解決二次根式問題中的數學思想方法

曹洪

數學思想方法是解決數學問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關問題時，常用到如下幾種數學思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實數x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負數，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對值的非負性，結合非負數的性質可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因為y為負數，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點評 本題利用二次根式的非負性和非負數的性質，通過列方程（組）來解決問題。非負數（如絕對值、偶次方、算術平方根）是具有特殊性質的數，如果一個等式中有兩個未知數，利用非負數的性質構造方程（組）求出未知數是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內蒙古自治區包頭市中考題）計算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計算4■+3■-■的結果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類項進行計算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點評 二次根式的加減運算可以類比整式加減中的合并同類項來進行，二次根式的加減運算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結果可以不含二次根式。根據二次根式的性質，正確化簡各二次根式是順利進行二次根式加減運算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負數的性質可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結果。

因為■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點評 在處理問題時，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進行了以下探索：

設a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數，求a的值。

解析 （1）根據完全平方公式運算法則，可得出a、b的表達式。因為a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因為4=2mn，且m、n為正整數，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點評 本題主要考查二次根式的混合運算、完全平方公式等知識。以閱讀理解題的形式出現，又考查了對材料的準確分析、模仿和轉化能力以及分類討論思想方法的應用。

數學思想方法是解決數學問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關問題時，常用到如下幾種數學思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實數x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負數，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對值的非負性，結合非負數的性質可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因為y為負數，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點評 本題利用二次根式的非負性和非負數的性質，通過列方程（組）來解決問題。非負數（如絕對值、偶次方、算術平方根）是具有特殊性質的數，如果一個等式中有兩個未知數，利用非負數的性質構造方程（組）求出未知數是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內蒙古自治區包頭市中考題）計算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計算4■+3■-■的結果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類項進行計算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點評 二次根式的加減運算可以類比整式加減中的合并同類項來進行，二次根式的加減運算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結果可以不含二次根式。根據二次根式的性質，正確化簡各二次根式是順利進行二次根式加減運算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負數的性質可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結果。

因為■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點評 在處理問題時，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進行了以下探索：

設a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數，求a的值。

解析 （1）根據完全平方公式運算法則，可得出a、b的表達式。因為a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因為4=2mn，且m、n為正整數，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點評 本題主要考查二次根式的混合運算、完全平方公式等知識。以閱讀理解題的形式出現，又考查了對材料的準確分析、模仿和轉化能力以及分類討論思想方法的應用。

數學思想方法是解決數學問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關問題時，常用到如下幾種數學思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實數x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負數，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對值的非負性，結合非負數的性質可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因為y為負數，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點評 本題利用二次根式的非負性和非負數的性質，通過列方程（組）來解決問題。非負數（如絕對值、偶次方、算術平方根）是具有特殊性質的數，如果一個等式中有兩個未知數，利用非負數的性質構造方程（組）求出未知數是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內蒙古自治區包頭市中考題）計算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計算4■+3■-■的結果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類項進行計算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點評 二次根式的加減運算可以類比整式加減中的合并同類項來進行，二次根式的加減運算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結果可以不含二次根式。根據二次根式的性質，正確化簡各二次根式是順利進行二次根式加減運算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負數的性質可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結果。

因為■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點評 在處理問題時，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進行了以下探索：

設a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數，求a的值。

解析 （1）根據完全平方公式運算法則，可得出a、b的表達式。因為a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因為4=2mn，且m、n為正整數，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點評 本題主要考查二次根式的混合運算、完全平方公式等知識。以閱讀理解題的形式出現，又考查了對材料的準確分析、模仿和轉化能力以及分類討論思想方法的應用。