數學處方式教學探究

胡緒+宋曉林

數學處方式教學是基于數學問題的教學，是彰顯學生自主性的教學，是遵循教學交往本質的教學。在處方式教學中，教師的教學行為包括設計、誘導、診斷、開方、評價、反思，學生的思維活動包括生疑、探究、明了、內化、遷移，它們形成兩個系統交互作用，進而演化出“巧設問題，生疑探究”、“反饋診斷，明晰病因”、“澄清問題，精講點撥”、“訓練內化，建構新知”、“拓展遷移，提升能力”五個基本階段。

數學思維 診斷 處方式教學 問題教學

在數學教育研究領域，問題教學一直受到眾多數學教育家和教育工作者的青睞。圍繞問題，數學教學過程得以展開，隨著問題解決的過程，學生的數學思維得到鍛煉。從理論上我們認識到了問題教學的優勢，而在實際教學中，問題則成為學生反復訓練和練習的對象，教師對問題的利用和處理呈現單一、機械化的特征。數學問題教學已淪為教師協同學生迅速獲得數學答案的過程，其內涵和韻味被功利沖淡了，其理想的教育效果也打了折扣。因此，我們在此針對以問題為核心的數學教學的實然提出處方式教學。

一、數學處方式教學的基本意蘊

1979年，美國學者朱迪斯·阿特（J.A.Arter）和約瑟夫·杰肯（J.R.Jenkins）從學生評價的角度提出了“診斷式教學”（diagnostic teaching）的概念[1]。這對后來的教學研究者有很大的啟示，教師的教學行為就好比是醫生為病人進行的臨床診斷，它也遵行先“診斷”后“開處方”的“醫治”原則。在以問題為核心的數學教學中，對學生的學習進行診斷，然后對癥下藥，醫治學生在學習中所表現出的問題，進而幫助學生的內部知識結構“恢復”平衡，讓學生獲得新的知識、體驗和成就，應成為數學教育者的共同追求。這種理念下的數學教學，我們稱之為數學處方式教學，其意蘊主要表現在以下三個方面。

1.數學處方式教學是基于數學問題的教學

圍繞數學問題展開教學過程，已得到數學教育界的公認。諸如喬治·波利亞這樣的數學家和數學教育家就很重視數學問題在數學和數學教育中的重要作用，不僅如此，他還以自己的研究和體會對怎樣解題進行了全面的剖析和闡述[2]。上世紀后期，國際數學教育界也將數學教育和教學的中心轉移到數學問題教學上[3]。可見，以數學問題為核心是數學教育的必然發展。在我國當前的數學教育領域，怎樣利用數學問題更是成為了數學教育必須慎重、認真研究的課題。《數學課程標準》已明確提出基礎教育階段的數學教育要培養學生“基本的數學思維”[4]，而其關鍵的途徑就是有效利用數學問題，因為圍繞數學問題開展的教學集中體現了發現、探究等教學方法和分析、綜合等思維方式。

數學問題重要而復雜，學生在學習過程中表現出來的數學問題更是千奇百怪、無所不有。而處方式教學首先引導學生盡量地暴露問題，然后根據他們表現出的真實問題展開教學，對問題進行點撥、歸納、總結、升華。整個教學起始于問題的顯露，延續于問題的解決，結束于對問題深層次的認識乃至遷移。數學處方式教學是圍繞問題層層遞進的教學，是基于數學問題的教學。

2.數學處方式教學是彰顯學生自主性的教學

處方式教學的思想來源于醫生救治病人的思路，但是它又有自己獨特的地方。醫生醫治病人時，病人已經是“問題纏身”了，而教師開始教學時，學生并未在未來要學習的知識和方法上表現出任何問題。因此，不同于醫生治病，教師需要讓學生暴露出自己的問題，進而開展教學。而對于學生會出現什么樣的問題，教師最多就是預測，要做到真實地掌握還必須讓學生自己主動暴露出來。所以，為了作出準確地診斷，教師要有讓學生犯錯的膽量，放手讓學生自己先去探索新知，在自己的努力中犯錯。在這個“犯錯”的過程中，學生享有最大的自主權，教師只需要提供學習的材料和任務，作簡單、明確的要求，剩下的事情就讓學生自己去完成。此外，在整個處方式教學過程中，教師要及時、準確地接收、分析從學生那里反饋回來的信息，這就要求保證這些信息的真實和原始性，而學生真實的問題一定是學生自己主動暴露出來的，教師預設的問題不能達到進行有效教學的目的。所以，數學處方式教學彰顯了學生學習的主體性和自主性。

