一道導數試題的解法探究

冀柯維

(河北省衡水第一中學 053000)

函數與導數是高中數學中極為重要的內容，是高考考查的重點內容.由于函數與導數可以與三角函數、不等式、數列等知識融合考查，所以其解題方法也多種多樣.下面通過一道典型試題探究一下這類問題的解法.

(1)用a表示b；

1.試題分析

這是一道“高研值”的好題，其注重知識方法的基礎性又兼顧問題的綜合性，充分展現了問題的檢測與選拔功能.第(1)問考查導數的幾何意義，屬于常規問題；第(2)問的(ⅰ)問涉及恒成立問題，求解過程相對復雜，有一定的難度；第(2)問的(ⅱ)問考查不等式的證明，它將三角函數、不等式、導數等知識融于一題，入手雖較易，但思維含量較高，不易得證.

2.解法探究

(2)(ⅰ)解法一：導數方法求最值，分類討論有標準

處理不等式的恒成立問題時，通常情況下可轉化為函在給定區間上的最值問題去分析，即若f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a；若f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a.利用導數求函數的最值，一般按以下步驟進行：先求導數，并求得導數的零點，再以導數的零點為界劃分定義域為若干區間，并判斷導數在每一區間上的符號，進而得到函數的單調區間與極值、最值.在求導數的零點時，在劃分定義域時，在判斷導數符號時，在確定最值時，往往需結合參數的取值范圍分類討論.把握好分類討論的標準，是正確求解的關鍵所在.

綜上，實數a的取值范圍為[1,+).

解法二：參變分離構函數，分拆放縮求范圍

處理不等式的恒成立問題時，應優先考慮參變分離法.這樣做的優點是：把含參的函數問題轉化為不含參數的函數問題，避免了分類討論.實施參變分離后出現新函數，習慣思維定式是直接對函數求導找最值，經演算發現導數的零點不可求，此時“再次求導”為問題的破解提供有力的支撐，嘗試后仍然不可解，陷入慣性思維的“怪圈”不能自拔，似乎到了“山窮水盡”的境地，此時，分拆函數放縮往往能打開“絕處逢生”的神奇通道.放縮是導數問題中轉化的有效方法，可以避免不必要的繁瑣過程，又可快速解決問題而不失嚴謹性.關鍵在于對式子結構的分析和對常用不等式的熟悉，如：lnx≤x-1，ex≥x+1等等，不再贅述.不過應用不等式時，要注意變量的范圍和不等式的方向，所以要拆分變形出合適的形式，方便進行合理的放縮以及后續的運算.

綜上，實數a的取值范圍為[1,+).

解法三：聯想特殊與一般，先驗再證破疑難

特殊化與一般化思維貫穿于整個解題過程之中，就一般化而言，應努力去引出一般的結論，揭示其內在的依據，并作出可能的推廣.而特殊化思想則可用于解決一些抽象、概括性極高的問題，若直接發現或論證感到困難時，可以先試探它的特殊、局部情況的特性，找到解題的突破口，從中發現規律并順利解題.由解法一可以看出由于參數a范圍的不確定性，使得解題過程冗長.解題的關鍵是按照題目設計的問題步步深入，通過特例賦值分析，悟出由特殊到一般的思維方法，探索出參數a的大致范圍，避免了繁瑣的分類討論，問題也就迎刃而解了.

g(x)≤-1恒成立，即g(1)=-a-(a-1)≤-1?a≥1.

則g(x)max=g(1)=1-2a≤-1，符合題意.

綜上，實數a的取值范圍為[1,+).

不等式的證明是高中數學的重要內容，也是高中數學的一個難點，加之題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，備受命題者青睞.比較法是不等式證明的最基本方法，包括作差法和作商法，綜合法與分析法的應用反映了對已知條件和所學知識的駕馭能力.

由(ⅰ)知a≥1，令sinθ=t∈[0,1).

參考文獻：

[1]周麗娟.一道導數試題的解法探究[J].中學數學研究,2014(21).