教學，貼著學生的思維前行

吳小武

【課前思考】

“3的倍數的特征”的學習安排在“2、5的倍數的特征”之后，2、5的倍數特征只要看一個數的個位，而3的倍數特征，需從各位上數的和是否是3的倍數的角度去判斷。由于受前者的影響，更因為缺少“將各位上的數相加的和”的學習經驗，所以，在探究3的倍數的特征時，學生思維的關注點總是停留在觀察一個數的個位上，很難通過舉例、觀察、猜想、驗證等過程，自主探究出3的倍數的特征。另一方面，學生超前學習的現象已越來越普遍。筆者曾做過課前調查，發現任教的兩個班，均有近半數的學生課前已經知道了3的倍數的特征，并能運用概念進行判斷。當然，知道其中緣由的學生幾乎沒有。

教學，如何才能貼近學生的思維實際呢？既然學生受認知水平的限制，難以自然想到各位上數的和，何不將探究活動的重心由探究結果轉向引導學生由果溯因？何況有那么多學生已事先知道結論了，他們更關注3的倍數的特征為什么要看各位上數的和。雖然小學生由于知識和思維特點的限制，理解現象背后的本質有困難，教材也沒有編排這一部分內容，但是3的倍數的特征的數論原理，其基礎是借助整除的知識，將整百整十數除以3的過程加以概括，進而得出新的結論。對一個五年級的學生而言，借助除法計算來理解整除的過程，并總結規律應該沒有很大的困難。

基于以上思考，筆者開始了新的教學嘗試。

【教學實踐】

一、復習引入

1.回顧

師：2、5的倍數有什么特征？我們是怎樣發現的？

生1：個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數；個位上是0或5的數，是5的倍數。

生2：先舉出一些2或5的倍數，通過觀察發現，這些數的個位是有特征的，然后再舉一些更大的數來驗證，就歸納出規律了。

師：是的，2、5的倍數的特征，我們是通過舉例、觀察分析、猜想、驗證、歸納等探究過程得到結論的。

2.設疑

師：3的倍數有什么特征？你打算用怎樣的方法進行研究？

生3：我打算先舉一些3的倍數，然后像探究2、5的倍數的特征一樣去研究。

師：哪些同學已預先知道結論了？（有十多個學生舉手）你們知道3的倍數為什么有這樣的特征嗎？（幾乎沒人舉手）好，不知道結論的同學請先自主探究，再與同桌交流；已經知道的同學，想一想結論是怎么得到的。

二、自主探究

1.舉例：舉出一些3的倍數。

2.觀察并思考：3的倍數有什么特征。

3.交流

師：觀察3的倍數，你們發現特征了嗎？（如課前所料，大多數學生茫然不知）你們在觀察時是怎樣想的？碰到什么困難了？

生4：2、5的倍數，我們是看個位上的數字，但是3的倍數，個位上0到9都有可能，好像沒有規律。

師：個位上找不到規律，想過看其他數位嗎？

生4：我發現十位、百位上的數字也沒有什么特征。

師：看來，3的倍數不能只看某一位上的數字。再想一想，還能發現什么規律？（多數學生還是滿臉疑惑，事先知道結論的學生躍躍欲試）我們請已經知道結論的同學來說說。

4.呈現結論：各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

5.舉例驗證。

三、深入探究

1.設疑

師：看到3的倍數的特征，你有什么疑問嗎？

生5：為什么3的倍數的特征要看各位上的數的和，而2、5的倍數的特征只要看個位上的數字？

2.驗證

師：判斷一個數是不是3的倍數，可以用這個數除以3，如果沒有余數，這個數就是3的倍數。也可以把這個數分解成整百整十數，分別除以3，看是否有余數。以234為例，要判斷它是否是3的倍數，可以從這個數的高位除起，先用2個百除以3，每個百都余幾？共余幾？同樣道理，3個10除以3，每個十都余幾？共余幾？個位上還有4，將余下來的數相加是幾？9除以3，沒有余數，說明什么？