3.數學處方式教學是彰顯教學交往本質的教學

對于教學的本質，有研究者用“認識”[5]加以解釋，有研究者以“發展”來闡述，有研究者以“交往”[6]概之……從教學實踐觀來看，在眾多的教學本質觀中，教學“交往觀”應該是最貼近真實的教學實踐的。因此，在開展處方式教學研究中，也遵循教學交往本質觀來建構教學理論和實踐模式。具體而言，在處方式教學中，教師和學生是兩個相對獨立但彼此聯系的系統，兩者彼此發出信息和接受反饋，推進教學過程的展開。教師以“醫生”的角色，通過“誘導”、“診斷”、“開方”等行為，對學生的整個學習進程進行診斷；學生則扮演了“病人”的角色，在教師的引導下暴露出在將要學習的知識結構方面的缺陷。在這個過程中，教師和學生時時刻刻處在行為和思維的交往中。因此，處方式教學過程是學生在教師的指導下通過交往逐漸走向成熟、新舊知識結構逐漸恢復平衡的過程。

二、數學處方式教學的基本系統

基于數學處方式教學的基本意蘊，著眼于將處方式教學的理念切實運用到真實的教學實踐，我們進一步探討數學處方式教學的兩大基本交互系統：教師的行為系統和學生的思維系統。

1.教師的行為系統

數學處方式教學中，教師的角色舉足輕重，他們是教學活動設計、開展、評價的主導者，是教學進程開展的指揮者，是教學過程出現突發事件的應變者。在整個處方式教學過程中，教師以自己的行為調整著教學進程，在不同階段的行為總和構成了教師的行為系統。具體而言，教師的行為包括：設計，誘導，診斷，開方，評價，反思。

處方式教學始于教師對學生新舊知識聯結的研究，在這個階段，教師要對教學的目標、內容、方法、組織形式、評價等做全面的考量。因為處方式教學需要學生能夠完全、真實地暴露出自己的問題，讓教師“對癥下藥”，所以，開發科學有效的診斷工具就顯得至關重要。設計以及診斷工具準備妥當之后，教師就要領著學生開始圍繞著數學問題實施后面的教學行為。第一，教師在相信學生學習能力，讓學生自主思維的前提下利用診斷工具誘導學生出現錯誤，并使用適當的工具和方法檢測學生的學習效果。第二，教師對診斷工具反饋回來的信息進行分析，查找學生在學習中的薄弱地方，包括知識方面、行為方面、習慣方面、態度方面等的弱勢。診斷是處方式教學的核心環節，它關系著教師能否準確發現學生的問題，能否針對問題開出良方。因此，教師需要結合多種方式來對學生反映出的問題進行診斷。比如，和學生直接交流、考量相關知識的聯系等。第三，作為醫生的教師要“對癥下藥”。如果學生是因為新舊知識聯結不當，那么教師就要幫助學生澄清新舊知識的關系；如果學生是因為學習方法不當導致的問題，那么教師就需要對學生著重進行學法指導。開方環節也體現了因材施教的教學原則，不同學生的不同問題需得到不同的診斷和處方。第四，在開方之后，教師接下來的工作就是對前面整個行為活動進行有效的評價，直接的關注點是學生對所學知識的掌握和數學思維的訓練程度，因為這是最容易通過檢測的方式獲得的。第五，教師結合可量化的測驗結果深入分析自己在前面幾個行為中的得失，并探究如何在下一個教學循環中改進提升。在完成上述五個環節的行為后，教師需對整個行為系統進行反思。及時有效地反思能保證教師在接下來的處方式教學實踐中提高教學的有效性。

