大行程柔性鉸鏈Hexapod機構參數優化設計

彭 程，殷躍紅（上海交通大學機械與動力工程學院，上海200240）

0 引言

光學系統在光學顯微鏡、半導體生產和空間探測等超精密工程領域中得到了廣泛的應用［1］。為了保證光路的準確性，光學元器件不但需要有很高的面形精度，而且需要精密的定位系統。以大口徑空間望遠鏡的子鏡拼接為例，在戈達德太空飛行中心研制的太空球面光學望遠鏡主鏡［2］（SPOT）直徑3.5m，由6個對角線長0.86m的六角形子鏡環狀排列組成，中心無鏡面。每個子鏡都有傾斜、翻轉和移動的自由度，SPOT對每個子鏡的定位精度提出了很高的要求：鏡面法向移動范圍目標值±5mm、最小值±1mm，鏡面法向移動分辨率目標值＜10 nm、最低值20nm。鏡面翻轉范圍±2°，鏡面翻轉分辨率≤0.05arcsec。

傳統的光學元器件精密定位并聯機器人使用的是球鉸、萬向鉸鏈等傳統的運動副作為活動關節，會引入摩擦、回程間隙和爬行等問題極大地影響并聯機器人的精度。為了克服使用傳統運動副引起的上述問題、減小并聯機構的精度損失，柔性鉸鏈被用來作為新型并聯機器人［3－5］的運動副。柔性鉸鏈具有結構簡單、無摩擦和精度高等優點，能夠使系統得到很高的精度和分辨率。然而，由于柔性鉸鏈的變形量有限，傳統的全柔性鉸鏈的并聯機器人的工作空間都很小，多在立方微米級。在一些需要較大行程的應用中往往需要兩級運動機構的疊加，其中一級提供較大范圍的運動，另一級為微位移的柔性并聯機構。這樣的結構增加了系統的復雜性，提高了系統成本。為了使得柔性鉸鏈并聯機器人能夠在立方厘米級的工作空間得到應用，近年來又開發了大行程的柔性并聯機器人，如Kang D等人［1］以光學精密定位為背景研制了一種新型的大行程柔性鉸鏈并聯機器人，該六自由度的機器人工作空間±2mm＊±2mm ＊±2mm ＊±2°＊±2°＊±2°，移動分辨率達到15nm，轉動分辨率為0.14arcsec。Tang等人［6］設計并測試了具有XYZ3個自由度的柔性并聯機器人，3個方向的運動相互解耦，行程達到2.3mm。經過測試，其橫軸誤差小于1.9%，移動引起轉角小于1.5mrad。

以光學元器件的精密定位為應用背景，研究大行程柔性鉸鏈Hexapod機構參數優化設計方法。柔性鉸鏈的性能很大程度上決定了大行程柔性鉸鏈Hexapod機構的性能。同樣構型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導致大行程全柔性鉸鏈Hexapod機構整體的靜剛度和精度下降。以滿足動平臺工作空間要求前提下柔性鉸鏈的變形量最小為優化目標，優化設計大行程全柔性鉸鏈Hexapod機構的結構參數。

1 運動學逆解

1.1 參數設定

為了簡化研究，建立柔性鉸鏈Hexapod機構的偽剛體模型。將支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設為帶轉動剛度的球鉸，支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設為帶轉動剛度的萬向鉸，移動關節包括直線致動器與柔性直線導向機構。簡化Hexapod機構如圖1所示。上方的平臺為動平臺，下方的平臺為定平臺。為了方便分析，按圖1所示建立定平臺上的坐標系A（X，Y，Z）、動平臺上的坐標系B（U，V，W）及分別對各支鏈i建立用DH方法建立坐標系（ri－j，si－j，ti－j），其 中，j＝0，1，2…6。 坐 標 系（ri－0，si－0，ti－0）與坐標系（ri－6，si－6，ti－6）分別與坐標系A，B 相對固定，ti－0方向為初始狀態下ri－0與Z軸叉乘乘積方向：

支鏈i的DH參數如表1所示。

圖1 偽剛體模型及坐標系

表1 支鏈DH參數

l為連桿兩端關節運動副軸線之間的公垂線長度；α為連桿兩端的關節軸線在該連桿長度的法平面內投影的夾角；d為相鄰連桿的距離；θ為相鄰連桿的夾角。

初始狀態時各關節參數為［0°，－90°，di0，－90°，－90°，0°］，di0為初始狀態的支鏈長度。代入DH矩陣的計算公式，分別計算得到各連桿的齊次變換矩陣kAil（支鏈i中l坐標系在k坐標系中的表示）。

1.2 求解柔性鉸鏈轉角

求解關節轉角的過程類似于六自由度的串聯型機械臂求逆解的過程。將k中的旋轉陣用k表示，AAB表示動平臺相對于定平臺的齊次變換矩陣。i支鏈桿長方向與ti－2方向相同：

考慮到θi－2的初始位置姿態值為－90°且柔性機器人關節轉角均較小。因此，有－π≤θi－2≤0。可以求得：

與動平臺相對固定的向量ti－6在坐標系B中表示為Bti－6，下式中Bi0表示初始位置姿態時點Bi在A坐標系的坐標。

可以用上面的結果表示支鏈i整體的旋轉矩陣A＝［ri－6，si－6，ti－6］。

由上式可以得到0＝［ri－0，si－0，ti－0］，即可求得6。同時也由各個關節的旋轉矩陣計算支鏈i整體的旋轉矩陣為：

0可由θi－1，θi－2求得。將已知的旋轉陣移至上述等式的左側得：

求解時考慮到θi－5的初始位置姿態值為－90°，柔性機器人關節轉角均較小，?。小堞萯－5≤0。

至此，支鏈i的各關節運動量均已求得，可以得到相對于初始位置各關節轉動的角度或移動量為：

2 Hexapod參數優化

2.1 設計參數與要求

為了方便探討，選取初始位置下對稱的Hexapod類型，Hexapod機構的俯視圖及參數定義如圖2所示，圖中的坐標系為定平臺的坐標系A（x，y，z）。定義定平臺上所有Ai所在的圓的半徑為R，動平臺上所有Bi所在圓的半徑為r，A1與中心點O連線與Y軸的夾角為α，B5與中心點O連線與Y軸的夾角為β，初始狀態下動平臺與定平臺的距離為h。Ai，Bi在坐標系A 中的坐標分別是：Ai＝（Rcosαi，Rsinαi，0）；Bi0＝（rcosβi，rsinβi，h）

