熱傳導方程的修正C-N格式及穩定性分析

何巧玲， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學 數學與系統科學學院， 新疆 烏魯木齊 830046)

1 熱傳導方程及差分格式的構造

考慮熱傳導方程

(1)

式中：u=u(x,t)是擴散過程中某種物質的濃度，或者固體產熱過程中在x處t時刻的溫度；f(x),g(t),h(t)是已知函數.

(2)

2 新差分格式的引入

熱傳導方程的顯示格式為

即得

(3)

由(3)式可得

(4)

(1)1

(5)

此法為熱傳導方程顯示的五點差分格式.

3 五點差分格式的穩定性

即

即

(1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn

令coskh=t,t∈[-1,1]，則

(1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn

于是格式(5)的穩定性條件為r≤3.

4 關于收斂性定理

證明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)對時間變量t進行泰勒展開

(6)

5 數值實驗

對定解問題

(i)τ=0.008,h=0.0 167,從圖(1)可以看到C-N格式(2)雖然是無條件穩定的，但在不連續的邊界附近有振動.當然，理論上講，C-N格式對某些參數的選取會出現計算不穩定、編程復雜、計算量大等缺點.

(ii)τ=0.008,h=0.0 334，從圖(2)可以看到修正C-N格式(5)滿足穩定性條件為r≤3，在不連續的邊界附近圖像很光滑且沒有任何振動，修正C-N格式不會出現不穩定的現象，節省計算工作量而且利用格式本身就可以計算出第一時間層上的值，這就克服了隱格式解線性方程組的缺點.求解熱傳導方程的顯修正C-N格式豐富了數值求解熱傳導方程的理論方法.

圖1 t=0.01時，C-N格式的計算結果和準確值比較 圖2 t=0.01時，修正C-N格式的計算結果和準確值比較

本文提出了一種修正Crank-Nicolson法，是r≤3顯格方法．結果表明，該方法具有計算簡單、穩定性好的優點，是求解熱傳導方程的有效實用方法．

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