基于計算機代數系統環境下的數學分析教學研究

孟 憲 吉

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

基于計算機代數系統環境下的數學分析教學研究

孟 憲 吉

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

數學分析課程是高等院校數學專業一門最重要的基礎課程,學生對此門課程的學習效果直接影響對后續課程的學習。所以如何上好數學分析這門課程,是任課教師應該積極思考,認真反思的問題。對計算機代數系統應用到教學中的情況進行分析討論。計算機代數系統在數學分析教學中是一種重要的認知工具,對教師和學生都有很大的影響,計算機代數系統不僅是有效的運算、作圖工具,并且為數學實驗及其他數學實踐教學提供了的強有力保障,對數學思維的培養有很大作用。數學分析教學利用計算機代數系統不但可以使學生掌握數學知識,而且可以提高學生的創造力及應用能力。

計算機代數系統; 數學分析教學; 整合

0 引 言

計算機的出現,使學生的學習習慣和學習方式都發生了很大的轉變,計算機代數系統的研究加速了數學分析課程教材改革步伐。通過師生對計算機在符號,算法,數值計算等方面的操作,使學生掌握數學分析的人機互動。本文從辯證的思想探討了計算機和數學的關系,并且重點討論了計算機代數系統環境下數學分析的教學論。尋求教材和計算機結合的數學分析課程的教學改革途徑。

1 計算機代數系統的二元性

計算機代數系統與數學的關系是非常密切的,可以說沒有數學,就沒有計算機代數系統。一個世紀的數學知識的積累產生了第一臺電子計算機。數學知識的發展導致了計算機的產生,同時數學也為計算機的發展提供了理論上的保證。隨著計算機更深的發展,它對數學知識,思想和方法的要求越來越高。

反之,數學分析教學中的很多知識可以通過計算機代數系統來實現,包括數據的處理,邏輯運算,圖形的形象展示等,并且可以多次重復的演示,模擬。不僅可以利用計算機代數系統解決大量人工無法實現的巨量計算問題,還可以利用計算機代數系統完成類似四色問題等許多困難定理的證明。

計算機的發展,一方面是硬件的發展,但是最重要的是讓計算機正確工作的程序發展,沒有嚴密的數學理論做支撐,就不會產生現代的計算機程序,就不可能產生現代的信息技術。反過來,現代的信息技術又能很好的促進數學的發展,同時,數學也有了更加廣泛的用武之地。

2 基于計算機代數系統環境下數學分析的教學論

計算機代數系統的智能化,可以根據學習者的情況自動生成相應的教學內容和教學進度,同時實現了人機互動模式,到目前為止,由于歷史條件的限制,教育的多種功能,教育的主要功能被一個次要功能----傳授知識的功能掩蓋了,教育的真諦在于:將知識轉化為智慧,使文明積淀成人格,在數學上,計算機代數系統使這一追求成為真正的可能。

2.1計算機代數系統能提供豐富、形象生動的教學模式

數學分析知識具有抽象性的特點,基于計算機代數系統環境下教學可以激發學生的學習興趣,調動學生的學習積極性、主動性和發展學生的認知能力,使學生對抽象、復雜的概念直觀化,問題就會變得簡單,容易,從而使學生更易接受,達到事半功倍的效果。并且使學生對數學概念與數學關系有更加深刻的認識,改變傳統的重知識,輕過程的教學做法。

2.2計算機代數系統能夠使教學突出重點、難點,優化課堂結構

數學分析的本質是研究函數,基礎是“變量”。研究“量”與“量”之間相互的關系,是一個動態的過程。計算機代數系統可以對重要的教學內容進行回放,一些重要的教學內容不僅要學生記憶還要理解,因此可以采用“放大”“回放”等方法強調重點內容,幫助學生理解記憶。數學分析中某些教學環節可以利用計算機的演示,讓學生形象的感受變量之間的關系,從而有利于掌握知識的重點、難點。另外,在數學分析中還有很多地方需要借助圖形解決,但是教師在黑板上用手畫圖形,既浪費了時間,又有很大的誤差,所以借助于計算機,可以很好的優化課堂結構,同時也能夠提高學生的學習興趣。