2.學生的思維系統

數學處方式教學的根本旨趣是通過數學知識培養學生的基本數學技能，訓練學生基本的數學思維。因此，與教師的行為系統相對應，作為有學習主體性的學生在處方式教學中也有自己以思維活動為核心的思維系統。具體而言，學生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內化，遷移。

數學處方式教學基于數學問題，以培養學生基本數學思維為核心。在教師的行為系統中，教學設計與誘導的目的是激起學生學習的興趣，促使學生對新知識進行積極的思考，當這些行為作用到學生時，學生必然會對新接觸的事物和知識產生疑惑，這也是教師希望看到的結果。學生的疑惑說明學生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試理解新知和解決新問題，這也表明學生在積極地探究新知。可見，生疑與探究是兩個密不可分的活動，學生產生并帶著疑問進行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學生的學習而言，教師不能也不應奢望他們能在自己的指導下解決一切問題而不犯錯。學生生疑和探究的結果，是教師診斷和開方的依據和著力點。在數學處方式教學中，學生會從教師對自己的診斷結果中得到相應的幫助，比如學法指導、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進而表現出對知識的理解和明了。“學而時習之”，這告訴我們“明了”還需得到進一步的強化。所以，教師還需開出新方子讓學生的知識結構、思維能力得到進一步的穩固和提升，進而將新思維和新知識內化為學生自己思維和認知結構的一部分。出于培養學生基本數學思維的目的，學生的思維活動還不止于此。學生還需展示所掌握的數學知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學生數學學習的拓展和后繼學習的鋪墊。

作為完整處方式教學的核心，教師的行為系統和學生的思維系統是并行不悖、相依相存的兩個交互系統。教師以自己的行為指導學生自主學習、暴露問題，學生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應的交互作用讓處方式教學時時刻刻表現出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數學處方式教學的交互系統

三、數學處方式教學的基本過程

數學處方式教學過程是數學處方式教學的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統和學生思維系統的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設問題，生疑探究

數學處方式教學是基于數學問題的教學，也是利用問題讓學生暴露自己的知識、思維等缺點的教學。因此，教學真正起始于教師所設計的診斷問題。在課堂教學開始之時，教師利用設計的問題組織、指導學生學習相關的教學內容，并適時地探索、完成教師安排的相應任務，其主要任務是組織和指導學生自學探究，讓學生掌握基本的學習方法。數學處方式教學相信良好的教學效果源于學生端正的學習態度、良好的學習習慣、正確的學習方法。因此，在這個階段教師首先是讓學生明確學習目標，在學習過程中嘗試使用并掌握基本的數學思維方式。與教師的目的和行為相對應，學生的主要活動是自學教學內容，并基于問題進行探究以求解惑。學生在自學的基礎上，需要就自己的所學和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學生完全解決問題，而是放手讓他們繼續思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設計誘導和學生的生疑探究共同組成了數學處方式教學的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準確地診斷學生的學情，是處方式教學的核心。在本階段，教師根據兩個層面對學生的學習進行診斷。一個層面是學生的自主探究過程。數學處方式教學認為，“學習過程”也是學生的成果之一。學生在過程中的行為反映出態度、習慣、方法使用等，這些既是我們考察的學習結果，因為它們對學生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學生暴露問題的依據。診斷考察的第二個層面是學生的學習結果。這主要集中在對學生掌握的知識的診斷上。為了對學生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學生的病因。比如，哪些問題是學生學習習慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學生思維不到位引起的，哪些是學生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準確性，也才能為接下來的問題澄清做好準備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結合教學重點和難點，澄清學生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內在聯系，突出分析學生在自學中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據學生的學習能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學生學習過程中的表現進行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學生養成良好的學習習慣；對學生就現有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規范、簡潔、準確。同時，精講之余要給學生留有思考、消化的空間和時間，讓學生能及時反思自己之前的學習過程，從教師的講解中發現自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進學生自主學習、積極探究。

