六維歐式空間球面曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)

潘 虹，杜 柯，李占芳

(信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000)

六維歐式空間球面曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)

潘 虹，杜 柯，李占芳

(信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000)

為了探究球面曲線的幾何特征，對(duì)歐式空間的公式進(jìn)行了研究，將歐式空間的公式推廣至6維歐式空間，給出了判定一條曲線是球面曲線的充分必要條件.

公式;球面曲線;6維歐式空間

0 引言

Frenet標(biāo)架和Frenet公式是曲線論基本定理的依據(jù)，也是闡明曲線在一點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的重要工具，其在曲線論中起著關(guān)鍵的作用.本研究根據(jù)曲線基本向量的微商與基本向量之間的特定關(guān)系，在3維歐式空間 Frenet標(biāo)架［1－4］和 Frenet公式的基礎(chǔ)上，對(duì)R4{5}、R5{6}中的歐式空間球面曲線做了進(jìn)一步的探討并給出了相應(yīng)的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造出6維歐式空間下沿空間曲線的Frenet標(biāo)架，推廣了Frenet公式，并利用推廣后的Frenet公式得到判定空間曲線是球面曲線的一個(gè)充分必要條件，并給出相應(yīng)證明.

1 主要結(jié)果

引理1 在3維歐式空間中，F(xiàn)renet公式可表示為，

根據(jù)這組公式的系數(shù)組成反方陣的特點(diǎn)，可構(gòu)造出6維歐氏空間下沿空間曲線的Frenet標(biāo)架

證明 根據(jù)空間曲線曲率的定義和球面曲線的性質(zhì)來(lái)證明這個(gè)定理.

1)必要性.

由6維歐式空間的正則曲線出發(fā)，推得5個(gè)曲率之間的關(guān)系.設(shè)球面方程為，

對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)，得到，

對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)，得到，

上式兩端作比較可得到，

解之得，

將上式代入方程得到，

兩邊同時(shí)取模，可得到結(jié)論.

2)充分性.

由于，

對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)得，

對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)得，

因此，

命題得證.

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京:高等教育出版社，1990.

［2］陳維恒.微分幾何［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2003.

［3］劉學(xué)泳.空間兩曲線的基本向量之間關(guān)系研究［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，4(1):34 －35.

［4］吳大任.微分幾何講義［M］.北京:人民教育出版社，1982.

［5］潘虹，李林棟，張超楠.四維歐式空間的一個(gè)幾何性質(zhì)［J］.高師理科學(xué)刊，2013，33(1):5 －7.

［6］薛艷日方，馮艷麗，李玲玲.五維歐式空間的一個(gè)幾何性質(zhì)［J］.成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，31(4):327 －330.

One Geometric Property of Spherical Curves in 6-dimensional Euclidean Space

PAN Hong，DU Ke，LI Zhanfang
(School of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China)

In order to explore the geometrical characteristics of spherical curves，this paper discusses the Frenet formula of Euclidean space.The Frenet formula of Euclidean space is extended to 6 dimensions，and a sufficient and necessary condition is presented to judge whether a space curve is a spherical curve.

Frenet formula;spherical curve;6-dimensional Euclidean space

O186.1

A

1004－5422(2014)01－0023－03

2014－01－02.

國(guó)家自然科學(xué)青年基金(11201400)、河南省自然科學(xué)基金(132300410056)資助項(xiàng)目.

潘 虹(1980—)，女，碩士，講師，從事微分幾何與一般拓?fù)鋵W(xué)研究.