偽相容連續Domain局部基的若干性質

祝禎禎，盧 濤

（淮北師范大學 數學科學學院， 安徽 淮北 235000）

偽相容連續Domain局部基的若干性質

祝禎禎，盧 濤

（淮北師范大學 數學科學學院， 安徽 淮北 235000）

本文引入了相容定向集的容元，容集，以及偽相容連續Domain的局部基的概念，在此基礎上討論了偽相容連續Domain中容元的局部基的特點，并對偽相容連續Domain的局部基的其他相關性質進行了探討.

容元；偽相容連續Domain；局部基

引言和預備

理論為計算機程序設計語言語義學奠定了基礎，而連續 Domain在Domain理論中占有極其重要的地位.隨著連續Domain理論在計算機科學和經典數學領域逐漸得到應用，人們對與連續Domain相關理論的研究興趣日益濃厚，基于此，本文引入了偽相容連續Domain與偽相容連續Domain的局部基的概念，進而得出許多性質與結論，從而對理論進行更深層次的推廣.

設(P,≤)是偏序集，P的非空子集A稱作定向集，若對于?a,b∈A,?c∈A使得a≤c且b≤c.P稱作定向完備偏序集，若P的每個定向子集都有上確界.

↓x={y∈p:y≤x}，x=∨D表示x是定向集D的上確界.

定義 1.1 設(L,≤)是偏序集，如 果（i）D是定向集；（ii）?p∈L,使得 D?↓p={x∈L:x≤p}；則稱 D為 L的相容定向集,↓p稱為 D的容集，p稱為相容定向集D的容元.

易證，↓x是 P的相容定向集.

定 義 1.2[1]設(L,≤)是偏序集，若對于 P的每個相容定向集 D，∨↑D在 L中存在，則稱 L為相容Domain.

1 主要結果

定義 1.3 設 L為相容 Domain，稱 L為偽相容連續 Domain，若 L滿足：

ⅰ）任意 x∈L，↓x={y∈L:y≤x}是 L中的相容定向集；

ⅱ）任意 x∈L，x=∨↑x.

定義 1.4 設 L為相容 Domain，x∈L，若相容定向集 Dx?↓x，且∨Dx=x，則稱 Dx是 x的局部基.

定 義 1.5 設L為偽相容連續Domain，x∈L，令 X(x,L)=min{|Dx|:Dx：是p的局部基}，則稱 X(x,L)為偽相容連續 Domain L中x的特征.令X(L)=sup{X (x,L):x∈L}，稱其為 L的特征.

命題 1.1 設 L為偽相容連續 Domain，若對于相容定向集 D的某個容集↓p，supD=sup↓p，則 D是點p的局部基.

證明因為supD=sup↓p，又L為偽相容連續Domain，所以supD=p，又D?↓p，由局部基定義即證.

命題 1.2 設 L為偽相容連續 Domain，若↓p是若干相容定向集 Di的容集，則∪Di是 p的局部基.

證 明 因為 Di?↓p，所以∪Di?↓p，又 sup {Di}=p，由定義即證.

命題 1.3 設 L為偽相容連續 Domain，則以下命題等價；

ⅰ）每個相容元都存在局部基；

ⅱ）p是相容定向集 D的相容元，supD=p；

ⅲ）每個元素都存在局部基.

命題 1.4 設 L為相容 Domain，a∈L，若 a有局部基，則↓a是 a的最大局部基.

易證↓a是 a的局部基，設 Da為 a的任意局部基，則 Da?↓a，得證.

命題 設 L為相容 Domain，a∈L，若 a有局部基，則{a}是 a的最小局部基，即 X(a,L)=1.

命題 1.5 設 Da，Db分別是 a，b的局部基，若a≤b，則 Da?↓Db.

證明 因為 a≤b，由局部基定義，a=∨Da≤∨Db=b，而任意 a1∈Da，a1≤∨Da≤∨Db， 所以 存 在b1∈Db，使得 a1≤↓b1，故 Da?↓Db.

命題 1.6 設 L為偽相容連續 Domain，a∈L，且 D?↓a,則 D是 a的局部基當且僅當?c≤a，?d∈D使得 c≤d.

證明 必要性：?c≤a，由 L為偽相容連續Domain知存在 x，c≤x≤a，又 D是 a的局部基，所以 a∨D，c≤∨D，從而存在 d∈D，使得 c≤d.

充分性 先證 D相容定向，因為 D?↓a，只需證 D定向，而?x1,x2∈D,x1≤a,x2≤a,由條件?d∈D，使得 x1≤d,x2≤d，故 D定向，又 a=∨↓a≤∨D≤a，所以 D是 a的局部基.

命題 1.7 設 L為偽相容連續 Domain，a∈L，且 D?↓a,則 D是 a的局部基當且僅當 D是相容定向集且?x∈L，若 a x，則?d∈D使得 d x.

證明 必要性：顯然 D是相容定向集，又 D是局部基，所以 a=∨D，若 a x，即 a=∨D x，則?d∈D使得 d x，否則矛盾.

充分性 證明 a=∨D即可，由 D?↓a則∨D≤a.若 a ∨D，則由條件，?d∈D，使得 d ∨D，矛盾.故 a=∨D，所以 D是 a的局部基.

定義 1.6 設 L為相容 Domain，a∈L，D?L是相容定向集，則稱D是a的一個相容定向上確界集，若 a=∨D且?d∈D,d≤a.

命 題 1.8 設 L為偽相容連續 Domai，a∈L，D?L是相容定向集，則：

ⅰ）D是a的一個相容定向上確界集當且僅當a=∨D且 D?↓a；

ⅱ）若 a存在相容定向上確界集，則最大集為↓a.

證明 只需證ⅰ），設 D是 a的一個相容定向上確界集，則 a=∨D顯然；對于任意的相容定向上確界集 D*，L為偽相容連續 Domain，∨D*=a=∨↓a，任意 d∈D*，d≤a，d∈↓D*，D*?↓a.

命題 1.9 設 L為相容 Domai，則 a為偽相容連續 Domain當且僅當任意 a∈L，a有局部基.

必要性 L為偽相容連續 Domain，任意 a∈L，存在相容定向集 D，a=∨D，a=∨↓a=∨D，由命題1.8知 D?↓a，得證.

充分性 任意 a∈L，a有局部基 D，a=∨D，D?↓a，a≤∨↓a，又∨↓a≤a，得證.

2 結論

本文在引入了相容定向集的容元，容集，偽相容連續 Domain與偽相容連續 Domain的局部基的基礎上，對其相關性質與結論進行了探討，而偽相容連續 Domain還具有很多的特征與性質，包括偽相容連續 Domain之間的映射性質，以后將作進一步研究與探討.

〔1〕李嬌，徐曉泉.相容 連續 Domain 的序同 態擴張[J]. 江西師范大學學報 （自然科學版），2011,35（4）：373-374.

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〔3〕Abramsky S,JungA.Domain theory[M].New York:Oxford University Press,1994.

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〔6〕伍秀華，李慶國.半連續格的刻畫和映射[J].數學研究與評論，2007,27（3）：655-658.

O153.1

A

1673-260X（2014）08-0005-02

安徽省自然科學研究項目（KJ2012Z358）；國家自然科學基金項目（11171156）