亞正定矩陣的基本性質(zhì)

黃 毅，歐 鵬

(1.成都大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610106;2.模式識(shí)別與智能信息處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610106)

亞正定矩陣的基本性質(zhì)

黃 毅1，2，歐 鵬1，2

(1.成都大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610106;2.模式識(shí)別與智能信息處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610106)

論述了作為廣義正定矩陣的亞正定矩陣的一些基本性質(zhì).

亞正定矩陣;實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣;特征值

0 引言

對(duì)于矩陣正定性的研究，研究人員過(guò)去一直局限于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和 Hermite矩陣.例如，1970年，Johnson［1］引入了不再局限于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和Hermite矩陣的實(shí)正定矩陣的概念，隨后，Horn等［2］提出了實(shí)正定矩陣的定義，李炯生［3］對(duì)這類(lèi)廣義正定矩陣的性質(zhì)和特征做了較深入的研究，屠伯塤［4］提出了亞正定矩陣的概念，并對(duì)其做了較系統(tǒng)的論證與研究［4－5］.事實(shí)上，實(shí)正定矩陣實(shí)際上就是亞正定矩陣，這兩個(gè)概念是等價(jià)的［4］，它們都是把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的限制去掉了.本研究使用亞正定矩陣的概念，將著重論述亞正定矩陣的一些重要的基本性質(zhì).除特別說(shuō)明的地方外，本研究所討論的矩陣皆為實(shí)方陣.

先說(shuō)明一些本研究所使用的符號(hào):Mn(P)表示數(shù)域P上n階方陣的集合;Rn×1表示全體n維實(shí)列向量集合;AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置;ˉA表示矩陣A的復(fù)共軛;A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，即A*=;λ(A)表示方陣A的特征值;Reλ表示復(fù)數(shù)λ的實(shí)部;Imλ表示復(fù)數(shù)λ的虛部.

1 定 義

定義1 矩陣A∈Mn(R)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣，是指A=AT;如果A=－AT，則稱(chēng)之為反對(duì)稱(chēng)矩陣;矩陣A∈Mn(C)稱(chēng)為Hermite矩陣，是指A=A*.

定義2 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A稱(chēng)為實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，如果對(duì)于任一非零實(shí)向量，X∈Rn×1，都有XTAX＞0.

事實(shí)上，實(shí)方陣可惟一地表示成，A=(A+AT)/2+(A－AT)/2的分解形式.令，R(A)=(A+AT)/2，S(A)=(A － AT)/2，則，A=R(A)+S(A).其中:R(A)是對(duì)稱(chēng)陣，稱(chēng)為方陣 A的對(duì)稱(chēng)分支;S(A)是反對(duì)稱(chēng)陣，稱(chēng)為方陣A的反對(duì)稱(chēng)分支.以下的分解式，A=R(A)+S(A)，均指這種意義的分解.

定義3［1－3］設(shè)A∈Mn(R)，如果對(duì)于任一非零實(shí)向量，X∈Rn×1，都有XTAX ＞0，則稱(chēng)A為實(shí)正定矩陣.

定義4［4］如果實(shí)方陣A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定陣，則稱(chēng)A為亞正定矩陣.

由于實(shí)正定矩陣和亞正定矩陣這2個(gè)概念是等價(jià)的［4］，故本研究使用亞正定矩陣的概念.“亞”字在漢語(yǔ)里有“次一等”的意思，顧名思義，亞正定矩陣就是滿足的條件少于普通的實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣的正定矩陣.

引理1{實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣}?{亞正定矩陣}

證明 任給A{實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣}，則，R(A)=(A+AT)/2=A是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，根據(jù)定義3即得，A∈{亞正定矩陣}.因此，{實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣}?{亞正定矩陣}.

定義5 一個(gè)方陣中相同的行標(biāo)和列標(biāo)的行和列的交叉元素所形成的矩陣稱(chēng)為這個(gè)方陣的主子陣.

