用斜交坐標軸畫二維對稱時空圖

黨興菊，張 瑤，吳文良

（昭通學院物理與電子信息工程學院，云南昭通 657000）

傳統的二維時空圖習慣上將基本坐標系的空間坐標軸和時間坐標軸畫得相互垂直，如文〔1〕-〔7〕都是如此。但在這樣的時空圖中其他慣性坐標系的空間軸和時間軸不可能再畫得垂直，并且任意兩個不同的坐標系的坐標軸上的單位長度表示的物理量也不相等，即傳統的時空圖畫法并不對稱，或許正是這一原因，時空圖在狹義相對論學習中的重要性并未引起足夠的重視，如文獻〔8〕-〔11〕等普通物理或大學物理教材在介紹狹義相對論時都未介紹時空圖。針對這種情況，2008年黃獻民先生給出了一個在形式上完全對稱的時空圖，并建議讀者在讀懂了相對論的時空幾何的數理邏輯后，在討論問題時采用對稱結構的時空圖，“因為這種形式更能體現相對論時空下的時空相對性和對稱性”〔12〕。

遺憾的是，文〔12〕只給出了一個實例，而未給出這種對稱形式時空圖在普遍情形下的具體作圖法，對“兩個參考系的時空坐標的標度有相同的幾何長度”的條件也未作討論，學習者在應用中易出現錯誤和困惑。目前我們尚未發現對對稱形式結構的時空圖進行討論的其他研究，也尚未見到另外有研究者運用過對稱形式的時空圖。為了能夠在普通物理課程中就能較好地闡述狹義相對論，本文給出文〔12〕中所言對稱形式時空圖的一般作圖法并對其展開了討論。

1 對稱形式的時空圖的一般畫法

文〔1〕所稱對稱形式的時空圖，實質上是用斜交坐標軸來畫時空圖。盡管從理論上在閔氏空間中我們認為時間坐標與空間坐標是正交的，但我們在畫時空圖時，畫出來的時空坐標軸的夾角一般情況下不再是直角。應注意不能把這兩件事混為一談，在二維時空圖中用斜交坐標軸來畫圖，并不改變時空坐標的正交性。

用斜交坐標軸畫二維時空圖的具體做法是：在平面上用兩條單位長度相同且以2α角相交于原點的數軸分別作為空間坐標軸x 和時間坐標軸t。通常使空間坐標軸沿水平方向并規定正向指向右方，且使 α ∈(0 ，π 2 )，例如可取 α=π 3。為了使兩條數軸上單位長度代表的物理量量綱相同，根據光速不變原理，將時間t 乘以作為物理學常量的光速c，即讓時間軸表示的量不是t 而是ct。這樣兩條軸上的單位長度表示的物理量的量綱就相同了。 例如，若時間軸上的單位長度表示的時間間隔是一年，則空間軸上同樣的單位長度表示的空間距離為1光年。

接著在時空圖上確定事件的坐標。兩條數軸的公共原點表示某時刻T發生在空間某條直線x上某點O 的事件P，將該事件的坐標規定為（0，0）；時間軸上的點表示不同時刻在O點發生的事件，時間軸亦即靜止在O 點的觀測者S 的世界線；空間軸上的點表示觀測者S所認為的在同一時刻T發生在直線x上不同位置的事件。兩條數軸所在的平面上的點表示各個時刻發生在直線x上的事件。其中平行于時間軸的直線上的不同的點表示同一位置不同時刻發生的事件，而平行于空間軸的直線上的點則表示同一時刻發生在直線x上不同位置的事件。所有這些都是相對于給定的觀測者S而言的。這樣，為了確定某一事件的坐標，只需過該點作兩條數軸的平行線分別交另一條數軸于一點，由兩個交點各自在數軸上的讀數即確定了該事件的時空坐標。

現在我們考慮沿著直線x傳播且在時刻T通過坐標原點O 的光。根據前述作圖法，無論α如何取值，這束光在時空圖上都用兩條數軸所構成角的兩條角平分線之一表示，而另一條平分線則表示沿相反方向傳播的光。我們把坐標軸的這兩條角平分線稱為光錐。α正是兩條坐標軸與某條光錐所成的夾角。

