X射線脈沖星導(dǎo)航的相對論定位法初探

孫維瑾， 費(fèi)保俊

(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072)

無論是衛(wèi)星導(dǎo)航，還是現(xiàn)在正在研究中的X射線脈沖星導(dǎo)航(X-ray pulsar-based NAVigation, XNAV)，都是測量光波從導(dǎo)航星座(衛(wèi)星或脈沖星)到達(dá)觀測者的傳播時間，即光子到達(dá)時間(Time Of Arrive,TOA)。由于光速不變性，TOA等價于導(dǎo)航星座到觀測者的距離, 姑且將這種導(dǎo)航方法稱作TOA定位法。從純粹廣義相對論的觀點(diǎn)來看，TOA定位法中測量的系統(tǒng)時間(如BDT或GPST)屬于坐標(biāo)時間。在考慮引力作用的情況下，坐標(biāo)時間并不滿足光速不變性，于是將引力對測量時間的影響(相對論效應(yīng))作為一種修正加進(jìn)去，因此TOA定位法實(shí)際上是一種半經(jīng)典理論，是經(jīng)典力學(xué)與相對論的混合體。

原則上說，直接在相對論框架內(nèi)建立導(dǎo)航理論是完全可行的，有不少學(xué)者在這方面作了深入探討。2002年，Rovelli[1]在深入研究衛(wèi)星導(dǎo)航理論過程中，首先將相對論測量理論引入導(dǎo)航系統(tǒng)，提出GPS中的可觀測量是指固有量而并非坐標(biāo)量，認(rèn)為應(yīng)該借鑒相對論天體物理的研究方法，在4維零標(biāo)架中討論光傳播問題，因?yàn)榱銟?biāo)架的一個明顯特性是與坐標(biāo)變換無關(guān)；Blagojevic等[2]隨后建立了一種共軛零標(biāo)架，將對應(yīng)坐標(biāo)稱為GPS典型坐標(biāo)；Coll等[3-5]將這一方法系統(tǒng)化，提出4個發(fā)射體的固有時間構(gòu)成4維時空的光坐標(biāo)或發(fā)射坐標(biāo)，可以為任意觀測者定位導(dǎo)航；文獻(xiàn)[6-8]進(jìn)一步完善了這一理論。由此建立起來的理論體系稱之為相對論定位系統(tǒng)(Relativistic Positioning System, RPS)，它是以相對論測量理論為基礎(chǔ)的一種全新的導(dǎo)航方法。

RPS相對于TOA定位法有一個明顯的優(yōu)點(diǎn)，就是測量的不是坐標(biāo)時間而是發(fā)射體的固有時間，在脈沖星導(dǎo)航等深空導(dǎo)航領(lǐng)域得到實(shí)際應(yīng)用是有可能的，這里就此作一些探討。

1 相對論定位系統(tǒng)基本原理

〈xa,xa〉-2〈xa,x〉+〈x,x〉。

(1)

圖1 發(fā)射體的世界線與觀測者的過去光錐

以下取c=1的自然單位制。假設(shè)發(fā)射體的3維速度va為常量，則4維閔氏速度也是常量，即

(2)

積分得

(3)

(4)

時空間隔變?yōu)?/p>

(τa)2-2τa〈ua,(x-xa(0))〉+〈(x-xa(0)),(x-xa(0))〉=0。

(5)

令觀測者4維位置矢量與發(fā)射體初始位置矢量的差值為

za(x)=x-xa(0)，

(6)

則有

(τa)2-2τa〈ua,za〉+〈za,za〉=0。

(7)

由此解出

(8)

式(8)表明發(fā)射體的固有時間是觀測者坐標(biāo)的函數(shù)，即

τa=τa(zμ)，a=1,2,3,4。

進(jìn)一步將其視為一種坐標(biāo)變換，只要變換矩陣的行列式不為0，則

zμ=zμ(τa)，μ=0,1,2,3。

即觀測者坐標(biāo)也唯一地由τa所確定。因此可以將4個發(fā)射體的固有時間(τa|a=1,2,3,4)當(dāng)成觀測者坐標(biāo)，稱之為光坐標(biāo)(light coordinates)或發(fā)射坐標(biāo)(emission coordinates)。

