利用可加性求一類獨立隨機變量和的分布

王凡彬

（1.內江師范學院數學與信息科學學院，四川內江 641100；2.四川省高等學校數值仿真重點實驗室，四川內江 641100）

設X和Y是兩個獨立的一維隨機變量，如何求二者之和Z=X+Y的分布？目前有一些方法，也有較多討論，得到了一些可應用的結果〔1-10〕。在連續隨機變量的情形，常用的方法之一是應用卷積公式：

或

其中PZ(z),PX(x) ,PY(y)分別是Z, X, Y的密度函數。

不過，公式（1）、（2）在實際應用時，常常因為積分的繁難，而導致結果不易得到，或造成錯誤。

但是，我們還可利用某些隨機變量具有的可加性，即“同一類分布的獨立隨機變量的分布仍屬于此分布”，來求得Z=X+Y的分布。像正態分布，二項分布，泊松分布，Γ分布等，就具有可加性。在一些實際問題中，通過仔細觀察，如果發現其隨機變量是具有可加性的，就可應用可加性來解決問題，常可收到事半功倍的效果。

1 主要結果

下面我們主要通過一例來說明上述觀點。

例 某種商品一周的需求量是一個隨機變量，其密度函數為

設各周的需求量是相互獨立的，試求①兩周需求量的密度函數P2(x)；②三周需求量的密度函數P3(x)。

該例如果用卷積公式（1）或（2）是可以解決的，但是比較繁難。例如用公式（1），設Z2為兩周的需求量，X1、X2分別是第一周、第二周的需求量，則Z2=X1+X2，

我們注意到（4）式只需在P1(x-y)P1(y)≠0的區域積分即可。但要滿足這個條件，須x-y＞0，且y＞0，從而x＞y＞0，故

即

問題①得到解決。

再設Z3為三周的需求量，X3為第三周的需求量，則Z3=Z2+X3，

與前面類似，經過討論，須在x＞y＞0時，P1(x-y)P2(y)≠0，故

即

至此，問題②得到解決。

從上述過程來看，雖然解決了兩個問題，但積分的過程有點繁難；且如果問題的周數換成較大的數字，如求100周的需求量的密度函數，或更一般的，求n周的需求量的密度函數，那用卷積公式（1）或（2）就很困難了，或許只有理論上的意義。

但是，如果利用可加性，本題或相類似的一些問題可能就變得容易了。考察Γ分布，其密度函數

仔細觀察（3）式，發現實際一周的需求量X是服從參數為α=2,λ=1的Γ分布的，即X～Ga(2,1)。而我們知道，Γ分布是滿足可加性的。即設隨機變量X1，X2相互獨立，X1～Ga(α1,λ), X2～Ga(α2,λ)，則

再看本例，設第i周的需求量為Xi，則Xi～Ga(2,1), i=1,2,…，且諸Xi間相互獨立。問題①就是求Z2=X1+X2的密度函數，由（9），Z2～Ga(2+2,1)=Ga(4,1)，從而

而問題②就是求Z3=X1+X2+X3的密度函數。由（9），Z3～Ga(2+2+2,1)=Ga(6,1)，從而

這樣，由Γ分布的可加性，輕松解決了問題①和②。

2 結果的推廣

實際上，本例的利用可加性的方法還可以推廣。例如前面提到的，如要求前100周的需求量Z100的密度函數P100(x)，則Z100～Ga(100×2,1)=Ga(200,1)，

更一般的，前n周的需求量Zn～Ga(2n,1)，其密度函數Pn(x)為

這都可以輕松得到結果，而上述結果用卷積公式操作起來相當麻煩，幾乎是不可能完成的。

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