4.訓練內化，建構新知

課堂訓練是數學教學的關鍵環節，通過訓練才能促成知識的內化。因此，數學處方式教學的訓練需要注意三個層面與多種方式結合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓練內化；二是過程與方法層面，包括自主學習方法，數學思維及相應的策略訓練等；三是情感態度層面，包括要培養并形成正確的學習態度，體會數學解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據訓練目的和內容的差異，靈活采用不同或多種訓練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學生理解并掌握某一數學主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓練的方式讓不同的學生在學習中都有相應的收獲。總之，訓練內化的目的是讓學生在自主學習的基礎上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認知結構，形成一個新的穩固的知識結構。

5.拓展遷移，提升能力

在訓練內化的基礎上，處方式教學應進行適當拓展訓練。拓展遷移的目的是訓練學生的數學思維。因此，訓練所用的材料要有利于促進學生開動腦筋進行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應有思考探究類題型。每類題型的設置應有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學生表述自己的學習體驗與收獲。這是學生數學能力外顯的重要途徑，也是學生對自己學習的集中認識和反思。

圖2 數學處方式教學過程示意圖

需強調的是，數學處方式教學的過程不是這五個階段的簡單推進。在教學實踐中，教師需結合具體教學情境，在理解處方式教學兩大系統的前提下，靈活取舍或重復使用其中的某些階段（如圖2）。

參考文獻

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]喬治·波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.北京：科學出版社，2006.

[3] 喬連全.基于問題解決的數學教學研究.廈門：廈門大學出版社，2010.

[4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）.北京：北京師范大學出版社，2012.

[5] 王策三.教學論稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.現代教學論綱要.北京：人民教育出版社，2005.

【責任編輯 郭振玲】

2.學生的思維系統

數學處方式教學的根本旨趣是通過數學知識培養學生的基本數學技能，訓練學生基本的數學思維。因此，與教師的行為系統相對應，作為有學習主體性的學生在處方式教學中也有自己以思維活動為核心的思維系統。具體而言，學生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內化，遷移。

數學處方式教學基于數學問題，以培養學生基本數學思維為核心。在教師的行為系統中，教學設計與誘導的目的是激起學生學習的興趣，促使學生對新知識進行積極的思考，當這些行為作用到學生時，學生必然會對新接觸的事物和知識產生疑惑，這也是教師希望看到的結果。學生的疑惑說明學生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試理解新知和解決新問題，這也表明學生在積極地探究新知。可見，生疑與探究是兩個密不可分的活動，學生產生并帶著疑問進行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學生的學習而言，教師不能也不應奢望他們能在自己的指導下解決一切問題而不犯錯。學生生疑和探究的結果，是教師診斷和開方的依據和著力點。在數學處方式教學中，學生會從教師對自己的診斷結果中得到相應的幫助，比如學法指導、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進而表現出對知識的理解和明了。“學而時習之”，這告訴我們“明了”還需得到進一步的強化。所以，教師還需開出新方子讓學生的知識結構、思維能力得到進一步的穩固和提升，進而將新思維和新知識內化為學生自己思維和認知結構的一部分。出于培養學生基本數學思維的目的，學生的思維活動還不止于此。學生還需展示所掌握的數學知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學生數學學習的拓展和后繼學習的鋪墊。

作為完整處方式教學的核心，教師的行為系統和學生的思維系統是并行不悖、相依相存的兩個交互系統。教師以自己的行為指導學生自主學習、暴露問題，學生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應的交互作用讓處方式教學時時刻刻表現出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數學處方式教學的交互系統

三、數學處方式教學的基本過程

數學處方式教學過程是數學處方式教學的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統和學生思維系統的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設問題，生疑探究