2.3計算機代數系統具有很好的交互性、集成性

目前開發了許多數學方面的數學軟件,這些軟件都具有相當強大的繪圖功能和計算功能,并且可以進行復雜的數據計算和人機互動能力。教師如果能熟練的將之用到教學中,可以把教學和練習融為一體,使學生和計算機始終處在一系列交替詢問和回答中。個性化教學特性把以“教師為中心“轉向以”學生為中心“。學生可以選擇學習內容,適合自己學習進度的學習環境。計算機代數系統可以轉變以往課堂學生只能被動接受教師的講解的思維模式,學生可以自己探究數學規律,挖掘數學知識本質。必將提高學生數學分析的學習效果。

2.4計算機代數系統能夠創設新穎的教學環境提供數學實驗和其他數學實踐活動

不斷提高學生創新能力和應用能力的培養,加強實踐教學環節是當前數學教學改革的核心內容,也是21世紀數學課程教學內容和課程體系改革的亮點。當前飛速發展的計算機技術和不斷研發的計算軟件為學生將課堂上所學的數學理論知識應用于實踐提供了實驗平臺。借助計算機代數系統,學生可以完成數學知識的假設、實驗、驗證、修正、證明等一整套學習過程。學生學習數學分析時,當學到新知識并且和舊知識相類似的時候,學生可以先進行類比猜想,然后通過計算機仿真處理,驗證自己猜想的正確性,如果驗證不通過,則重新提出猜想。如果驗證通過,則期望用數學邏輯語言給予證明。這樣學生通過自我學習,既鍛煉了學生的觀察能力,思考能力,又能鍛煉學生熟悉操作計算機能力,同時也能提高學生的邏輯推理能力。實現了學生的學習知識的目的,能夠在思考中學習,在學習中創新。

3 計算機代數系統與數學分析課程整合的問題論

3.1從呈現方式上來講,在對數學知識的深入理解方面,計算機代數系統有一定的局限

計算機代數系統雖然可以使答案更快的得到,不用通過很長時間的計算就能得到結果,使得計算、作圖等變得非常容易。但是因為結果的呈現太完美,所以學生可能不會進行深入思考,這樣教師就無法了解學生的實際情況,并作出相應的教學引導。另外,計算機代數系統雖然可以得到結果,但是中間有一些重要的數學思想和數學技巧并不能在計算機上體現出來。類似于一道選擇題,學生可以給出正確答案,但是不代表學生一定會做。例如,用計算機代數系統計算積分問題時,計算機可以快速給出答案,但是如何得到的這個答案,并沒有給出,而計算方法,計算技巧等恰恰是要求學生學習數學分析所必須掌握的,所以在具體教學中不能忽視對學生基本計算能力和基本邏輯思維能力的培養。

3.2從結果的處理來看,計算機代數系統有著自身固有的缺點

計算機代數系統雖然功能強大,但是并不是非常完善,很多時候它能夠表示的數值的大小是有限的。因此信息技術在使用中又會給教師和學生帶來新的困惑,例如用計算機代數系統解決有理函數的部分分式展開時,如果分子是一個無限小數時,計算機代數系統給出的答案只能是一個近似量。因此學生應該明確理解數學分析中題目的本質要求,方便用計算機代數系統時才能用,不能所有問題都用計算機來解決。

3.3從教學知識容量上看,計算機代數系統教學課堂容量大,學生注意力容易分散

有資料顯示,一節50 min計算機代數系統教學課的容量可以相當于一節普通課的60～65 min,課堂容量增加接近三分之一,教師在課堂上講授的內容也就相應增加。因為信息的大量涌入,會使學生失去思考和消化的時間,這樣容易使學生注意力容易分散,精神不集中。反之,如果人為放慢講課速度,減少知識容量,整個課堂就會顯得松散、脫節。怎樣克服這個矛盾,是教師應該思考的問題。數學分析課堂上,教師可以多采用啟發式,問答式教學,讓學生更多的參與到教學中去,這樣既能避免學生注意力分散,又能使整個課堂內容充實、飽滿。