現在考慮在時刻T與S重合于O且相對于S沿x軸正向以速度v 作勻速直線運動的觀測者S′，顯然S′的世界線為過原點的一條有向直線，該直線與時間軸ct軸的夾角β取決于v和α。見圖1。

在圖1 中，設 A 點在 S 系所表示的時刻為 t，則OA=ct，AB=vt。由于 OA 和 AB 上單位長度相同，對△OAB應用正弦定理，有

特別地，當v=c時，

而當 v =-c 時 β=arccot( )-csc 2α+cot 2α =知光錐確實為兩條數軸的角平分線。

顯然，有向直線OB即為S′的世界線，亦即參照系S′的時間軸ct′。根據光速不變原理，空間軸x′必須使得S 系的光錐同樣成為S′系的光錐，即它必須成為ct′與x′兩條軸的角平分線。于是x′軸就是ct′軸關于正向光錐的鏡像對稱。需要注意的是，OB線上的單位長度與OA線上的單位長度并不一定代表相同的時間間隔，即OA 線上代表1 a 的1 cm 在OB線上并不一定同樣代表著1 a。

那么，需要滿足什么樣的條件，OB線上的單位長度才與OA線上的單位長度表示相同的時間間隔呢?根據洛倫茲變換，如果OB線上的單位長度與OA線上的單位長度表示相同的時間間隔，則有OA=γOB。其中而由前述:于是

另一方面，顯然由圖1中應用正弦定理可知OA/OB=sin(2α-β)/sin(π-2α)，于是應有

即S′系的時間軸ct′須與S系的空間軸x軸垂直。與此相應，S′系的空間軸x′軸則須與S 系的時間軸ct垂直。這樣畫出的一對參照系可稱之為共軛參照系，其時空圖為對稱時空圖，其特點是這兩對坐標軸上的單位長度所表示的物理量相等。圖1給出的正是這樣的一對共軛坐標系，文獻〔1〕中所給出的對稱時空圖也同樣是一對共軛參照系。據此我們得到對稱時空圖的具體作圖法如下。

作沿水平方向指向右方的數軸為S系的空間坐標軸x，作沿豎直方向指向上方的數軸為S′系的時間坐標軸ct′，兩條數軸的公共原點代表S和S′重合的位置和時間。根據S′系相對于S 的速度（沿x 軸方向）v確定S系的時間坐標軸ct′，使ct軸與ct′軸的夾角β＝arcsin（v/c），當v＞0時ct軸在ct′軸的左側，否則在右側。ct軸與x軸的兩條角平分線為所有慣性參照系的共同光錐，分別代表在0 時刻經過坐標軸原點的沿x軸正向和負向傳播的光。根據光錐確定S′系的空間坐標軸x′。這樣畫出的時空圖即為對稱時空圖，其特征是4 條坐標軸上的相同長度都代表著相同的時空距離。

2 不同慣性參照系坐標軸上表示單位時空間隔的單位長度

由以上討論可見，選定了某一參考系S后，對某一相對于S 以速度v0作勻速直線運動的慣性系S′，都可畫成與S 共軛的坐標系，而其他的慣性系如S″則不可能再與它們共軛，即S 坐標系和S″坐標系的坐標軸上的單位長度并不相同?，F在我們討論：不同參照系中同樣的一個空間尺度比如1 光年，如果在x 軸上用1 cm 表示，則在x″軸上需要要用多少厘米表示。假設需要用y cm 表示，則y 與S″坐標系相對于S 系的速度v 構成函數關系，且這一函數關系應該使得當v等于0或者v0時，y都等于1。

計算方法如下:如圖2，設ct″軸與ct軸成β角，在ct 軸上取 OE=1 cm，作 EC 平行于光錐交ct″軸于 C，再作CD 平行于另一條光錐交ct 軸于D，設線段OC表示的時間是S″系中的k a，于是OD=k2cm。作CF平行于 x 軸交 ct 軸于 F，則 EF=ED/2=（k2-1）cm/2。由于△ECD 為直角三角形，而CF 為其斜邊上的中線，故 CF=（k2-1）cm/2。但 CF=（v/c）OF=（v/c）（OE+EF）=（v/c）（k2+1）cm/2。所以（v/c）（k2+1）=k2-1。從而可得這正是光的多普勒效應的計算公式。