數學處方式教學是基于數學問題的教學，也是利用問題讓學生暴露自己的知識、思維等缺點的教學。因此，教學真正起始于教師所設計的診斷問題。在課堂教學開始之時，教師利用設計的問題組織、指導學生學習相關的教學內容，并適時地探索、完成教師安排的相應任務，其主要任務是組織和指導學生自學探究，讓學生掌握基本的學習方法。數學處方式教學相信良好的教學效果源于學生端正的學習態度、良好的學習習慣、正確的學習方法。因此，在這個階段教師首先是讓學生明確學習目標，在學習過程中嘗試使用并掌握基本的數學思維方式。與教師的目的和行為相對應，學生的主要活動是自學教學內容，并基于問題進行探究以求解惑。學生在自學的基礎上，需要就自己的所學和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學生完全解決問題，而是放手讓他們繼續思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設計誘導和學生的生疑探究共同組成了數學處方式教學的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準確地診斷學生的學情，是處方式教學的核心。在本階段，教師根據兩個層面對學生的學習進行診斷。一個層面是學生的自主探究過程。數學處方式教學認為，“學習過程”也是學生的成果之一。學生在過程中的行為反映出態度、習慣、方法使用等，這些既是我們考察的學習結果，因為它們對學生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學生暴露問題的依據。診斷考察的第二個層面是學生的學習結果。這主要集中在對學生掌握的知識的診斷上。為了對學生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學生的病因。比如，哪些問題是學生學習習慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學生思維不到位引起的，哪些是學生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準確性，也才能為接下來的問題澄清做好準備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結合教學重點和難點，澄清學生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內在聯系，突出分析學生在自學中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據學生的學習能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學生學習過程中的表現進行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學生養成良好的學習習慣；對學生就現有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規范、簡潔、準確。同時，精講之余要給學生留有思考、消化的空間和時間，讓學生能及時反思自己之前的學習過程，從教師的講解中發現自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進學生自主學習、積極探究。

4.訓練內化，建構新知

課堂訓練是數學教學的關鍵環節，通過訓練才能促成知識的內化。因此，數學處方式教學的訓練需要注意三個層面與多種方式結合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓練內化；二是過程與方法層面，包括自主學習方法，數學思維及相應的策略訓練等；三是情感態度層面，包括要培養并形成正確的學習態度，體會數學解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據訓練目的和內容的差異，靈活采用不同或多種訓練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學生理解并掌握某一數學主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓練的方式讓不同的學生在學習中都有相應的收獲。總之，訓練內化的目的是讓學生在自主學習的基礎上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認知結構，形成一個新的穩固的知識結構。

5.拓展遷移，提升能力

在訓練內化的基礎上，處方式教學應進行適當拓展訓練。拓展遷移的目的是訓練學生的數學思維。因此，訓練所用的材料要有利于促進學生開動腦筋進行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應有思考探究類題型。每類題型的設置應有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學生表述自己的學習體驗與收獲。這是學生數學能力外顯的重要途徑，也是學生對自己學習的集中認識和反思。

圖2 數學處方式教學過程示意圖

需強調的是，數學處方式教學的過程不是這五個階段的簡單推進。在教學實踐中，教師需結合具體教學情境，在理解處方式教學兩大系統的前提下，靈活取舍或重復使用其中的某些階段（如圖2）。

參考文獻

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]喬治·波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.北京：科學出版社，2006.

[3] 喬連全.基于問題解決的數學教學研究.廈門：廈門大學出版社，2010.

[4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）.北京：北京師范大學出版社，2012.

[5] 王策三.教學論稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.現代教學論綱要.北京：人民教育出版社，2005.

【責任編輯 郭振玲】

2.學生的思維系統

數學處方式教學的根本旨趣是通過數學知識培養學生的基本數學技能，訓練學生基本的數學思維。因此，與教師的行為系統相對應，作為有學習主體性的學生在處方式教學中也有自己以思維活動為核心的思維系統。具體而言，學生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內化，遷移。

數學處方式教學基于數學問題，以培養學生基本數學思維為核心。在教師的行為系統中，教學設計與誘導的目的是激起學生學習的興趣，促使學生對新知識進行積極的思考，當這些行為作用到學生時，學生必然會對新接觸的事物和知識產生疑惑，這也是教師希望看到的結果。學生的疑惑說明學生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試理解新知和解決新問題，這也表明學生在積極地探究新知。可見，生疑與探究是兩個密不可分的活動，學生產生并帶著疑問進行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學生的學習而言，教師不能也不應奢望他們能在自己的指導下解決一切問題而不犯錯。學生生疑和探究的結果，是教師診斷和開方的依據和著力點。在數學處方式教學中，學生會從教師對自己的診斷結果中得到相應的幫助，比如學法指導、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進而表現出對知識的理解和明了。“學而時習之”，這告訴我們“明了”還需得到進一步的強化。所以，教師還需開出新方子讓學生的知識結構、思維能力得到進一步的穩固和提升，進而將新思維和新知識內化為學生自己思維和認知結構的一部分。出于培養學生基本數學思維的目的，學生的思維活動還不止于此。學生還需展示所掌握的數學知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學生數學學習的拓展和后繼學習的鋪墊。