3.4從交流方式而言,單純使用計算機教學,會使教師和學生的感情交流出現障礙

如果一名教師只是在課堂上按照自己的理解和邏輯思維講授知識,而沒有照顧到學生的反映,那么這一定是失敗的課堂。因為學生的認知水平和教師的知識水平有很大的差距。如果學生的注意力全集中在電腦屏幕上,機械地觀賞顯示來的畫面和文字,而教師只是一個電腦操作員,這樣必然造成沒有師生之間情感上的交流,心靈上的溝通。學生的學習興趣是學習的首要因素。如果學生某一個知識點沒有理解到位,而教師又沒有注意到,這樣學生就有知識脫節的現象發生。特別是數學分析課程,邏輯推理要求非常嚴格,學生在其中任何一個環節出現不理解,將會導致學生失去興趣,并且這種情緒帶有延續性,后果非常嚴重。另外作為一名合格的教師,并不應該把傳授知識當成是唯一目標,和學生的感情交流,幫助學生樹立正確的人生觀和價值觀也是非常重要的。所以,教師應該在應用計算機教學時,必須關注學生的反映,做到緩急得當,控制計算機的使用節奏。

4 思考:結合計算機代數系統教學,恰當選擇教學內容,探索新的教學模式

在數學分析教學中,結合計算機代數系統,只要應用得當,一定會取得良好的效果的。這就需要任課教師認真梳理教學內容,決定哪些知識可以結合計算機代數系統輔助教學,哪些知識只能通過傳統教學來完成。教師應該結合目前學生的特點,把自己和學生擺在平等的位置,讓學生對學習進行個性化管理。教師和學生應該做到教學相長,改變以前的一言堂教學模式,可以在合適的知識內容上充分調動學生的積極性,做到師生共同學習這樣一種學習模式。但是目前倡導的“生本教育”并不適用于數學分析課程的學習。隨著科技的不斷進步,計算機技術的不斷發展完善,計算機代數系統會越來越多的融入到數學分析教學課堂中來,效果也會越來越好。理論和實踐相結合的教學模式,一定會促進數學分析教育的研究和發展。

5 實 例

求函數y=sinx在x=0處前10項的麥克勞林級數展開式。

傳統做法是必須計算sinx的1到10階導數,并且還需要計算1到10的階乘,再代入已有公式,非常浪費時間。應用計算機代數系統,則可以節省大量時間。

命令如下:

Symsx;

f=sin(x);

taylor(f,x,10,0)

運行結果為:

ans=

x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9

6 數學分析教學中建議結合計算機代數系統教學的內容

數列極限概念;函數極限概念;導數的幾何意義;羅爾定理與拉格朗日定理;一元函數泰勒公式的有限項展開;函數圖像的討論;定積分的概念;定積分的計算;平面圖形的面積;由平行截面面積求體積;平面曲線的弧長與曲率;旋轉曲面的面積;定積分在物理中的某些應用;定積分的近似計算;無窮積分的計算;瑕積分的計算;函數的冪級數展開;傅里葉級數;多元函數的方向導數與梯度;多元函數的泰勒公式與極值問題;第一型曲線積分的概念;第二型曲線積分的概念;二重積分的概念;三重積分的概念;曲面的面積;質心;轉動慣量;第一型曲面積分的概念;第二型曲面積分的概念;高斯公式。

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IntegratingcomputeralgebrasystemintoMathematicalAnalysisteaching

MENGXianji

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Mathematical analysis, an essential course for math majors in college, has a great effect on the learning of other courses of further study. Therefore teachers need to think deeply and creatively about how to conduct the course effectively. This paper discusses how to integrate computer algebra system into mathematical analysis teaching. As an important cognitive tool in mathematical analysis teaching, computer algebra system has a great impact on both teachers and students. It not only works as an efficient computational and graphing tool but also serves as a strong guarantee for mathematical experiments and other practice teaching, which contributes a great deal to cultivating students’ mathematical thinking. Applying computer algebra system to mathematical analysis teaching enables students to acquire mathematical knowledge and at the same time inspire their innovation and improve practical ability.

computer algebra system; mathematical analysis teaching; integration

2014-06-06。

遼寧省普通高等學校本科教育教學改革研究項目(UPRP20140526)。

孟憲吉(1973-),男,遼寧沈陽人,沈陽師范大學副教授,碩士。

1673-5862(2014)04-0545-04

G642

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.019