既然光坐標(biāo)構(gòu)成坐標(biāo)系，就應(yīng)該有相應(yīng)的標(biāo)架和度規(guī)。對式(8)求微分，可得到

(9)

(10)

不難求出度規(guī)張量的對角元素

(11)

因此光坐標(biāo){τa}構(gòu)成零標(biāo)架。

2 脈沖星導(dǎo)航的相對論定位法

上面的討論是假設(shè)發(fā)射體的3維速度va為常量，由此可見：應(yīng)用RPS的前提條件是導(dǎo)航星座應(yīng)該具有常速度，而X射線脈沖星正好具備這一條件，它在太陽系質(zhì)心參考系(Bary Centric Reference System, BCRS)中的速度(自行)具有確定值(在短時間內(nèi)甚至可以視為靜止)。以BCRS為基準(zhǔn)對XNAV的相對論定位法進(jìn)行探討，以下在2維時空得到的結(jié)論可以很方便地推廣到4維時空。

在BCRS中引入2維Newman-Penrose標(biāo)架{ω1,ω2}及其坐標(biāo){X1,X2}={U,V}，與2維正交標(biāo)架{e0,e1}及其坐標(biāo){t,x}的關(guān)系分別為

(12)

(13)

根據(jù)式(12)和(13)，可知新標(biāo)架下的度規(guī)和線元分別是

(14)

dτ2=gabdXadXb=2dUdV。

(15)

由于度規(guī)的對角分量g11=g22=0，故{ω1,ω2}是零標(biāo)架。

設(shè)脈沖星a(a=1,2)在BCRS中的速度va=const，根據(jù)式(2)和(13)，可知脈沖星的閔氏速度矢量在零標(biāo)架下的分量也為常量，即

(16)

式中：

是va對應(yīng)的閔氏時空雙曲角[9]。設(shè)脈沖星的初始坐標(biāo)分別為(Ua(0),Va(0))，對式(16)進(jìn)行積分，得到它們的坐標(biāo)為

(17)

根據(jù)發(fā)射點(diǎn)(Ua,Va)與接收點(diǎn)(U,V)的時空間隔

2(U-Ua)(V-Va)=0，

(18)

解出U=Ua或V=Va。如果航天器位于2顆脈沖星之間，則接收點(diǎn)的坐標(biāo)為

(19)

式(19)也可以根據(jù)式(8)求出。將

代入式(8)，求出脈沖星a的固有時，即

τa=γa[(Δta-vaΔxa)-|vaΔta-Δxa|]，

(20)

于是得到

(21)

在式(21)中分別取a=1,2，就得到式(19)。

2維時空的相對論定位法如圖2所示，下面通過圖2作具體說明。

圖2中：{t,x}和{U,V}分別為正交標(biāo)架和零標(biāo)架；γ、γ1、γ2分別為航天器和2顆脈沖星的世界線。由于脈沖星做勻速運(yùn)動，脈沖星世界線是2維時空的斜直線，與時間軸的夾角θ=arctanv(取c=1)反映了脈沖星在BCRS中的速度，圖中顯示的是

圖2 2維時空的相對論定位法

脈沖星1和2分別沿x軸正向和負(fù)向運(yùn)動。設(shè)初始時刻t=0時，τ1=τ2=0，2顆脈沖星的空間坐標(biāo)分別為x1(0)和x2(0)，則變換到零標(biāo)架為

脈沖星不斷沿自身的光錐發(fā)射光波，這些波矢量構(gòu)成坐標(biāo)系{U,V}的坐標(biāo)網(wǎng)格(grid)，每一條波矢量就是一條坐標(biāo)線，對應(yīng)于一顆脈沖星的固有時間。例如：設(shè)2顆脈沖星的固有周期分別是T1、T2，它們每隔一個周期發(fā)射一個脈沖，則圖中過P1、P2點(diǎn)的波矢量對應(yīng)的固有時分別為τ1=5.0T1，τ2=4.0T2。如果航天器位于這2條波矢量的交點(diǎn)，則它對應(yīng)的光坐標(biāo)就是(τ1,τ2)。

