基于模型預測控制的陣風減緩技術研究

劉岳鋒，白俊強，孫智偉

（西北工業大學航空學院，陜西 西安710072）

0 引言

陣風減緩是主動控制技術的重要組成部分，在現代飛機設計中得到了越來越廣泛的應用。它能有效地降低陣風引起的附加過載，改善飛行品質并提高結構的疲勞壽命。傳統PID控制、線性二次高斯控制（LQG）和魯棒性控制（H∞）等都在陣風減緩控制中得到了應用，并取得較好效果［1］。但實際系統都存在舵偏角和舵偏速率等約束，上述方法均難以處理系統存在約束的情況。

模型預測控制（MPC）是20世紀70年代產生于工業過程控制領域的一類計算機控制算法。MPC基于滾動優化，通過在線求解二次規劃（QP）問題，得到每一采樣時刻滿足系統約束的最優控制輸入。MPC的特點是滾動優化，滾動實施，具有一定的自適應性，因此，MPC非常適合狀態和輸入存在約束的非線性或時變系統。但由于每一采樣時刻都需求解QP問題，MPC存在計算量大的缺陷［2］。隨著計算機軟硬件水平的不斷發展以及高效可靠QP算法的出現，使MPC應用到諸如航空航天和機器人等實時性要求較高的控制領域成為可能［3－6］。

1 模型構造

1.1 陣風模型

飛機過載增量主要由垂直陣風引起，而水平陣風的影響較小，因此，設計陣風減緩系統時著重考慮垂直陣風的影響［7］。

系統使用離散和連續陣風模型進行控制律設計和仿真。對于離散陣風，一般采用（1－cos）陣風模型，具體形式為：

wg為垂直陣風速度為陣風強度；Lg為陣風尺度。

對于連續陣風模型，由于僅針對剛性飛機進行陣風減緩研究，只需要考慮低頻范圍的陣風。在低頻范圍內，Dryden模型和Von Karman模型基本一致［8］。因此，采用結構形式更為簡單的Dryden模型。

Dryden函數譜為有理譜，根據有理譜成形理論，可以認為連續陣風wg是以單位強度白噪聲w為輸入的一個線性成型濾波器的輸出。由此可得到連續陣風的線性化模型為：

T為風干擾的特征長度L與航跡速度V0的比值。

1.2 飛機－陣風模型

飛機的動力學特性是通過六自由度方程來描述的，但是六自由度方程為非線性方程，并且存在縱向和橫航向耦合，不便于進行控制律設計。通過小擾動假設，標準的六自由度方程被線化和解耦，從而得到線化的縱向小擾動方程。此外，垂直陣風wg引起迎角增量Δαg，相當于在飛機運動方程中引入了Δαg的干擾，它對飛機運動的影響即是對迎角α的影響［9］。因此，結合飛機縱向小擾動方程和陣風的線性化模型，可建立如下狀態空間方程，即

其中

Δυ，Δα，Δq，Δθ分別為航跡速度、迎角、俯仰角速率和俯仰角的增量；Δnz為法向過載增量；δe和δf分別為升降舵和襟翼偏角；v代表輸出量的隨機擾動，為零均值的Gauss白噪聲。

2 模型預測控制

2.1 預測模型

MPC是一種基于模型的控制算法，對于MPC來講，只注重模型的功能，而不注重模型的形式。預測控制的功能就是根據對象的歷史信息和未來輸入，預測未來輸出。因此，預測控制具有展示未來動態行為的能力。

對于式（3）所示狀態空間模型，預測模型具體形式為：

x（k＋j｜k）為k時刻對k＋j時刻狀態量的預測值；x（k）為k時刻狀態量；u（k＋j｜k）為k時刻對未來k＋j時刻控制輸入的預測值。

2.2 滾動優化

在MPC中，通常優化不是一次離線進行，而是反復在線運行。即在每一采樣時刻，優化性能指標通常只涉及未來的有限時間，而到下一采樣時刻，這一優化時域向前推移。這是滾動優化的含義，也是MPC區別于傳統最優控制的根本特點。優化的滾動實施能應對由于模型失配、約束和干擾等引起的不確定性，及時進行彌補，始終把最新的優化建立在實際的基礎上，使控制保持實際上的最優。

2.3 控制器求解

由于MPC為離散控制方法，故需要使用離散的狀態空間方程。對于式（3）所示被控系統，選擇二次性能函數作為優化目標，式（5）給出了二次性能函數的一般形式，即

xk，xref，k和uk分別為k 時刻狀態變量，參考狀態變量以及控制信號；向量U為控制時域Nu的控制信號序列；Np為預測時域，預測時域要比控制時域長；矩陣Q和R為狀態變量以及控制量的權重矩陣；Qf為終端加權矩陣。

預測狀態變量序列可以通過未來輸入序列U和當前狀態變量xk表示，形式為：

由于缺乏完整的狀態信息（部分狀態變量不可測量或難以測量），必須使用當前狀態的估計值＾xk來代替式（5）中的xk。＾xk可以通過最優估計器來獲取，系統采用Kalman濾波器作為估計器。