定義6［4］主子式(主子陣的行列式稱(chēng)為主子式)全大于零的實(shí)陣稱(chēng)為完全主正陣.

2 亞正定矩陣的一些基本性質(zhì)

定理1 兩個(gè)亞正定矩陣之和仍是亞正定矩陣.

定理2 亞正定矩陣的正線性組合仍是亞正定矩陣.即，設(shè)ai＞0，Ai∈Mn(R)是亞正定矩陣，i=1，2，…，m，則是亞正定矩陣.

定理3 如果A是亞正定矩陣，S是反對(duì)稱(chēng)實(shí)陣，則A+S是亞正定矩陣.

這是因?yàn)椋琑(A+S)=R(A)是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣.

引理2［4］亞正定矩陣必是完全主正陣.

由此顯然有，

定理4 亞正定矩陣的行列式必大于零.

從而有，

定理5 亞正定矩陣是非奇異矩陣.

定理6 亞正定矩陣A的主對(duì)角元素akk(k=1，2，…，n)全為正實(shí)數(shù).

證明 因?yàn)锳亞正定，故A為完全主正陣，所以，A的主子式全大于零.特別地，其一階主子式也全大于零，即，

一個(gè)實(shí)方陣A的特征值λ是一個(gè)復(fù)數(shù)，可以惟一地分解成實(shí)部Reλ和虛部Imλ之和，而一個(gè)實(shí)方陣也可惟一地分解成對(duì)稱(chēng)分支R(A)和反對(duì)稱(chēng)分支S(A)之和.另外，矩陣的特征值可以看成是反映矩陣特征的數(shù).例如，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值是實(shí)數(shù)，實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值是純虛數(shù)或零，實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣的特征值是正實(shí)數(shù)，等等.根據(jù)矩陣和數(shù)的這種類(lèi)比關(guān)系，可以從直覺(jué)上很自然地產(chǎn)生這樣的問(wèn)題:實(shí)方陣A的任一特征值λ的實(shí)部是否可以看成和A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)對(duì)應(yīng)，虛部是否可以看成和反對(duì)稱(chēng)分支S(A)對(duì)應(yīng)呢?如果是的話，λ的實(shí)部是否可以由A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)來(lái)確定，虛部是否可以由A的反對(duì)稱(chēng)分支S(A)來(lái)確定呢?

引理3 (實(shí)方陣特征值的實(shí)部和虛部的表達(dá)式)設(shè)實(shí)方陣A的特征值λ對(duì)應(yīng)的特征向量為X，則，

其中，i為虛數(shù)單位;i2=1.

證明 由AX=λX得，

再得到，

即，

式(1)兩端取轉(zhuǎn)置共軛得，

式(2)+(3)得，

式(2)－(3)得，

注:引理3給出了實(shí)方陣A的特征值的實(shí)部Reλ由A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)來(lái)確定的等式，以及虛部Imλ由A的反對(duì)稱(chēng)分支S(A)來(lái)確定的等式.

引理4［4］(Rayleigh-Ritz定理)設(shè)A∈Mn(C)是Hermite矩陣，則，

引理5(實(shí)方陣的特征值范圍)若A=R(A)+S(A)+Mn(R)，則，

證明 R(A)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以是Hermite矩陣，由引理3及引理4，對(duì)實(shí)方陣A的特征值λ(A)和對(duì)應(yīng)的特征向量X有，

又因?yàn)椋?/p>

所以，－iS(A)是Hermite矩陣.又，

故同樣有，

注:①當(dāng)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，可以看出式(4)和(5)都是成立的.

②由式(4)和(5)可知，在復(fù)平面上，實(shí)方陣A的特征值λ(A)分布于以下4個(gè)點(diǎn):

為頂點(diǎn)的閉矩形域內(nèi)，具體如圖1陰影部分所示.