3 RPS定位法與TOA定位法的比較

利用坐標(biāo)變換式(13), 將式(19)變換到通常的正交系{t,x}，則有

(22)

在2顆脈沖星的速度(v1,v2)和初始位置(x1(0),x2(0))已知的情況下，航天器的時空坐標(biāo)(t,x)由光坐標(biāo)(τ1,τ2)來確定，這是相對論定位方法。

(23)

(24)

與式(22)比較，航天器的時空坐標(biāo)可表示為

(25)

如果航天器攜帶高精度原子鐘可以確定光子到達(dá)航天器的時間t，則只需測量一顆脈沖星的光子到達(dá)SSB的時間tB1或tB2，即可確定航天器的位置，即

x=tB1-t=t-tB2。

(26)

這就是不考慮引力作用情況下的TOA定位方法。

由于式(25)和(26)可從式(22)導(dǎo)出，因此在理論上RPS與TOA定位法是統(tǒng)一的；但由于測量對象不同，其在實(shí)踐中是有區(qū)別的。

TOA定位法需要已知tB，它們是指航天器接收到光脈沖的同時假想SSB接收同一脈沖的坐標(biāo)時間。在實(shí)際測量中，設(shè)航天器在某一時刻測得特定脈沖星觀測輪廓的相位是φ(t)，因?yàn)镾SB接收的脈沖星標(biāo)準(zhǔn)輪廓的固有頻率fP和初始相位φ(0)是已知量，根據(jù)Taylor級數(shù)展開式可以推算出SSB的標(biāo)準(zhǔn)輪廓在任意時刻的相位，當(dāng)相位與φ(t)相同時的時間即為tB，由下式確定[10-11]：

(27)

式中：fP(k)為頻率的k階時間導(dǎo)數(shù)。由此可見：光子到達(dá)SSB的時間并非直接測量值，而是由某一參考時刻的標(biāo)準(zhǔn)輪廓推算出來的。

在RPS中，tB只是中間變量(或者根本不需要)。由式(24)可知：它們可由脈沖星的固有時及其初始位置來確定。而脈沖星的固有時乃是直接測量值，可以根據(jù)航天器接收的脈沖星觀測輪廓的相位φ(t)(包含整波數(shù))以及脈沖星固有周期TP直接得到，即

τ(t)=φ(t)·TP，φ(0)=0。

(28)

這就是RPS的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

1) 相對于TOA定位法，RPS使得時間測量較為簡單可靠，它只需測量觀測輪廓的相位，實(shí)際上就是計算對應(yīng)于脈沖星固有時的波數(shù)，不必以標(biāo)準(zhǔn)輪廓的周期為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并與標(biāo)準(zhǔn)輪廓進(jìn)行比較。

2) 因?yàn)镽PS測量的不是坐標(biāo)時間，在工程上不必建立嚴(yán)格的時間系統(tǒng)，但仍需建立空間系統(tǒng)，如太陽系質(zhì)心系或地心系的空間坐標(biāo)系。

3) 在TOA定位法中，脈沖星的方向數(shù)據(jù)必須精確，而脈沖星的速度和初始距離對導(dǎo)航的影響不大。但采用RPS必須精確給出這2種參量，而天文觀測數(shù)據(jù)難以達(dá)到導(dǎo)航所需的精度，這可以通過實(shí)驗(yàn)的方法來解決：如果精確測量2組數(shù)據(jù)(t,x,τ1,τ2)，根據(jù)式(22)可得到4個方程，由此即可解出2個脈沖星的速度和初始位置(v1,v2,x1(0),x2(0))。

以上討論沒有涉及引力場的影響，下一步將對此進(jìn)行研究。

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