磁浮系統中免疫專家PID控制器的改進

宋榮榮 陳滋利

0 引 言

磁浮系統本身具有非線性和不穩定性特點，這增加了系統的控制難度和復雜度，系統容易出現安全隱患。尤其是當電磁鐵垂直向上跟蹤階躍信號時，系統的超調量過大而撞擊甚至吸死軌道，造成磁浮列車安全方面的嚴重后果[1]。目前的控制算法大多是采用以懸浮間隙作為位置信號并結合電磁鐵的加速度和線圈的電流等信號進行傳統的 PID控制[2,3]。然而，由于控制系統和參數的固定，傳統的PID控制器無法完全兼顧系統的靜態和動態性能，即無法獲得最佳的控制效果。目前，很多國內外專家學者采用復合PID控制器提高磁浮系統的控制性能[4-10]。

在眾多的控制器中，專家PID控制器是近年來發展起來的一種新型控制器[4-6]。其原理是不受被控系統精確模型的影響，而根據受控對象的特點和控制規律的效果，以專家的經驗來制定控制規則在線調整PID參數，形成專家PID控制器。文獻[4]結合了常規PID控制器和專家控制器的優點，在保留常規PID精度高的基礎上，可以實現小超調或無超調控制器，并且，基于專家經驗使控制器系統具有接近于人類操作經驗的控制性能；文獻[5]在慣性、時滯、數學模型不確定的情況下，基于PID閉環系統的階躍響應曲線分析受控系統穩定的內在原因，制定了專家模糊控制規則，減少了超調量，縮短了延遲時間，從而提高了系統的控制性能；文獻[6]結合了嵌入式系統高效、實時的控制性能和專家-模糊自適應控制器的快、穩、準的控制效果，提出了一種嵌入式專家-模糊PID控制器，驗證了該控制器與單一的專家PID控制器和模糊PID控制器相比具有適用性較好、超調量較小、穩定速度較快的優點。但是，文獻中并未提及如何獲得專家 PID控制器中的參數和如何正確分辨專家規則中的不同誤差變化情況。這將是本文要解決的主要問題。現將專家PID控制器、免疫PID控制器和粒子群優化算法結合起來，揚長避短，設計一種復合的PID控制器。這種復合型控制器既具有專家控制器的智能性，免疫控制器的適應性，PSO算法的優化速度快等特點，又具有PID控制器精度高的特點。因此，該控制器對磁浮系統具有良好的控制效果，這也是近年來十分熱門的研究課題[7-10]。

本文主要研究中低速磁浮系統的控制器改進問題。先建立磁浮系統的數學模型，然后利用分段的思想，設計基于PSO算法的分段免疫專家-PID復合型控制器。其主要過程是以誤差和誤差變化率作為輸入，利用免疫PID控制器得到的系統階躍響應曲線，根據誤差變化情況劃分為五個不同階段，利用專家控制器和PSO算法對不同階段的PID參數進行自調整。最后，基于 Matlab軟件的仿真結果表明該復合控制器與單一的專家 PID控制器相比對階躍響應具有更好的跟蹤效果。

1 磁浮系統的數學模型

假設電磁鐵不僅在垂直方向運動，還沿軌道以速度V運行，磁浮系統結構如圖1所示。

圖1 磁浮系統的結構Fig.1 Structure of the magnetic suspension system

圖1 中，絕對氣隙 z ( t)為磁極表面與絕對參考平面的距離； h ( t)為軌道面與絕對參考平面的距離；相對氣隙 c ( t)為磁極表面與軌道面的氣隙。加速度計所測得的輸出為加速度˙z˙(t)；氣隙傳感器測得的輸出為相對氣隙 c ( t)； i( t )為電流互感器測得的控制線圈電流； u ( t)為繞組回路的電壓。