生6：2個百除以3，每個百都余1，共余2，3個10除以3，每個十都余1，共余3，個位上還有4，將余下來的數相加是9，9除以3，沒有余數，說明234是3的倍數。

結合小棒圖演示計算過程：

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師：你能同樣的方法分析345是不是3的倍數嗎？

生6：3個100除以3，余下3個1；4個10除以3，余下4個1；個位上還有5，將余下的數相加是12，12除以3，沒有余數，說明345就是3的倍數。

（學生同桌之間照此思路分析3的倍數）

3.提煉

師：判斷一個數是不是3的倍數，需要根據整個數都除以3來判斷嗎？

生7：不用的，只要看各位上的數除以3以后余下的數的和是不是3的倍數就可以了。

師：但是，前面得出的結論卻是看各位上的數的和，這是怎么回事？（引導學生觀察剛才的驗證過程）

生7：因為各位上的數除以3余下的數恰好與原來數位上的數相同，比如，百位上的數是2，除以3余下的數也是2；十位上是3，除以3余下的數也是3。所以，各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

生8：真巧！原來是這樣啊！（就像發現了新大陸，學生興奮不已）

4.歸納：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

四、溝通聯系

師：通過剛才的學習，我們不但知道了3的倍數的特征，而且還用除法計算對結論進行了驗證。想一想，2和5的倍數的特征能用剛才的思路進行分析嗎？為什么2和5的倍數的特征只要看個位上的數字？

生9：2、5的倍數的特征也可以用除法計算進行推理證明的，因為整百、整十的數都是2、5的倍數，所以2和5的倍數只要看個位上的數字。endprint

師：看來，3的倍數的特征和2、5的倍數的特征，它們的判斷方法是一致的，都可以用除法來進行驗證，只是2、5的倍數，整十、整百的數都是它們的倍數，所以只要看個位上的數字。能用這個方法探究其他數的倍數的特征嗎？如，4、9的倍數的特征。課后大家可以繼續研究。

五、練習鞏固

1.判斷下面哪些數是3的倍數：45、74、236、876、3698。

2.學習“劃去3、6、9”的判斷方法。

生10：在判斷3698時，只要把3、6、9先劃去，直接看8就行了。

師：為什么不先求和也能判斷？

生10：因為當各位上的數除以3的余數是3、6、9的時候，這些余數本身就是3的倍數，如果繼續除以3，就沒有余數了，所以可以先劃去。

生11：照你這么說，如果余數大于3，還可以先劃去3的倍數，再用余下的數的和來判斷。

師：你能舉例說明嗎？

生10：比如876，每位除以3的余數分別是8、7、6，8里面有2個3，就劃去2個3，還余下2；7里面也有2個3，也劃去還余1；6可以全部劃去，最后只要根據2+1=3，就能判876是3的倍數了。

師：你真善于思考，在證明結論的過程中，你又進一步發現了新的判斷方法。

3.在方框里填上數字，使這個數是3的倍數.

4□2 65□ 12□1

【課后反思】

回顧整節課，由于教學活動以學生的認知發展水平和已有的知識經驗為基礎，以理解概念本質為核心，教學貼著學生的思維前行，因此收到了較好的教學效果，具體表現在以下幾個方面。

一、基于學生的認知水平切入教學

在學習“3的倍數的特征”之前，學生已具備怎樣的認知水平呢？由于3的倍數要根據各位數上的和是否是3的倍數來判斷，而先前學習的“2、5倍數的特征”是看個位上的數來判斷的，顯然，新知與原有經驗是不一致的；學生在以前的學習中幾乎沒有“將各位上的數相加的和”的學習經驗，所以，學生要自主發現3的倍數的特征是困難的。在眾多的教學設計中，為了給學生提供合適的探究材料，教師可謂想盡辦法，最常見的有以下兩種材料：先引導學生在百數表中找到3的倍數，然后組織學生進行觀察、猜測、驗證（如人教版、北師大版的編排）；在計數器上分別表示出幾個3的倍數，看看各用了幾顆數珠（如蘇教版的編排）。但是教學實踐表明，不管給學生怎樣的探究材料，學生還是難以自主探究出3的倍數的特征，即使在一些大型的公開課中也不例外。多數情況是在教師近乎直白告知的引導下，如：“3的倍數和各位上的數有什么關系？”“將每個數的各個數位上的數字加起來試試看？”結論才千呼萬喚始出來的。

