q元碼距離分布的MacWilliams變換

高 云， 常星星， 肖 凌

(山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255091)

近十年來，碼的各種距離分布[1-3]及重量分布成為編碼理論的研究熱點之一. 碼的距離分布能確定各種譯碼程序(如極大似然譯碼，誤差檢測等)的譯碼誤差的概率，可以反映碼的一些結構性質(zhì)，并且能判斷一些給定參數(shù)的碼是否存在.1997年，萬哲先[4]給出二元碼距離分布的MacWilliams變換.2013年Huffman在文獻[5]中給出擴域Fqt上的Fq-線性碼的跡內(nèi)積，對偶碼，重量計數(shù)器，完全重量計數(shù)器，MacWilliams等式及Gleason多項式等問題.但目前還沒有看到有關q元碼距離分布的MacWilliams變換的研究.本文將[4]中二元碼距離分布的MacWilliams變換理論推廣到任意q元碼.本文章列出Krawtchouk多項式的定義和部分性質(zhì)，利用p次本原單位根給出Krawtchouk多項式值Kk(i)的另一種表達式，再利用此表達式給出q元碼C的距離分布和重量分布的刻畫.

1 預備知識

設n為固定的正整數(shù)，q為一素數(shù)方冪，x為不定元，則

例1由Krawtchouk多項式的定義及三項遞推式得：K0(x)=1,

K1(x)=nq-n-qx,

2 q元碼距離分布的MacWilliams變換

(1)

其中

并且

依此類推，得到

利用Kk(i)的上述表達式，可得到q元碼C距離分布的MacWilliams變換的性質(zhì).

[1] Barg A, McGregor A. Distance distribution of binary codes and the error probability of decoding[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2005, 51: 4 237-4 246.

[2] Ashikhmin A, Barg A, Litsyn S. Estimates of the distance distribution of codes and designs[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2001, 47: 1 050-1 061.

[3] Ashikhmin A, Barg A. Binomial moments of the distance distribution: Bounds and applications[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1999, 45: 438-452.

[4] Wan Z X. Quaternary codes[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1997: 26-29.

[5] Huffman W C. On the theory ofFq-linearFqt-codes[J].Adv Math Commun, 2013,7(3): 349-378.