基于旋量理論的主動介入導管運動學研究

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(1.南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016；2.上海交通大學醫學院附屬新華醫院,上海 200092；2.沈陽自動化研究所，遼寧 沈陽 110016)

基于旋量理論的主動介入導管運動學研究

張健1，陳柏1，陳筍2，耿令波3，吳洪濤1

(1.南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016；2.上海交通大學醫學院附屬新華醫院,上海 200092；2.沈陽自動化研究所，遼寧 沈陽 110016)

針對介入手術操作環境幾何特征各異的特點，為提高介入設備的通用性，提出一種由記憶合金絲SMA(shape memory alloy)與繩索混合驅動的模塊化主動介入導管機器人。采用旋量理論和指數積POE(product of exponentials formula)方法推導建立了3關節主動介入導管運動數學模型，對介入導管機器人的工作空間及運動仿真分析，結果驗證了所建立運動學模型的正確性。所采用方法大大降低了多節主動介入導管運動學模型的復雜性，為介入導管機器人的實際應用奠定了理論基礎。

主動介入導管；指數積方法；運動學；運動仿真；工作空間

0 引言

近年來，微創介入手術MIS(minimally invasive surgery)發展迅速。微創介入手術是指在醫學影像的引導下，將導管導絲從病人穿刺部位送至靶血管，進行相應的手術治療[1]。在介入手術過程中，操作環境的幾何特征各異，導管式介入裝置通常需要因時因地定制為不同的尺寸、形狀，通用性欠佳。為此，一種能隨環境管腔主動變形的新型機器人化的介入導管裝置的研發顯得重要。Komatsubaral M等人提出了由SMA彈簧驅動的一種新型主動微導管，直徑為3.5 mm，總長度為60mm。導管通過控制SMA彈簧,可以實現導管尖端至少8個方向的運動[2-3]。Jayender等人研制SMA驅動導管直徑約1.5 mm，采用了3條并行SMA導線結構，并針對SMA主動導管的控制進行了大量的研究[4-6]。此外，近年來迅速發展的繩索驅動技術， 基于繩索驅動的優勢，William W Cimino博士研制出了用于心臟治療的主動導管頭端[7]。

目前，絕大多數主動彎曲導管的數學模型是基于對導管彎曲軸線[8-9]的分析，建立彎曲及扭轉角度與圓弧曲率的函數關系。隨著介入導管機器人節數的增加，這種方法建立的數學模型將會變得十分復雜，其運動學的求解也將十分困難。

提出了一種基于記憶合金絲與繩索混合驅動技術的新型介入設備。采用旋量和指數積的方法建立了多節導管的運動學模型，并通過仿真分析驗證了其準確性，在一定程度上完善介入導管機器人的設計理論。

1 混合驅動介入導管系統

系統的核心部分是模塊化的介入導管，由骨架彈簧、連接件及SMA驅動器、繩索組成。SMA驅動器間隔120°分布在骨架彈簧的周圍，每根SMA驅動器都連有導線，用于供電。同樣，繩索驅動關節是由4根驅動繩索均勻布置在骨架彈簧的周圍。介入主動導管具體結構如圖1所示。

圖1 介入導管結構

導管機器人具有模塊化、可擴展和可重構的特點。隨著導管自由度的擴展，使用傳統方法建立的數學模型將變得十分復雜，其運動學的求解也將變得十分困難。

基于該介入導管機器人的運動特點，提出使用旋量和指數積的方法對介入導管機器人運動學進行描述。

2 基于旋量理論的導管運動學建模

2.1 正向運動學

利用旋量理論求解機器人運動學無需建立各個連桿坐標系，為方便描述機器人各關節單元的運動形態，將各單位旋量建立在每節導管的中點位置，θi、βi(i=1,2,3)分別表示各關節的轉動和彎曲角度。圖2為建立的導管機器人的坐標系。

圖2 3節介入導管機器人坐標系

為了準確描述多節介入導管機器人的運動形態，將每節導管的彎曲運動分解成3個轉動，首先繞Z1轉動β1，然后繞Z2轉動θ1，最后繞Z3轉動-β1。即單關節的正向運動學指數積方程為：

(1)

gST(θ,β)表示機器人的末端位姿；gST(0)表示機器人位于初始位姿時慣性坐標系與工具坐標系間的坐標變換。所有的關節運動旋量都按基座坐標系{S}描述。

(2)

依據圖2所示的坐標系，可以得到各關節的旋量坐標。為簡便表示多節導管的運動學方程，這里將單個關節介入導管的運動學記為：

(3)

c=cos;s=sin

具有3節導管的介入導管導向機器人正向運動學方程可以表示為：

gST(θ,β)=T1·T2·T3·gST(0)

(4)

將式(4)展開可得：

(5)

若給定工具坐標系的初始位姿以及各個關節的轉角，利用正向運動學方程式(5)即可直接求得介入導管機器人的運動學正解，獲得末端執行器的位姿。

2.2 反向運動學

對機器人控制及其運動學軌跡規劃，獲得運動學的逆解至關重要。介入導管機器人的反向運動學是指在給定末端執行器具體位姿時，求出與該位姿相對應的各關節的轉角，計算出驅動各個關節轉過相應角度時SMA驅動器及繩索長度的變化量。

為了求解導管機器人反向運動學方程，需要獲得指數積方程。由于該導管機器人只有繞某個運動旋量坐標的純轉動。因此，可以利用該特征消去耦合的關節變量，簡化求解過程，簡化依據如下：

由正向運動學方程式(5)可以得到導管機器人的POE公式為:

(6)