設N為電磁鐵線圈的匝數，A為磁極面積，R為線圈的電阻，μ0為空氣磁導率，mg為電磁鐵重力，F( i, c)為懸浮電磁力， fd(t)為外界干擾力。

在分析單電磁鐵懸浮系統的動力學模型時，假設[9]：

①忽略漏磁的影響；

②忽略磁鐵芯和導軌中的磁阻，磁勢均勻降落在氣隙 c ( t)上。

③電磁鐵僅有垂直方向上的移動，其他方向受限無運動。

根據電磁學和動力學理論，得到基于絕對參考平面的單電磁鐵動態模型方程：

式中，平衡點的邊界條件為：

在平衡點(i0, c0)附近進行線性化處理，可以得到狀態方程：

令Δu( t)和fd(t)均為零，通過拉氏變換可分別得到相當氣隙和絕對氣隙與軌道變化的開環傳遞函數。

磁浮系統的開環傳遞函數為：

由系統的極點判定知[12]，這是一個三階不穩定系統，為使電磁鐵穩定懸浮必須采取反饋控制。

2 基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器的設計

現將專家PID控制器、免疫PID控制器和PSO優化算法結合起來，揚長避短，設計一種復合PID控制器。這種EI-PID-PSO復合型控制器既具有專家控制器的智能性，免疫控制器的適應性，PSO算法優化速度快等的特點，又具有PID控制器精度高的特點，其控制器結構圖如圖2所示。

圖2 PIEPID-PSO控制器結構Fig.2 The controller structure of PIEPID-PSO

2.1 分段免疫PID控制器設計

免疫 PID控制器的原理是借鑒生物系統的免疫機理而設計出的一種非線性控制器。生物體的免疫系統對外界侵入的抗原產生抗體，通過吞噬作用或特殊酶的作用而毀壞抗原[13]。

基于免疫原理提出如下假設：若第k代的抗原數量為ε(k)，則輔助細胞TH的數量為TH(k)=k1ε（k），k1為正的激勵因子。將抑制細胞 TS的數量作為反饋控制，即 TS( k ) = k2f( S( k ) ,Δ S ( k ))，其中 k2為正的抑制因子， f(·)是一個非線性函數，表示抑制細胞的抑制量，輸出范圍為[0,1]， S ( k ) = TH(k ) ? TS( k )是免疫反饋控制器，表示B細胞的總刺激。

反饋控制器規律如式（7）所示：

式中， ()e k為誤差e的第k個值； ()u k為第k次控制器的輸出， ( 1)u k? 為第 1k?次控制器的輸出；kp、ki和kd分別為 PID控制器的比例、積分和微分系數；，K為控制反應速度，η 為控制穩定效果，f(·)為一個選定的非線性函數，表示細胞抑制刺激能力的大小。

2.2 專家PID控制器設計

令 ()e k表示離散化的當前采樣時刻的誤差值，( 1)e k? 、( 2)e k? 分別表示前一個和前兩個采樣時刻的誤差，則有

根據誤差及誤差變化，令 M1，M2為設定的誤差界限，M1＞M2，可設計專家規則如下：

1）當e( k)＞M1時，即誤差變化很大。此時無論誤差變化趨勢怎樣，控制器都按最大(或最小)輸出，以達到迅速調整誤差，使誤差絕對值以最大速度減少。

2）當 e( k)Δ e( k)≥ 0時，即誤差朝增大方向變化或誤差沒變化。當e( k)＞M2時，即誤差較大，此時，控制器可實施較強的控制作用，以達到扭轉誤差朝減小方向變化，并迅速減小誤差的絕對值，控制器輸出為：

式中， k1為增益放大系數， k1＞ 1 。反之，當e( k ) ＜M2時，即盡管誤差朝增大方向變化，但誤差本身并不很大，此時，控制器可實施一般的控制作用，只要扭轉誤差的變化趨勢，使誤差朝減少方向變化即可，其控制器輸出為：