顯然，小學生由于受知識和思維特點的限制，并不具備自主探究出結論的能力。如果課堂教學不顧學生的思維現狀，把大量的時間用于所謂的自主探究，那么，這樣的教學不但是低效的，而且學生對知識的理解也僅僅停留在形式化層面，對思維能力的培養并無多大價值。再者，對預先就知道結論的學生而言（知道的學生人數不在少數），這樣的課堂教學既沒有什么思維增量，也不利于學生探究意識的培養。

既然學生無力自主探究出結論，何不以此為起點切入教學，及時調整探究方向？所以，在課的引入環節，首先讓學生回憶2、5的倍數的特征及探究方法，從而引導學生用所學的方法探究3的倍數的特征，讓學生再次經歷舉例、觀察、猜想、驗證、歸納等探究活動，從中獲得對探究方法的更為豐富的體驗。探究過程中，學生由2、5的倍數的特征類比推理3的倍數的特征，從個位上發現不了規律聯想到從十位、百位進行觀察思考，雖然這些探究活動都沒有結果，但是學生越是不得其解，就越想知道其中的奧秘。當學生的思維處于憤悱狀態時，考慮到學生的認知發展水平，教師不再一廂情愿地要求學生繼續人為地去發現結論，而是及時通過超前學習的學生的回答來呈現3 的倍數的特征。讓學生頗有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之感。為什么3的倍數的特征要看各位上的數的和，而2、5的倍數的特征只要看個位上的數字呢？真可謂是“一波未平，一波又起”，繼續將學生的思維引向探究現象背后的本質。

二、順著學生的思維展開教學

3的倍數的特征為什么要看各位上的數之和呢？結論呈現后，不管是先前探究未果的學生，還是事先知道結論的學生，大多將思維的焦點聚焦于此。

我們知道，一個數的倍數的特征，其數論原理是“尋求一個自然數能否被另一個自然數整除”，簡便的判別方法是“可把這個自然數分為大小不等的兩個自然數的和，并且使較大的加數已能被另一個自然數整除時，只要判別較小的加數能否被另一個自然數整除就可以了”。如，判斷一個數是否是3的倍數，分析如下：345=3×100+4×10+5=3×99+3+4×9+4+5，因為在計算單位“十”、“百”、“千”……中，9、99、999…是3最大的倍數，按照位值原則，每個數位余下的數恰好是各位上的數，所以，3的倍數的特征是各位上的數的和是3的倍數。

如果照此進行抽象地分析，對小學生而言，顯然難度太大。小學五年級學生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡時期，在理解抽象的數學原理時，仍應以具體形象的實物操作做支撐，才能完成向抽象思維的過渡。

為了讓學生能理解推理證明的過程，掌握概念的本質，教師采用了先扶后放的教學策略。首先，讓學生明確：判別一個自然數是否是3的倍數，就是通過除法計算，從高位到低位依次除以3，如果余數為0，這個數就是3的倍數；如果余數不是0，則把每位除以3的余數相加，看是否是3的倍數。然后結合小棒圖，使學生直觀感知每個數位上除以3余下的數恰好是各位上的數。由于以除法計算為基礎，并輔以數形結合，多數學生能理解推理證明過程。回歸知識本源的學習，不但使學生透過現象理解概念的本質，培養了學生的推理能力，同時也有利于學生養成追根究底的學習習慣。

理解了3的倍數的特征，那么，2、5的倍數的特征為什么只要看個位上的數字呢？有了先前的學習經驗，學生自然就想到了2、5的倍數的特征也可以用除法計算進行推理證明，因為整百、整十的數都是2、5的倍數，所以2和5的倍數只要看個位上的數字。相信有的學生能運用這樣的探究經驗和思維方法繼續去探究4、9的倍數的特征。由于順著學生的思維進行教學，不但自然地溝通了知識間的內在聯系，同時也加深了學生對知識本質的理解。

在練習鞏固環節，判斷3698是否是3的倍數時，有的學生居然想到了“劃去3、6、9的方法”，只要看8就行了，理由是當各位上的數除以3的余數是3、6、9的時候，這些余數本身就是3的倍數，如果繼續除以3，就沒有余數了，所以可以劃去。可見，雖然小學生理解3的倍數的原理有些困難，但是實踐證明，以除法計算為基礎，并借助直觀教學手段，學生不但能理解其原理，有的學生甚至能以此為基礎，想到更簡潔的判斷方法。

（責編 金 鈴）endprint