一類非線性脈沖時滯差分方程的振動性

葛禮霞

(牡丹江師范學院 理學院, 黑龍江 牡丹江 157012)

關于差分方程的振動性已有許多學者進行了研究，且對具有連續變量的差分方程振動性的研究取得了大量的成果，如文獻[1-4]建立了具有連續變量的差分方程振動的充要條件.文獻[5]給出了如下具有連續變量的非線性時滯差分方程

y(t+τ)-y(t)+p(t)f(y(t-σ))=0

的振動性的充分條件.文獻[6-9]研究了脈沖時滯微分、差分方程的振動性.

考慮如下一類具有連續變量的變系數脈沖時滯差分方程的振動性

(1)

x(t)=x(t,t0,φ),t∈[t0-r,t0]

(2)

(3)

方程(3)滿足初始條件(2)的解y(t)，當t∈[t0-r,t0]時，y(t)=φ(t)，當t∈[t0,∞)時，y(t)是絕對連續的，且它在[t0,∞)上幾乎處處滿足方程(3).我們利用構造函數的方法，討論這一類具有連續變量的變系數脈沖時滯差分方程的振動性.

1 引理

引理1[6]若存在自然數K，使當k>K時有bk>-1，則方程(1)的所有解振動，當且僅當(3)的所有解振動.

2 主要結果

定理1設bk>0，對所有k=1,2,…成立，若

(i)存在常數δ>0，使

f(u)sgnu≥δ

(4)

(ii)對任意的t≥0，有

(5)

則方程(1)所有解振動.

證明由引理可知，只需證方程(3)振動.

用反證法.不失一般性，設方程(3)有一個最終正解y(t)，則存在t1>0，使得當t≥t1時，有

y(t)>0,y(t-τ)>0,y(t-σ)>0

因f(u)sgnu≥δ，有

f(y(t-σ))≥δ

(6)

特別地，對于i=1,2,…，n，有

上式兩邊對i從1到n求和，得

(7)

由(5)式和(7)式可得

這與y(t)是最終正解矛盾，故方程(1)無最終正解.綜上可知，方程(1)的所有解振動.

定理2設bk>0，對所有k=1,2,…成立，且σ=kτ,k≥2為正整數，若

(i)f(u)單調非減，且當

u≠0,uf(u)>0

(8)

(ii)對任意的t≥0，有

(9)

(10)

證明由引理可知，只需證方程(3)振動.

用反證法.設方程(3)有一個最終正解y(t)，則存在充分大的t0>0，使得當t≥t0時，有

y(t)>0,y(t-τ)>0,y(t-σ)>0

因u≠0,uf(u)>0，有

f(y(t-σ))>0

(11)

故有0

下面來證l0=0，若不然，假設l0>0，由y(t0+nτ)≥l0且f(u)單調非減，有

f(y(t0+nτ))≥f(l0)>0

再由該式和(11)式可得

即

將該式對i從1到n求和，得

再由(9)式可得

這與y(t0+nτ)是最終正解矛盾.因此l0=0，即

再結合(10)式可知，存在充分大的自然數n1，使得當n≥n1時，有

由方程(3)得

特別地，有

進而有

本文證明了一類具連續變量的脈沖差分方程的振動性，得到了脈沖時滯差分方程解振動的兩個充分條件，將已有文獻中的有關結果在脈沖條件下做了推廣和改進.

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