由作圖可知，

由于OC 表示的時間是S″系中的k a，而S″系中的 1 a 用 ct″軸上的 y cm 表示，所以 OC=ky cm。故

圖2 不同坐標系中的單位長度

從而

顯然，v=0時，y=1。當v=v0時，-cos 2α，

可見公式

滿足前述要求。

下面我們討論y 的極值。顯然當α →β 即v→c時，y→∞沒有極大值；而當即時y 有極小值，此時 v/c=tan(α-π/4)。圖3 給出了當時單位點依賴于β的軌跡。

圖3 單位點的軌跡

這樣我們就對二維時空圖有了一個較為清晰和完備的認識，并且明白了在僅討論一對相互作勻速直線運動的物體的運動時，應按共軛坐標系將時空圖畫成對稱的形式，以便直接利用幾何知識求出相關物理量。

3 用對稱時空圖導出相對論速度變換公式

作為應用，下面我們用對稱時空圖導出相對論速度變換公式。

如圖4作對稱時空圖。設S′系相對于S以速度v 沿x 軸方向作勻速直線運動，S′相對于S 以速度u沿x軸方向作勻速直線運動，S″相對于S′的速度為u′，直線OC為S″的世界線。則有：

注意 AB、AC 平行于 x 軸，而 CD 平行于 x′軸，因而垂直于ct 軸。 由 ∠EDO 和 ∠BDC 為對頂角，知RtΔOED ～ RtΔCBD ，故

圖4 速度變換公式的導出

此即一維相對論速度變換公式。

4 結語

傳統的二維時空圖習慣上使基本坐標系的時空坐標軸相互垂直，但其他慣性坐標系的時空軸不可能再畫得垂直，并且對不同坐標系，同類坐標軸上的相同長度表示的物理量并不相等。本文根據幾何知識和狹義相對論的基本原理提出：對稱時空圖中的兩套坐標系，必須讓一個坐標系的空間軸垂直于另一個坐標系的時間軸，而讓時間軸垂直于另一個坐標系的空間軸。 在這樣的時空圖中盡管時空坐標軸是斜交的，但兩個對稱的坐標系中軸上相同長度代表著相同大小的物理量。此外，存在著這樣一個坐標系，在它的坐標軸上表示單位物理量的長度最短。利用對稱時空圖，可以更方便地直接借助幾何知識求解某些問題，以加深對狹義相對論的理解。

〔1〕王正行.在解題中學習近代物理〔M〕.北京:北京大學出版社，2004.

〔2〕REESE R L. University Physics〔M〕.北京:機械工業出版社，2003.

〔3〕DAVID B. The Special Theory of Relativity〔M〕. Redwood City:Addison Wesley Publishing Company，1965.

〔4〕郭啟連，齊魯祥.時空圖對時鐘佯謬詮釋的應用〔J〕.德州學院學報，2004，20（4）:25-27.

〔5〕梁燦彬，曹周鍵.《從零學相對論》連載④〔J〕.大學物理，2012，31（10）：58-62.

〔6〕呂嫣，段家興，圖雅. 對雙生子佯謬問題的幾種解釋〔J〕. 沈陽師范大學學報:自然科學版，2011，29（3）:384-386.

〔7〕楊志萬.閔氏幾何法解析“雙生子佯謬”及結果討論〔J〕.大學物理，2012，31（9）：27-29.

〔8〕梁紹榮，劉昌年，盛正華. 普通物理學（第一分冊力學）〔M〕.3版.北京：高等教育出版社，2005.

〔9〕馬文蔚，解希順，周雨青.物理學:下冊〔M〕.5版.北京：高等教育出版社，2006.

〔10〕朱峰.大學物理〔M〕.2版.北京：清華大學出版社，2008.

〔11〕程守洙，江之永.普通物理學:上冊〔M〕.6版.北京：高等教育出版社，2006.

〔12〕黃獻民.狹義相對論與時空圖〔M〕.北京:國防工業出版社，2008.