Bi0為初始位置姿態時Bi點在A 坐標系的坐標。具體的αi，βi，分別用α，β表示為：

設計時考慮到相鄰的Ai及相鄰的Bi不會重復或者交叉，限定10°≤α≤50°，10°≤β≤50°。考慮到實際的應用背景和結構的緊湊性，限定與動平臺相連的柔性球鉸中心所在圓的半徑100mm≤r≤200 mm，與定平臺相連的柔性萬向鉸中心所在圓的半徑150mm≤R≤250mm，初始狀態下定平臺與動平臺之間的高度150mm≤h≤250mm。后面的優化設計將在上述的范圍內對參數R，r，h，α，β優化設計，以獲取在滿足工作空間要求情況下使得所有柔性鉸鏈的變形范圍中的最大值最小的一組參數。Hexapod動平臺沿X，Y，Z軸移動的范圍均為±5 mm，繞X，Y軸旋轉的角度范圍為±2°，繞Z軸旋轉范圍不作要求。

圖2 Hexapod參數定義

2.2 平臺參數優化計算

設計時取初始條件下各柔性鉸鏈的變形值為零，根據要求的工作空間得到動平臺的位置與姿態六維向量xp＝［px，py，pz，φx，φy，φz］的取值范圍。

對于給定的任意平臺參數，使動平臺在某一個軸向移動或轉動到極限位置。按照第1節推導的表達式計算柔性鉸鏈的轉角，從中計算得每個支鏈的5個角度逆解，即30個角度逆解值中的最大絕對值與最大移動絕對值加權求和。依次求取每個軸向2個極限位置即10個極限位置（繞Z軸的旋轉由于光學鏡面的定位中沒有要求故不予考慮，每個軸移動或轉動方向分別取正負最大值）的加權和，選擇其中最大的作為此平臺參數下需要的柔性鉸鏈變形量的表征，選擇使得該加權和最小的平臺參數，即為最優化的平臺參數。

編寫Matlab程序尋求最優化的Hexapod機構參數基本的編程思路如下。

a.編寫求運動學逆解的函數inverseKinematics。函數的輸入為平臺參數（r，R，h，α，β）及動平臺的位置與姿態六維向量xp＝［px，py，pz，φx，φy，φz］，輸出為所有6個支鏈每個支鏈5個轉角逆解一個移動逆解，為6×6矩陣。

b.編寫求柔性鉸鏈最大轉角絕對與最大移動絕對值的函數findMaxDisplacement。函數的輸入為平臺參數（r，R，h，α，β）及動平臺的位置與姿態六維向量xp＝［px，py，pz，φx，φy，φz］，函數的輸出為對應于該平臺參數及位姿條件的30個柔性鉸鏈變形值中的最大絕對值及6個直線導向的柔性鉸鏈的變形值中的最大絕對值組成的向量。

c.編寫滿足工作空間要求的柔性鉸鏈最大加權和計算函數maxDisplacement。函數的輸入為平臺參數（r，R，h，α，β），函數的輸出為最大轉角絕對值與最大移動絕對值加權和。利用函數findMaxDisplacement求取各軸向極限位置時的柔性鉸鏈最大轉動值，從得到的10個值中選取最大值作為輸出。

d.將問題變為最優化問題。目標函數min maxDisplacement（r，R，h，α，β）限制條件為：

用Matlab工具箱中的最優化函數fmincon尋找限定條件下的最優化解，將算法設置為“interiorpoint”。設置不同的權重，得到局部最優解的情況如表2所示。

從表2中可以看出，按照優化時對最大轉角絕對值和最大移動絕對值分配權重的不同可以將Stewart平臺的設計參數分為3類：第1類使得轉動導向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最??；第2類使得直線導向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最小；第3類綜合最優，使得整個平臺柔性教練的轉動角度和伸縮量都取得比較小的數值，但均不是最小值。設計時可以按照綜合最優選取平臺參數，也可以按照某種鉸鏈的運動范圍要求最小進行設計。

表2 Hexapod優化設計參數

3 結束語

以柔性鉸鏈的要求變形值最小為優化目標，在滿足大行程柔性Hexapod機構工作空間要求的前提下進行Hexapod機構參數的優化設計。建立了大行程柔性Hexapod的偽剛體模型的各支鏈坐標系，求取了各支鏈各關節運動學逆解的解析表達式，并以此為基礎進行了Hexapod機構的優化設計。從最后優化設計實例的計算中可以看出，實際設計時，可以以某種柔性鉸鏈的變形量要求最小或兩種變形的加權和最小為設計目標優化設計Hexapod機構的參數，也可以根據設計完成的兩種柔性鉸鏈能夠滿足整體的行程范圍要求，調整各自的權值使其滿足要求從而進行Stewart平臺的參數配置。

［1］ Kang D，Gweon D.Development of flexure based 6－degrees of freedom parallel nano－positioning system with large displacement［J］.Review of Scientific Instruments，2012，83（3）：035003－035009.

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