3）當 e( k)Δ e( k) ＞ 0，或者e( k)=0時，即誤差朝減少的方向變化或已經達到平衡狀態。此時，控制器可保持輸出不變。

4）當 e( k)Δ e( k) ＜ 0時，即誤差處于極值狀態。當e( k)≥M2時，控制器可實施較強的控制作用：

5） 當e( k)＜δ時，說明誤差很小，此時加入積分，減少穩態誤差。其中，δ為任意小的正實數。

《教育信息化2.0行動計劃》提出,2022年基本實現“三全兩高一大”的發展目標。其中，“一大”指建成“互聯網+教育”大平臺,推動從教育專用資源向教育大資源轉變。教育信息化從1.0時代進入2.0時代[1]。教育信息化2.0將更注重經濟地從廣泛可獲取的、大容量的、不同結構和類型的數據中獲取教育價值。其突出優勢就是分析事物注重“量化證據”，不僅僅揭示因果關系，而且揭示相關關系。同時，數據也是實現“人本”、“生態”、“智能”三要素協同發展的前提[2]。隨著智能手機、平板等設備的興起，移動學習愈發得到研究者的關注和重視。

2.3 基于PSO算法的PID控制器參數整定

上述免疫 PID控制器實際上是一個非線性的 P控制器，它可以在線整定PID控制器的參數，但是，由于存在非線性項，解析參數的值比較困難，因此需要利用優化方法求出參數的值。目前的尋優方法很多，例如單純形法、專家整定法和遺傳算法等。雖然這些方法都具有良好的尋優特性，但是，單純形法對初值比較敏感，容易陷入局部最優解，造成全局尋優的失敗；專家整定法需要大量的專家經驗，整理經驗需要大量的計算時間；遺傳算法需要交叉、變異操作，因此，需要調整的參數過多。而粒子群 PSO算法保留了基于種群的全局搜索機制，更適合于全局優化，算法更簡單，更易于實現[15]。

假設種群P中的粒子數為S，每個粒子的位置矢量由PID控制器的三個控制參數組成，即粒子位置矢量的維 3D=。該種群用矩陣表示為：

具體步驟如下：

（1）初始化 設定PSO算法中涉及的各類參數:搜索空間的下限 Ld和上限 Ud，學習因子 c1和 c2，算法最大迭代次數 Tmax或收斂精度ξ，粒子速度范圍[vmin,vmax]；隨機初始化搜索點的位置 xi及其速度 vi，設當前位置為每個粒子的位置 pi，從個體極值找出全局極值，記錄該最好值的粒子序號q及其位置 pq。

（2）評價每一個粒子 設粒子i在t時刻的速度和位置為

為了獲取滿意的過渡過程動態特性和避免超調，采用了懲罰控制，即一旦產生超調，將超調量作為最優指標的一項，選擇適應度函數為:

式中，e( t) ＜ 0 ，w3為權值，且 w4＞＞w1。通常w1= 0 .999，w2= 0 .001， w3= 2 ,w4= 1 00。

計算粒子的適應值，如果好于該粒子當前的個體極值，則將 pi設置為該粒子的位置，且更新個體極值。如果某個粒子的個體極值好于當前的全局極值，則將pq設置為該粒子的位置，且更新全局極值及其序號q。

（3）粒子的狀態更新 粒子在 t + 1時刻的速度和位置分別為

式中，1≤i≤M，1≤ d ≤ D ，r1、r2為均勻分布在(0,1)區間的隨機數，w為慣性權重，其表達式為

它的大小決定了粒子對當前速度繼承的多少，選擇一個合適的w，有助于 PSO均衡它的探索能力與開發能力。

如果 vi＞vmax，則將vi設置為vmax；如果vi＜vmin，則將 vi設置為 vmin。

（4）檢驗是否符合結束條件 如果當前的迭代次數達到了預先設定的最大次數 Tmax或最終結果小于預定收斂精度ξ要求，則停止迭代，輸出最優解，否則轉到步驟（2）。

在這種控制方法中，PSO算法首先進行離線學習，然后再接入到控制系統中。基于PSO算法的PID參數優化整定算法關鍵問題是：如何解決參數的編碼及適應度函數的選擇。

根據上述優化過程，可以對不同誤差變化下求得預整定值： k′p， kI′， kD′，則不同階段的PID控制器參數為 kp= k ′p+Δkp， ki= ki′+Δki， kd= kd′ +Δkd。

3 Matlab仿真分析

計算機仿真軟件采用Matlab中的M函數進行仿真[16]，驗證PIEPID-PSO控制器的性能。采樣時間為1ms，采樣點為1000個。磁浮系統的參數、免疫PID控制器的參數和PSO算法的參數如表1、表2和表3所示：

