基于齊次量綱雅可比矩陣的四自由度并聯機構運動靈巧度分析

姜子強，李永剛，許立新

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津300222）

0 引言

基于雅可比矩陣的運動學尺度綜合是并聯機構的主要設計任務之一。但對于輸出運動是平移運動和轉動運動相耦合的機構，其雅可比矩陣存在量綱不一致的問題，致使其不能直接應用于機構的運動靈巧度分析。

雅可比矩陣對于奇異性分析、剛度矩陣的建立和運動尺度綜合具有重要的意義［1－5］。因此，雅克比矩陣的構造一直是機構學領域的研究熱點之一［2，6－9］。少自由度并聯機構的完整雅克比矩陣通常為6×6矩陣，其中，完整雅克比矩陣包括約束子矩陣和運動子矩陣［2，6］。Joshi［3］利用螺旋理論給出了對稱并聯機構的完整雅可比矩陣的建模方法。李永剛［4］等利用該方法分析了非對稱機構的雅可比矩陣的求解方法。但是此類雅可比矩陣存在量綱不一致的問題。為此，一種基于數值算法的齊次雅可比矩陣被提出用于尺度綜合和運動靈巧度分析［7－8］。隨后，Liu［9］等又給出一種解析方法，并用若干中對稱機構進行了實例分析。

借助以上方法，構造出了非對稱并聯機構2RRS－2RUS的齊次量綱完整雅克比分析。通過求解齊次量綱雅克比矩陣的條件數的分布規律，對經過歸一化處理的機構尺度參數，進行了性能參數隨各尺度參數的變化規律。

1 2RUS－2RRS并聯機構

如圖1所示，并聯機器人主要由定平臺和動平臺及連接平臺的4條支鏈組成。每條支鏈包括驅動桿和固定桿，一端通過R副與定平臺連接，一端通過球副S與動平臺相連。支鏈1，3機構相同，為RUS無約束支鏈。2，4相同為RRS約束支鏈。約束支鏈中的轉動副軸線相互平行，無約束支鏈中的虎克鉸一條軸線與該支鏈的R副平行，另一條軸線與該支鏈的R副垂直，通過改變驅動桿的旋轉角度，來調整動平臺的位姿。

圖1 2RRS－2RUS并聯機構

機構坐標系的建立，如圖2所示。定平臺A1A2A3A4和動平臺B1B2B3B4分別是以R和r為半徑的圓臺，各支鏈與兩平臺的連接點分別為AiBi（i＝1，2，3，4），且均勻分布在圓臺的邊上。為便于分析，將在定平臺的中心O上建立固定坐標系O｛x，y，z｝，X 軸沿著A1A3，Z 軸垂直于定平臺豎直向上，Y軸滿足右手定則。在動平臺中心P上建立動坐標系，w軸沿著Z軸的方向垂直于動平臺，u沿著PB1的方向，v軸由右手定則確定。動平臺上各球鉸中心在固定坐標系中表示為X－Y′－X′′，各支鏈中的驅動桿和固定桿長分別為li1和li2，驅動角度分別為αi（i＝1，2，3，4）。

圖2 螺旋坐標系

如果只考慮2，4支鏈，動平臺可以進行X，Y，Z軸方向的移動和繞X，Y軸方向的轉動，但由于1，3支鏈中第2個轉動副的約束作用，動平臺沿Y軸方向的移動受到限制，最終在4個支鏈的約束下，該機構具有二維移動和二維轉動，X，Z軸方向的移動與繞X，Y軸方向的轉動。

2 完整及齊次量綱雅克比矩陣的建立

2.1 約束子矩陣的建立

根據螺旋理論，將動平臺的瞬時速度用＄p＝［wTvT0］表示，w為動平臺的角速度，v0為動平臺上瞬時速度與定坐標系原點相重合的那一點的線速度矢量。瞬時速度，可以通過各支鏈的瞬時螺旋運動線性疊加得到：

由圖2可知，1，3支鏈的各關節的運動螺旋，即

2，4支鏈的各關節的運動螺旋為：

ai為點Ai相對于O的位置矢量；bi為點Bi的位置矢量，即bi＝RBi；ci為點Ci的位置矢量，即ci＝bi＋li2wi2；sij為第i條支鏈的第j個轉動副的單位方向向量。

根據螺旋理論，可以找到與每條支鏈的5個運動螺旋都互逆的運動反螺旋，其反螺旋在該并聯機構中的描述為與各支鏈中所有轉動副（R副）共面的運動螺旋［1］。

將式（4）與式（1）做互易積得：

將上式寫成矩陣形式為：

Jc為約束子矩陣，由于2，4支鏈所采用的是虎克鉸，所以在動平臺運動過程中，并沒有提供約束，也就是說只有1，3鏈有約束子矩陣。

2.2 運動子矩陣的建立

式（8）與式（2）做互易積，得：

式（9）與式（2）做互易積，得：

聯立式（10）和式（11），得到：

2.3 完整雅克比矩陣的建立

將運動子矩陣和約束子矩陣聯系起來即得到完整雅克比矩陣。即聯立Ja和Jc，得完整雅克比矩陣為：

3 齊次量綱雅克比矩陣

雅克比矩陣的使用條件是受限的，只有機構中只存在移動或轉動時才可使用，而齊次量綱雅克比矩陣的條件數可以運用到有著復雜運動（同時包含轉動和移動）的機構中。

首先在坐標O點建立一個參考坐標系R，在O′1個固定坐標系R0和1個瞬時坐標系R′，ei，j表示在點pi處，沿著軸j的單位向量，如圖3所示。

圖3 平臺坐標系的建立

將平臺P點相對于O′的速度表示出來，即

v為P點的線速度；w為P的角速度；ri為P到O′的距離。

然后用ei，j對上式兩邊分別進行點乘，得：

ei，j0＝RTeij，ri0＝RTri為R0相對于R′在R 坐標系下的單位向量，＄ij0為在R0坐標系中的節距為零的單位力螺旋，表示沿ei，j0方向指向P點的單位力。

