一類廣義凸集值映射優化問題弱有效解的最優性條件

宋永明，胡 君

(1.昆明鐵路機械學校，云南 昆明 650208;2.云南省國有資產監督管理委員會，云南 昆明 650031)

一類廣義凸集值映射優化問題弱有效解的最優性條件

宋永明1，胡 君2

(1.昆明鐵路機械學校，云南 昆明 650208;2.云南省國有資產監督管理委員會，云南 昆明 650031)

在序線性拓撲空間中定義了近似C－次類凸映射的概念，然后應用向量拓撲空間中的凸集分離定理建立了近似C×D－次類凸的擇一定理，最后運用此定理獲得了弱有效解意義下的集值向量優化問題的最優性條件.

集值映射;近似C－次類凸;擇一定理;弱有效解;最優性條件

0 引言

隨著最優化理論研究的不斷深入，及其在非線性系統、控制論、廣義方程及變分問題等領域中的廣泛應用，其面臨越來越多的集值函數問題.近年來，科研人員對集值優化理論的研究已取得了比較豐富的成果，例如，文獻［1］將文獻［2］的廣義凸函數推廣到廣義錐次似凸集值映射，文獻［3］在向量拓撲空間中，在拓撲內部非空的條件下，定義了一種新的廣義凸向量集值映射，建立了此映射的擇一定理及廣義凸規劃問題的最優性條件，文獻［4］在向量拓撲空間中，定義了一種新的凸向量集值映射，并研究了Lagrangian對偶定理和標量化定理.在此基礎上，本研究在拓撲向量空間中定義了近似C-次類凸的概念，建立了擇一定理，并利用此定理，在拓撲向量空間中探討了帶廣義等式和不等式約束的向量優化問題弱有效解的最優性必要條件和充分條件，推廣了文獻［1-5］中的部分結果.

1 預備知識

設X非空集合，Y，Z是線性拓撲空間，C和D分別是Y和Z中的拓撲內部非空的閉凸點錐.用Y*和Z*分別表示Y和Z的拓撲對偶空間，稱C*={y*∈Y*:〈y，y*〉≥0，?y∈Y+}為C的對偶錐，C*i={y*∈Y*:〈y，y*〉＞ 0，?y∈Y+{0Y}}為C的嚴格對偶錐，其中，〈y，y*〉表示線性泛函y*在點y的函數值.集值映射，g:X→2Y，h:X→2Z，集值映射，H=(g，h):X → 2Y×Z.設，x ∈ C，y*∈ Y*，〈g(x)，y*〉≥ 0?〈y，y*〉 ≥ 0，?y ∈ g(x);〈g(C)，y*〉≥0?〈g(x)，y*〉≥0，?y∈ C.

定義1［4］設E?X為一非空子集，集值映射，F:E→ 2Y，稱為近似C-次 類凸的，如果是凸的.

注:近似C-次類凸是C-次類凸的推廣.

2 擇一定理

定理1 設intC≠?，intD≠?，H在X上是近似C×D-次類凸的，則下列敘述有且只有一個成立:

①存在x∈X，使g(x)∩(-intC)≠?，h(x)∩(-intD)≠?.

②存在c*∈C*，d*∈D*，(c*，d*)≠ (0C，0D)，使得，

證明 假設①、②都成立，則存在x∈X，使得，

即，?c1∈g(x)∩(-intC)，d1∈h(x)∩(-intD).由題設知，c*∈C*，d*∈D*可得，〈c1，c*〉+〈d1，d*〉＜0，此與②矛盾，故①和②不能同時成立.

下面證明如果①不成立，那么②成立.假設，

容易得到，

因為，C，D是閉凸錐，所以，

所以，

此與式(3)矛盾.于是，c*∈ C*，d*∈ D*，(c*，d*)≠ (0C，0D).

在式(3)中令ε→0，可得到，〈c*，y1〉≥0，?y1∈ g(X)，〈d*，y2〉≥0，?y2∈ h(X).

從而證明了②是正確的.