表1 懸浮系統的參數Tab.1 Parameters of the maglev transportation system

表2 免疫控制器的參數Tab.2 Parameters of the immune controller

表3 PSO優化算法的參數Tab.3 Parameters of PSO scheme

將單一的免疫 PID控制器仿真的階躍響應曲線劃分為 5個誤差變化階段，利用 PSO算法設置PID控制器參數，將參數代入專家PID控制器進行輸出，對單一的免疫PID控制器和基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器的仿真效果進行比較。

根據誤差和誤差變化率的5種情況，對單一的免疫PID控制器后的階躍響應劃分為五個階段。分階段圖如圖3所示。

結合PID參數的性質、專家控制規則和PSO優化參數算法對系統實際情況作出以下分析：

圖3 單一免疫PID控制器的階躍響應曲線Fig.3 Step response of single immune PID controller

1）a~b段，即懸浮系統處于快速跟蹤信號狀態，此時誤差會很大，相當于系統處于e( k)＞M1階段，控制器按最大輸出，使誤差以最大速度減少，因此，為避免系統響應出現較大超調，應增加 kp，減少 kd，限制 ki。此時，利用PSO算法預整定PID參數。

2）b~c段，此時 e( k)Δ e( k)＜0，即誤差的絕對值朝減小的方向變化，系統較慢接近預定值，為抑制超調，應減小 kp，增大 ki和 kd。此時，利用PSO算法預整定PID參數。

3）c~d段，此時 e( k)Δ e( k)＞0，即系統處于超調狀態，將到達偏離預定的最遠位置。根據誤差的大小可以對系統實施強弱不同的控制方式，即誤差偏大時選取較大 kp；反之，選取較小的 kp，同時應該增加 kd，減小 ki。此時，利用PSO算法預整定PID參數。

4）d~e段，此時 e( k)Δ e( k)＜0，e( k)Δe( k?1)＞0，即系統由最遠位置又回到預定位置。根據誤差變化，應保持 kp，減少 kd，增大 ki。此時，利用PSO算法預整定PID參數。

5）e~f段，e( k)＜ε，即系統處于穩定狀態，系統已經沒有靜差或靜差已經小到允許范圍內，并且對響應曲線已經滿意。只需要比例和積分調節器提高系統抗干擾能力和系統的穩態精度。此時，利用 PSO算法預整定PID參數。

下面，利用PSO算法將上面5個不同階段的PID參數預整定結果如表4所示：

表4 5個不同階段的PID控制器整定參數Tab 4 The tuning parameters of the 5 different stages of the PID controller

運行Matlab程序，PIEPID-PSO的系統階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 PIEPID-PSO控制器的階躍響應曲線Fig.4 The step response of PIEPID-PSO controller

兩種控制器的仿真結果如表5所示：

表5 PIEPID-PSO控制器和IPID控制器的時域分析Tab.5 The time domain analysis of PIEPID-PSO and IPID controller

5 結 論

本文先建立三階懸浮系統，然后，利用免疫PID控制器給出系統的階躍響應曲線并劃分為 5個不同階段，根據不同階段的誤差變化，利用專家控制規則和PSO算法在線調整PID控制器的參數。最后，基于Matlab中的M函數形式進行跟蹤研究，結果表明:

（1）基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器比單一的免疫 PID 控制器提高了懸浮系統的調節時間，減少了超調量，加快了系統的動態響應速度。從而，在系統精度相同的情況下，該控制器使懸浮系統調節精度提高，穩態性能變好，幾乎沒有超調和振蕩，具有較強的魯棒性。

（2）分段思想為控制器分析誤差的不同變化提供了準確、快速而有效的幫助。這在實際懸浮系統控制器中有著重大的意義。

（3）一個理論必須在實踐中得到成功的應用才能推動其不斷完善和向前發展，專家控制器理論也是一樣，今后將考慮如何將其和其它智能控制器結合，更好地應用到磁懸浮控制器中去，這是我們孜孜探求理論的最終目的。

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