若給定介入導管末端工具的位姿矩陣，根據所建立3關節介入導管機器人的坐標系如圖2所示，各關節變量求解步驟如下所述。

第1步，求θ2。針對點p1(0,0,l1+l2+l3/2,1)，依據式(7)，應用位置保持不變原則，將后面2個轉動關節變量從指數積公式中消掉，剩余指數積子鏈中僅含有4個未知變量。因此，式(6)可以化簡為式(8)。

(7)

(8)

再針對p0(0,0,0,1)點，應用距離保持不變原則，消去指數積公式中與轉動副相對應的角度變量，即式(8)進一步化簡為：

g(θ,β)·p1-p0

(9)

由此可以得：

(10)

式(10)中只有未知角度變量θ2，所以可以用各個關節的長度l1,l2,l3表示出關節變量θ2。

第2步,求β3。同樣應用位置保持不變原則，利用點p2(1,0,l1/2+l2+l3,1)，p0(0,0,0,1)，化簡式(6)可以得:：

(11)

第3步,求θ3，同樣利用點p3(0,0,l1+l2+l3,1)，p0(0,0,0,1)，應用位置不變與距離不變原則，可將方程(6)化簡為:

(12)

(13)

將式(13)左邊記為q2，則式(13)變為：

(14)

式(14)表示點p4先繞Z2轉動θ1到點q1，然后繞Z1轉動β1，最后到達q2點，如圖3所示。

圖3 點p4與q2幾何關系

根據圖3所示幾何關系，利用向量q和向量r的數量積公式可以將θ1表示出來，即

再將式(14)進一步簡化得：

(15)

第5步,求β2。前4步中各個角度變量的表達式已獲得。此時，對機器人的正向運動學方程式(6)右邊進行化簡即得:

(16)

對上述指數積方程，利用遺傳算法可求得各個關節變量的數值解。

3 導管的工作空間分析與運動仿真

3.1 導管的工作空間

根據主動介入導管機器人的結構與工作原理，相鄰兩個關節之間都可以通過相應的坐標系變換來建立聯系，設定單個彎曲單元骨架彈簧的長度為l=30mm，可以對導管機器人的主動彎曲頭端的工作空間進行分析。

圖4是使用數學軟件Mathematica獲得的3個區域，從下向上依次為第1、2、3關節末端的工作空間。由此可知：該介入導管機器人了主動彎曲頭端工作空間較大，有利于利于給介入導管機器人的運動過程規劃出一條相對理想的無碰撞路徑，實現靈活的主動導向及避障功能。

圖4 導管關節末端工作空間

3.2 主動導管運動仿真

基于上述介入導管機器人的運動學模型，為驗證數學模型的準確性，以Mathematica為平臺編程，對主動導管運動軌跡進行規劃。設定軌跡規劃任務：導管導向機器人末端關節角θ6在0～π/6變化，其他關節角變量保持初始值，通過正向運動學方程式(8)，可以得到介入導管機器人在初始平面的彎曲運動軌跡，如圖5點劃線所示。然后，在獲得的運動軌跡中離散出15個位置點，使用上述反向運動學求解方法求出對應離散點的運動學逆解，將得到結果再次代入運動學方程，就可以再次得到對應離散點的位置，如圖5中離散點所示。

根據圖5所示，離散點與實線基本吻合，表明上述通過旋量和指數積法建立的主動介入導管機器人的運動學模型是正確的。

圖5 機器人末端運動軌跡

4 結束語

相比傳統的機器人D-H建模方法，使用基于旋量理論的指數積建模方法更加適合多關節介入主動導管的運動學建模，可以比較容易地獲得關于關節變量的方程。通過得到的運動學逆解對介入導管的運動進行了規劃仿真，發現這種建模方法利于機器人運動學的求解，為后續多關節介入導管機器人的設計與控制提供了有效的理論依據。

[1] Gomes P.Surgical robotics:Reviewing the past, analysing the present,imagining the future[J].Robotics and Computer-Integrated Manufacturing,2011,27(2):261-266.

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Kinematics Modeling of Intervention Active Catheter Based on Screw Theory

ZHANGJian1，CHENBai1，CHENSun2，GENGLing-bo3,WUHong-tao1

(1.Mechanical and Electrical Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China;；2.Xinhua Hospital Affiliated to Shanghai Jiaotong University School of Medicine,Shanghai 200092,China;3.Shenyang Institute of Automation,Shenyang 110016,China)

Considering complex and changeable characteristics of the operating environment for the surgical intervention,the paper proposes a SMA(shape memory alloy) and the cable hybrid-driven modular catheter to improve the versatility of interventional devices.Screw and POE (product of exponentials formula) method were used to establish the kinematics model of a three-joint interventional active catheter.According to the mathematical model,the workspace and motion simulation of the active catheter were analyzed by the use of Mathematica.The simulation results verified the effectiveness and correctness of the kinematics model，and the approach greatly reduced the complexity of kinematics model for multi-section interventional catheter,which makes a theoretical foundation for the practical application of interventional catheter robot.

interventional active catheter;product of exponentials formula;kinematics;motion simulation;workspace

2013-12-11

國家“八六三”科技計劃項目(2013AA041004)；國家自然科學基金資助項目(51075209);江蘇省自然科學基金資助項目(BK2012798);江蘇省產學研聯合創新資金----前瞻性聯合研究資助項目(BY2012011);南京市科委產學研計劃資助項目(201204014);上海市科委科技計劃資助項目(124119a3900);上海交通大學醫工交叉資助項目(YG2011MS08)

TP242.3

A

1001-2257(2014)05-0008-04

張健(1988-)，男，山東寧陽人,碩士研究生，研究方向為醫療機器人技術;陳柏(1978-)，男，江蘇泰州人,教授,博士研究生導師，研究方向為仿生機器人、醫療器械。