3 最優性條件

設集值映射，f:X→2W，g:X →2Y，h:X→2Z，E，C，D分別是W，Y，Z中的拓撲內部非空的閉凸點錐，令，V=E × C ×D.令，U=W ×Y ×Z，G=(f，g，h):X→2U，稱G在X上是近似C×D-次類凸的，如果G=((f，g)，h)在X上是近似C×D-次類凸的，即，cl(cone(F(X)+V))是凸的.

考慮優化問題，

用K表示(VP)的可行集，

定義2 x0∈K稱為(VP)的弱有效解，如果?w0∈f(x0)，對?x∈K，?w∈f(x)，使得w0-w∈intE，(x0，w0)則稱為(VP)的弱有效元.

由定義可得下列命題，

命題 1 設 x0∈ K，w0∈ f(x0)，(x0，w0)是(VP)的弱有效元，當且僅當，(w0-f(K))∩intE=?.

定理2 設x0∈K，w0∈f(x0)，且滿足:

①(x0，w0)是(VP)的弱有效元;

②G=(f-w0，g，h)在K上是近似C×D-次類凸的，則，

使得，

證明 由條件①及命題1知，

于是，-G(x)∩(intE，intC，intD)= ?，?x∈K.若不然，則，

于是，

此與式(4)矛盾.從而，由條件②及定理1知，

使得，

由x0∈K知，?y∈g(x0)，s.t.-y∈C，從而，〈y，c*〉≤0，取 x=x0，由0Z∈ h及式(5)可得，

故〈y，c*〉≥0.于是，

因此，

從而由式(5)得到，

取x=x0代入式(5)，可得，

即是，

從而由式(6)和0Z∈h(x0)可得，

由式(7)和0Z∈h(x0)可得，

由式(6)可得，

由式(6)和(7)可得，〈h(x0)，d*〉≥0，由0Z∈h(x0)得，

定理3 設x0∈K，且?w1∈f(x0)，e*∈E*i，c*∈C*，d*∈D*，使得，

則x0是(VP)的弱有效解.

證明 由題設可知，?w1∈f(x0)，e*∈E*i，c*∈C，d*∈D*，使得，

假設x0不是(VP)的弱有效解，則由命題1可知，對于題設中的w1，?x'∈K，使得，

于是，

由e*∈E*i得，

由 x'∈K得，?y'∈g(x')，s.t.-y∈C，且，0Z∈ h(x')，故，

由式(9)得，

此與式(8)矛盾，故x0是(VP)的弱有效解.

［1］Huang Y W.Generalized cone-subconvexlike set-valued maps and applications to vector optimization［J］.Journal of Chongqing university(English Edition)，2002，1(2):67 －71.

［2］Frenk J B G，Kassay G.On class of generalized convex functions，Gordan-Farkas type theorems，and Lagrangian duality［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，102(2):315－343.

［3］Illes T，Kassay G.Theorems of the alternative and optimality conditions for convexlike and general convexlike programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，101(2):243－257.

［4］Yang X M，Li D，Wang S Y.Near-subconvexlikeness in vector optimization with set-valued functions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2001，110(2):413 －427.

［5］王其林.一類廣義凸集值映射優化問題弱有效解的最優性條件［J］.四川師范大學學報(自然科學版)，2007，30(5):556－559.

［6］宋永明.一類集約束下的向量極值問題的最優性條件［J］.重慶工學院學報，2008，22(2):60 －63.

Optimality Conditions of Weak Efficient Solutions for Optimization Problems of One Class of Generalized Convex Set-valued Mapping

SONG Yongming1，HU Jun2
(1.The Railway Mechanical School of Kunming，Kunming 650208，China;2.State-owned Assets Supervision and Administration Commission of Yunnan Provincial People’s Government，Kunming 650031，China)

This paper defines the concept of nearly C-subconvexlike function in topological vector spaces，and then establishes the alternative theorem of the nearly-subconvexlike function by the convex set separation theorem.Finally，using the alternative theorem，we obtain the optimality conditions of weak efficient solutions for the optimization problems with generalized equality and inequality constraints.

set-valued mapping;nearly C-subconvexlike function;theorem of the alternative;weak efficient solution;optimality condition

O224

A

1004－5422(2014)01－0026－03

2013-12-05.

宋永明(1978—)，男，碩士，講師，從事最優化理論與應用研究.