;2.College of Information Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang 110819,China;3.People’s Liberation Army of China,65631Troop,Jinzhou 121300,China)

首先基于Pro/E二次開發建立帶有基節偏差的齒輪參數化模型，給出生成誤差模型的方法和思路，從而保障了連續體齒輪動力學仿真順利進行；采用ANSYS前處理功能，基于APDL命令流語言，對齒輪進行劃分網格，給出劃分網格的控制方法和劃分思路，以保證求解計算精度高且計算時間快；采用顯式動力學軟件LS-DYNA對其進行動力學計算，從而實現精確求解齒輪連續體在嚙合沖擊過程中齒輪的動態彎曲應力和接觸應力。

齒輪；基節偏差；線外嚙合沖擊；Pro/E；LS-DYNA；接觸應力；彎曲應力

In this paper,firstly,a gear parametric model with base pitch error is established based on Pro/E secondary development,and given a method and idea to generate error model,therefore,it is guaranteed that continuous body gear dynamics is simulating successfully.the gear model is menshed based on APDL command flow language mesh by using ANSYS’s pre-processing function,and a meshing control method is given in order to ensure high accuracy and to calculate time fast.The explicit dynamics software LS-DYNA is introduced for the dynamics calculations,thereby,it is achieved that gear bending stress and contact stress during engagement impact is calculated accurately.

gear;base pitch error;impact outside the action line;Pro/E;LS-DYNA;contact stress;bending stress

2013-10-29

航空科學基金資助項目(20110450002)

TB53

A

1001-2257(2014)06-0010-05

佟操(1986-)，男，遼寧營口人,博士研究生,研究方向為齒輪系統動力學、齒輪傳動系統虛擬可靠性試驗;孫志禮(1957-)，男，山東巨野人,教授，博士研究生導師,研究方向為機械可靠性工程等。