為了更真實地反應物理系統的實際特性，避免不可實現的控制輸入，在當前研究中引入舵面偏角約束。因此，式（5）所示問題轉化為帶約束的優化問題，具體形式為：

式（7）不等式約束可以轉換為緊湊的矩陣形式FU≤c，其中，F，c分別為：

對未來輸出預測序列以及不等式約束使用緊湊形式表達，可以將二次性能指標轉化為：

Xref為整個預測時域的參考狀態變量序列，＾Q，＾R為塊對角矩陣，可以表示為：Q＝diag［Q Q …Qf］，R＝diag［R R … R］。

式（8）為典型二次規劃問題，對于正定權重矩陣Q，可以知道矩陣HT＾Q＾H 同樣為正定矩陣，因此，式（8）實際為一個凸二次規劃問題。對于此類問題，最優解存在且唯一。參考文獻［10］提供了一種高效的凸優化算法，能夠快速求得最優控制輸入。MPC控制系統的工作原理如圖1所示。

圖1 MPC系統原理

2.4 模型預測控制器穩定性分析

如果一個系統可鎮定和可檢測，那么標準LQ無限時域控制方法可以構造一個穩定優化控制器。然而，MPC為有限時域控制器，一個以二次性能指標為基礎的有限時域控制器通常并不能保證漸近穩定。使用有限時域控制，是為了數值處理更容易，但是也可能造成系統不穩定。為了保證MPC的穩定性，近年來發展了許多穩定性 MPC算法［11－12］。如果（A，B）是可鎮定的；（A，Q1／2）可觀的；且性能指標函數滿足單調性條件，即V（xk，U＊，N＋1）≤V（xk，U＊，N），則MPC控制器是穩定的。

應用以下任何一類終端條件，約束MPC單調性即可滿足：終端等式約束；終端約束集；終端代價函數。前2種方法會減小可行域，特別是終端等式約束。系統采用終端代價函數方法。當終端代價函數滿足式（9），可以保證性能指標函數滿足單調性條件［11］，即

K為線性二次調節器（LQR）增益（LQR選取與MPC一致的Q，R權重矩陣）。

根據矩陣的schur補性質，式（9）可以轉化為線性矩陣不等式（LMI）形式，從而可以方便求出2］。LMI形式為：

3 Kalman濾波器

在飛機縱向運動的4個主要狀態變量中，只有俯仰角速度和俯仰角的測量精度較高可直接利用，而迎角和航跡速度的測量結果，由于受到諸多因素的影響而不能直接用于控制系統，所以一般用迎角和航跡速度的最優估計值代替，組成狀態反饋矩陣［13］。

對于式（3）描述的系統，狀態估計值可以通過Kalman濾波器來獲得，即

L（k）的求解需要給定輸入干擾協方差矩陣Qn，測量噪聲協方差矩陣Rn和輸入輸出協方差矩陣Nn。利用＾x（k）代替x（k），即可與 MPC控制器聯合求解。

4 仿真分析

4.1 模型描述

為了驗證MPC算法的性能，將陣風減緩控制器應用于某大型飛機，并針對系統無約束和有約束情況，分別與LQG控制器進行對比仿真計算。給定陣風強度為5m／s，飛行速度為200m／s。飛機展長為44.8m，機身長為54.1m，機翼面積為260 m2，平均氣動弦長為6.6m，巡航質量為130 000 kg。

4.2 仿真結果及分析

MPC控制器性能取決于權重矩陣，預測時域和控制時域的長度。其中，控制時域的選擇需要通過反復試驗，一般而言控制時域越長，控制性能越好，但計算量也越大。MPC控制器參數如表1所示。

表1 MPC控制器參數

圖2～圖3給出了飛機在1－cos陣風下，2種控制方法的仿真結果。結果比較了在有約束和無約束2種情況下，系統的過載響應。仿真結果表明，在無約束時，MPC和LQG減緩效果基本一致；有約束時，MPC的舵面響應更快，更早進入舵面飽和狀態，因而對于系統約束具有更強的適應性。

圖2 無約束過載響應（1－cos陣風）

圖3 有約束過載響應（1－cos陣風）

圖4～圖5給出了飛機在連續Dryden陣風下，2種控制方法的仿真結果。相比LQG控制器，MPC控制器在系統存在約束時，具有更強的適應性和更好的性能。

圖4 無約束過載響應（Dryden陣風）

圖5 有約束過載響應（Dryden陣風）

MPC和LQG控制器的陣風減緩率如表2所示。

表2 陣風減緩率 %

從表2可看出，離散陣風減緩率大于連續陣風減緩率；無約束減緩率大于有約束減緩率；有約束時，MPC控制器減緩率大于LQG控制器。

連續陣風下控制系統所消耗的計算時間如表3所示。

表3 控制器計算時間 s

其中，計算機主頻為2.67GHz，單核運算，仿真時間為20s，采樣步長為0.05s。從表3中可知，LQG為無窮時域離線控制器，其計算效率高于在線的MPC控制器；有約束比無約束計算效率低；且預測時域越長，計算效率越低；所有計算時間遠小于實際仿真時間，不會導致控制器延遲，計算效率可以滿足工程需要。

5 結束語

通過小擾動假設獲得飛機動力學模型，并與陣風模型結合得到飛機－陣風狀態空間方程。在系統狀態空間方程基礎上進行控制律設計和仿真計算，得出以下結論：

a.當系統不存在約束時，MPC實質就是有限時域的LQG算法，因而此時MPC陣風減緩率與LQG減緩率基本一致。

b.系統存在約束時，MPC采用滾動優化策略，每一時刻進行最優二次規劃求解，能夠獲得滿足約束條件的最優控制；而LQG是屬于一次離線優化，不能在優化中考慮約束的影響。因此，在約束條件下，MPC控制性能優于LQG算法。

c.MPC算法采用滾動在線優化，計算效率低于LQG；MPC預測時域越長效率越低，且有約束比無約束效率低，但MPC計算效率能夠滿足工程需要。

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