然后利用四面體構造齊次量綱雅克比矩陣，根據四面體的特點建立5個點，借用四面體的底面（三角形）P1，P2，P3，P4的3個頂點和中心點，再加上四面體的頂點構成5個點。O′為底面的中心，分別為四面體的4個頂點，ri0是頂點Pi到O′的距離，每個頂點都由3組正交軸組成，分別是ei，10┴ei20，ei，10┴ri0和ei，20┴ri0（i＝ 1，2，3，4），其構建圖形如圖4所示。

圖4 四面體坐標系的建立

由此得到如下向量：

βi為ri（i＝1，2，3）與x軸之間的夾角；r為ri的長度。

式（15）可以寫為：

Jp0＝［＄0，10＄0，20… ＄4，10＄4，20］T，vp＝［v0，1v0，2… v4，1v4，2］T。Jp0是 一 個 11×6的矩陣，對2RRS－2RUS的4自由度機構來說，可以從Jp0中選取4組線性相關的行向量組成一個4×6的矩陣Jpa0。

然后再由線性映射關系L：＄t∈R6→vpa∈Rf，可以得到：

Jpa便是所求的4×4的4自由度的齊次量綱雅克比矩陣。

Jpa0只與ri0和ei，j0有關。

4 運動學性能評價指標

4.1 條件數

衡量機構運動性能的指標稱之為靈巧度。目前衡量機器人靈巧度的指標有2類：一是雅克比矩陣條件數，二是可操作度。使用條件數作為衡量靈巧度的指標。

雅克比矩陣條件數是機構輸入速度相對偏差的放大因子，決定了其求逆的計算精度和穩定性，所以在機構設計中要求條件數在操作范圍內越小越好，當條件數為1時，機構處于最佳的運動傳遞性能，其所對應的點具有各向同性點，在位型上稱之為運動學各向同性；而當條件數處于無窮大時，機構處于奇異位置。

齊次量綱雅克比條件數，采用矩陣的譜范數表示為：

σmax為齊次量綱雅克比矩陣Jpa的最大奇異值；σmin為齊次量綱雅克比矩陣Jpa的最小奇異值。

給定2RRS－2RUS機構的結構參數l11＝l21＝l31＝l41＝135cm，l12＝l22＝l32＝l42＝170cm ，R＝120cm，r＝80cm。機構齊次量綱雅克比矩陣的條件數。關于姿態角的分布規律，機構條件數關于位置的分布規律，如圖5和圖6所示。

圖5 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數分布

圖5中，1為x＝0m，z＝0.25m；2為x＝0m，z＝0.55m；3為x＝0m，z＝0.75m。

圖6 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數分布

圖6中，1為ψ＝0°，θ＝0°；2為ψ＝15°，θ＝20°；3為ψ＝30°，θ＝40°。

從圖5可看到，2RRS－2RUS的條件數κ（Jpa）隨z高度的增加，變化并不明顯，即z的值對條件數的影響很小。

觀察圖6可以看出，隨著姿態角角度增大，條件數值變大，即機構的運動能力有所減弱。

4.2 全域均值條件數

由于雅克比矩陣依賴于并聯機構的位形，只采用一個位型參數下的條件數作為評價指標，具有局限性，所以為總體評價靈巧度，首先對機構的整個工作空間中的各個位型雅克比矩陣條件數求平均值η，顯然η越小機構的運動性能越好，即

St為給定工作空間某一高度截面面積。

為了便于討論尺度參數對機構操作性能的影響，在給定了動平臺中心x，z向移動范圍和所需的動平臺轉角范圍，同時也給定了機構的尺寸參數（設計變量）：定平臺半徑R、動平臺半徑r和連桿長度li1，li2（各支鏈對應的固定連桿尺寸相同），用r分別對R 和li1，li2（i＝1，2，3，4）進行歸一化處理，得：

在此，設定參數的變化范圍為：λ1＝1～2，λ2＝1～2，λ3＝1～2。然后求出均值條件數隨λ1，λ2，λ3的變化規律，如圖7所示。

圖7 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數隨λ1，λ2，λ3 的分布

通過觀察圖7得出如下結論：

a.在給定的范圍內，均值條件數隨著λ1的變大而增大，其運動性能有所減弱。

b.在參數的變化范圍內，均值條件數隨著λ2，λ3的變大而減小，其運動能力有所增強。

5 結束語

利用螺旋理論構造出2RRS－2RUS機構完整的6×6雅克比矩陣，可以反映出系統的約束和驅動信息；基于完整雅可比矩陣，可以導出4×4齊次量綱雅克比矩陣；利用齊次量綱雅克比矩陣條件數作為靈巧度指標，分別固定位置參數和姿態參數，得到了齊次量綱雅克比矩陣條件數關于ψ，θ和x，z的分布規律圖；以動平臺半徑為標準對結構參數進行歸一化處理，得到了λ1，λ2，λ3，結合全域均值條件數，求得了均值條件數隨λ1，λ2，λ3的分布規律，為該機構的進一步優化設計做了貢獻。

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