一類曲邊梯形面積和形心坐標公式的推證與應(yīng)用

張彥斌， 王慧萍， 楊俊森， 李一帆

（1.河南科技大學(xué) 機電工程學(xué)院； 2.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

一類曲邊梯形面積和形心坐標公式的推證與應(yīng)用

張彥斌1， 王慧萍2， 楊俊森2， 李一帆2

（1.河南科技大學(xué) 機電工程學(xué)院； 2.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

材料力學(xué)課程中，利用圖形互乘法計算當彎矩圖為曲邊梯形情況下梁某截面位置處的變形時，分析計算過程繁瑣，學(xué)生不易掌握.本文基于積分原理和靜矩的性質(zhì)推導(dǎo)出一種求解曲邊梯形面積和形心坐標的公式，并給出兩個計算實例.算例表明所提出的計算公式簡便、有效，具有一定理論意義和實用價值.

圖形互乘法；面積；形心

材料力學(xué)是一門理論性較強的技術(shù)基礎(chǔ)課，是機械、車輛、土木等本科專業(yè)必修的學(xué)科基礎(chǔ)主干課程之一[1-2].由于該課程中公式多，知識點分散，相當一部分學(xué)生感覺學(xué)起來比較吃力.利用能量法求桿件變形就是材料力學(xué)課程的重點和難點之一.而其中圖形互乘法是莫爾積分法在諸如梁、剛架等線彈性結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用.圖形互乘法之所以比積分法簡便省力，其關(guān)鍵在于圖形的面積與形心位置已經(jīng)預(yù)先算出，可以直接使用.文獻[3]只給出了二次拋物線與直線段圍成的曲邊三角形的面積與形心位置，而且限定曲線頂點的切線必須平行于基線，而在實際計算中常遇到的是二次拋物線與直線圍成的曲邊梯形，不能直接使用已有的公式，目前的作法是先將彎矩圖分解為若干簡單載荷作用下的彎矩圖，簡單載荷作用下的內(nèi)力圖的面積和形心位置可在文獻[3]中查到，然后再使用疊加原理分別進行圖乘.缺點在于一是使用者須具備較強的圖形分解能力,二是計算過程繁瑣，結(jié)果易出錯.

本文根據(jù)積分原理和靜矩的性質(zhì)推導(dǎo)出了二次拋物線與直線段圍成的梯形的面積與形心坐標計算公式，且計算公式簡單、意義清晰.圖形互乘時不需要圖形分解,可以直接調(diào)用公式計算，過程簡便，且結(jié)果不易出錯.

1 公式推證

圖1 曲邊梯形圖

圖 1是由介于二次拋物線 y=ax2+bx+c與基線 Ox所圍成的曲邊梯形 O1BA2A1，假設(shè)二次拋物線左、右端點分別是A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，O1B距離是 h，其中點 C的坐標為(x0,y0)，該圖的工程背景取自簡支梁某一區(qū)間典型的彎矩圖.O1B邊中點的縱坐標，其中當拋物線凸向指向彎矩正坐標方向時，公式第二項前取正號，反之則取負號.現(xiàn)欲推證曲邊梯形的面積 ω 和形心 C相對于左端點 O1的坐標 d1（或相對與右端點 B的左邊 d2）.面積可由積分求出：

欲求 d1，先連接點 A1A2（虛線），則曲邊梯形被分成曲邊弓形與直線梯形 O1BA2A1兩部分，設(shè)前者的面積為 ω1，而后者的面積為 ω2，顯然

由圖 1中的幾何關(guān)系知，ω、ω1和 ω2間的關(guān)系為：而根據(jù)文獻[4]可知，面積為 ω1的曲邊弓形形心的橫坐標為，再利用組合圖形靜矩公式有

將已求得的面積 ω、ω1與 ω2代入式(3)并化簡整理得：

式（4）和（5）確定了曲邊梯形的形心位置.

2 算例分析

算例 1 已知抗彎剛度 EI為常數(shù)的簡支梁承受荷載如圖 2a所示，試求：截面 B的轉(zhuǎn)角.

解 先求出 A、B兩點處的支反力，并畫出梁的原有荷載彎矩圖 Mp(圖 2b)，以及在 B點處加單位力偶后的單位載荷彎矩圖 M(圖 2c).并在 CB、AC兩段進行圖乘運算.

圖2 算例1圖

由前面導(dǎo)出的公式可方便地求得CB段荷載彎矩圖中點縱坐標 y0，面積 ω 和形心 C1相對左端點的坐標 d1，進而得到該部分原載荷圖形的形心 C1所對應(yīng)的單位載荷彎矩值，即

AC段的原載荷彎矩圖為一斜直線（見圖 2b），可按文獻[3]提出的方法再分段，則兩部分的面積和形心坐標分別為

將所得到的參數(shù)代入得

由于計算結(jié)果顯示 B截面處轉(zhuǎn)角 θB為負值，這說明其逆時針轉(zhuǎn)動.

算例 2 已知抗彎剛度 EI為常數(shù)的簡支梁承受荷載如圖 3a所示.求：截面 B的轉(zhuǎn)角.

解 首先求出點 A、C處的約束反力，然后作出原載荷彎矩圖 Mp（圖 3b）和在截面 B施加單位力偶的彎矩圖 M（圖3c）.將在 AB、BC兩段進行圖乘運算.則有

圖3 算例2圖

式中 ω1、ω2分別為 AB、BC段原載荷彎矩圖的面積，而MC1、MC2為其原載荷圖形心對應(yīng)的單位載荷值.容易求得

由本文導(dǎo)出的公式可方便地求得BC段荷載彎矩圖中點縱坐標 y0，面積 ω2和形心相對于右端點 C點的坐標 d2，從而可得到該部分原載荷圖形的形心所對應(yīng)的單位載荷彎矩值 MC2，即

將以上所有參數(shù)代入轉(zhuǎn)角 θB的計算公式得

由于計算結(jié)果顯示 B截面處轉(zhuǎn)角 θB為正值，這說明其順時針轉(zhuǎn)動.

3 結(jié)束語

圖乘法是材料力學(xué)課程中用于求解受載構(gòu)件變形的一種重要方法.如何確定復(fù)雜問題彎曲圖的形心位置是解決此類問題的關(guān)鍵，本文推導(dǎo)出了一種簡單實用的公式.算例表明，應(yīng)用所推導(dǎo)的公式進行構(gòu)件變形計算，簡化了運算程序，降低了分析難度，不失為一種有效的算法.

〔1〕王放,陳志謙.《材料力學(xué)》課程教學(xué)改革與實踐[J].西南師范大學(xué)學(xué)報,2011,36(2):206-210.

〔2〕劉桂榮,韓立新.“材料力學(xué)”教學(xué)方法探索[J].中國電力教育,2011（25）:114-119.

〔3〕單建,呂令毅.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2011.

〔4〕劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2011.

O172.2

A

1673-260X（2014）08-0009-02

河南科技大學(xué)教學(xué)改革計劃重點資助項目(2009Z-028)