作為完整處方式教學的核心，教師的行為系統和學生的思維系統是并行不悖、相依相存的兩個交互系統。教師以自己的行為指導學生自主學習、暴露問題，學生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應的交互作用讓處方式教學時時刻刻表現出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數學處方式教學的交互系統

三、數學處方式教學的基本過程

數學處方式教學過程是數學處方式教學的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統和學生思維系統的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設問題，生疑探究

數學處方式教學是基于數學問題的教學，也是利用問題讓學生暴露自己的知識、思維等缺點的教學。因此，教學真正起始于教師所設計的診斷問題。在課堂教學開始之時，教師利用設計的問題組織、指導學生學習相關的教學內容，并適時地探索、完成教師安排的相應任務，其主要任務是組織和指導學生自學探究，讓學生掌握基本的學習方法。數學處方式教學相信良好的教學效果源于學生端正的學習態度、良好的學習習慣、正確的學習方法。因此，在這個階段教師首先是讓學生明確學習目標，在學習過程中嘗試使用并掌握基本的數學思維方式。與教師的目的和行為相對應，學生的主要活動是自學教學內容，并基于問題進行探究以求解惑。學生在自學的基礎上，需要就自己的所學和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學生完全解決問題，而是放手讓他們繼續思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設計誘導和學生的生疑探究共同組成了數學處方式教學的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準確地診斷學生的學情，是處方式教學的核心。在本階段，教師根據兩個層面對學生的學習進行診斷。一個層面是學生的自主探究過程。數學處方式教學認為，“學習過程”也是學生的成果之一。學生在過程中的行為反映出態度、習慣、方法使用等，這些既是我們考察的學習結果，因為它們對學生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學生暴露問題的依據。診斷考察的第二個層面是學生的學習結果。這主要集中在對學生掌握的知識的診斷上。為了對學生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學生的病因。比如，哪些問題是學生學習習慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學生思維不到位引起的，哪些是學生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準確性，也才能為接下來的問題澄清做好準備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結合教學重點和難點，澄清學生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內在聯系，突出分析學生在自學中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據學生的學習能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學生學習過程中的表現進行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學生養成良好的學習習慣；對學生就現有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規范、簡潔、準確。同時，精講之余要給學生留有思考、消化的空間和時間，讓學生能及時反思自己之前的學習過程，從教師的講解中發現自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進學生自主學習、積極探究。

4.訓練內化，建構新知

課堂訓練是數學教學的關鍵環節，通過訓練才能促成知識的內化。因此，數學處方式教學的訓練需要注意三個層面與多種方式結合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓練內化；二是過程與方法層面，包括自主學習方法，數學思維及相應的策略訓練等；三是情感態度層面，包括要培養并形成正確的學習態度，體會數學解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據訓練目的和內容的差異，靈活采用不同或多種訓練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學生理解并掌握某一數學主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓練的方式讓不同的學生在學習中都有相應的收獲。總之，訓練內化的目的是讓學生在自主學習的基礎上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認知結構，形成一個新的穩固的知識結構。

5.拓展遷移，提升能力

在訓練內化的基礎上，處方式教學應進行適當拓展訓練。拓展遷移的目的是訓練學生的數學思維。因此，訓練所用的材料要有利于促進學生開動腦筋進行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應有思考探究類題型。每類題型的設置應有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學生表述自己的學習體驗與收獲。這是學生數學能力外顯的重要途徑，也是學生對自己學習的集中認識和反思。

圖2 數學處方式教學過程示意圖

需強調的是，數學處方式教學的過程不是這五個階段的簡單推進。在教學實踐中，教師需結合具體教學情境，在理解處方式教學兩大系統的前提下，靈活取舍或重復使用其中的某些階段（如圖2）。

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【責任編輯 郭振玲】