圖1 復(fù)平面上實(shí)方陣A的特征值范圍

③引理5給出了實(shí)方陣A的特征值實(shí)部Reλ的范圍由A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)來(lái)確定的不等式(4)和虛部Imλ的范圍由反對(duì)稱(chēng)分支S(A)來(lái)確定的不等式(5).式(4)表明，實(shí)方陣A的特征值的實(shí)部Reλ處在對(duì)稱(chēng)分支R(A)的特征值λ(R(A))(是實(shí)數(shù))的最小值和最大值之間;式(5)表明，實(shí)方陣A的特征值的虛部Imλ處在反對(duì)稱(chēng)分支S(A)的特征值λ(S(A))(是純虛數(shù)或零)乘上 －i所得的實(shí)數(shù)－iλ(S(A))的最小值和最大值之間.

總之，引理3和引理5表明，實(shí)方陣A的特征值λ的實(shí)部Reλ和A的對(duì)稱(chēng)分支R(A)對(duì)應(yīng)，其數(shù)值和范圍可以由R(A)來(lái)確定，λ的虛部Imλ和A的反對(duì)稱(chēng)分支S(A)對(duì)應(yīng)，其數(shù)值和范圍可以由S(A)來(lái)確定.

有了引理3和引理5作基礎(chǔ)，就很容易得出亞正定矩陣特征值的性質(zhì).

定理7 亞正定矩陣A的特征值的實(shí)部為正實(shí)數(shù)，即，Reλ(A)＞ 0.

證明 因?yàn)锳是亞正定矩陣，故R(A)是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，從而λ(R(A))＞0，亦有，

由式(4)得，

因此，Reλ(A)＞ 0.

注意，定理7的逆命題不一定成立，即，特征值實(shí)部為正實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣不一定是亞正定矩陣.例如，，它的2個(gè)特征值為1，1，實(shí)部都大于零，但，不是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，從而A不是亞正定矩陣.

定理8 亞正定矩陣集合為一凸集，即，若A、B是亞正定矩陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈［0，1］，tA+(1－t)B是亞正定矩陣.

證明 因?yàn)閬喺ň仃嚨亩x和實(shí)正定矩陣的定義是等價(jià)的，所以，如果A、B是亞正定矩陣，那么對(duì)于任一非零實(shí)向量X∈Rn×1，都有XTAX ＞0和XTBX＞0.又t與1－t不同時(shí)為零，并且都在閉區(qū)間［0，1］之內(nèi)，所以對(duì)于任一非零實(shí)向量 X ∈Rn×1，XT［tA+(1 － t)B］X=tXTAX+(1 － t)XTBX ＞ 0.

因此，tA+(1－t)B是亞正定矩陣.

［1］Johnson C R.Positive definite matrices［J］.The American Mathematical Monthly，1970，77(3):259 －264.

［2］Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［3］李炯生.實(shí)方陣的正定性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1985，15(3):67－73.

［4］屠伯塤.亞正定陣?yán)碚?I)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1990，33(4):462－471.

［5］屠伯塤.亞正定陣?yán)碚?II)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1991，34(1):91－94.

［6］李正良，鐘守銘，黃廷祝.矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用［M］.成都:電子科技大學(xué)出版社，1996.

Basic Properties of Metapositive Definite Matrices

HUANG Yi1，2，OU Peng1，2
(1.School of Information Science and Technology，Chengdu University，Chengdu 610106，China;2.The Key Laboratory for Pattern Recognition and Intelligent Information Processing of Higher Education Institutes of Sichuan Province，Chengdu University，Chengdu 610106，China)

This paper gives several basic properties of meta positive definite matrices as one of generalized positive definite matrices.

metapositive definite matrix;real symmetric positive definite matrix;eigenvalue

O151.21

A

1004－5422(2014)01－0020－04

2013－11－12.

成都大學(xué)校科技基金(2013XJZ08)資助項(xiàng)目.

黃 毅(1974—)，男，博士，講師，從事計(jì)算機(jī)數(shù)值分析研究.