對接雙材平面中圓弧裂紋問題的數值方法

杜云海， 劉雯雯， 徐軼洋

(鄭州大學力學與工程科學學院 河南鄭州450001)

0 引言

在工程結構中出現的裂紋往往呈曲線形狀，特別是大尺度裂紋，理想的直線狀裂紋是極少見的．圓弧作為一般曲線的極好近似，以此建立裂紋尖端應力強度因子的數值方法，對于工程實際中曲線裂紋問題的實用計算具有重要意義．關于圓弧裂紋問題，文［1－2］曾研究過有限元法，文［3］曾研究過復變函數半逆解法，文［4］則研究了邊界元法．超奇異積分方程法作為一種能快速求解裂紋問題的半數值方法，近年來也受到諸多學者關注［5－7］，作者在這方面也曾做過一些探索［8－10］，并在近期研究了雙材料平面中的一般曲線裂紋問題．本文基于研究所得精確描述圓弧裂紋問題的超奇異積分方程組，建立相應的數值方法，并對應力強度因子(SIF)進行了系統的計算．

1 超奇異積分方程組

假定雙材料平面中有一條圓弧裂紋，如圖1所示，Gi、μi(i=1，2)分別為兩半平面材料的切變模量與泊松比，裂紋長度為2a，裂紋半徑為R，裂紋中點坐標為(c，d)，中點半徑與橫軸之間的夾角為θ0，則裂紋曲線的參數方程可表示為

其中，s為裂紋的弧長坐標．

若僅在裂紋岸上作用大小相等、方向相反的分布載荷qj(s)(j=1，2;－a＜s＜a)，則問題的應力邊界條件為

利用互等功定理可得到上述問題用彈性力學基本解表達的位移場，然后再利用幾何方程、物理方程和邊界條件(2)，經過嚴格數學推導，將具有奇異性的項合并后再從結果中分離出非奇異部分，可得到描述該問題的超奇異積分方程組

圖1 雙材料平面中的圓弧裂紋Fig．1 An arc crack in bi-material plane

這里S12(s，t)、S21(s，t)為奇異積分核函數的曲率影響項;Jik(s，t)為正常積分核函數的曲率影響項，可寫成冪級數形式:

其中Bj為伯努利數(可查數學手冊);而Kik(s，t)為一般正常積分核函數(無奇異性，限于篇幅不再給出);對于平面應力問題，式(3)中的κi=(3－μi)/(1+μi);而對于平面應變問題，κi=(3－4μi)．不難看出，S12，S21，J11，J22，J12，J21等曲率影響項都隨圓弧裂紋半徑R的增大而減小，當R→∞ 時，式(3)退化為直線裂紋問題的超奇異積分方程組，與文［8］結果一致．

2 數值方法

為建立應力強度因子的數值算法，需將式(3)進行歸一化處理，這里引入如下變量與函數替換

將式(6)代入式(3)，可得到歸一化超奇異積分方程組為

歸一化方程組(7)形式上與文［10］結果相同，因此其后繼處理可參照文［10］，將裂紋位移間斷fk(ζ)用含契比謝夫多項式的配置函數表示，并利用已有奇異積分的有限分部積分結果［7］，適當增配方程個數，可將問題轉化為一個封閉可解線性方程組的建立，應力強度因子則可用方程組的解(即契比謝夫多項式的系數)來表示．

利用上述方法，通過適當編程即可實現該問題無量綱應力強度因子的快速計算．通過增加配置方程數重新計算，并與上次結果相比較，可有效控制應力強度因子的計算精度．本文實際應用程序的控制計算精度為5×10－4．

3 圓弧裂紋的應力強度因子(SIF)

假定對接雙材料平面中一條圓弧裂紋在裂紋岸上僅承受均布壓力q0，選擇不同的圓弧中點坐標c/a、不同半徑R/a和切變模量比G2/G1，當裂紋中點的半徑與水平坐標軸之間的夾角取不同值(0°、45°和90°)時，無量綱應力強度因子的計算結果如表1～3所示．這里，是圓弧裂紋尖端應力強度因子與距界面無限遠處直線裂紋的應力強度因子之比．

計算結果表明，在單純法向載荷作用下，對于均質材料(G2/G1=1)，圓弧裂紋的半徑越小，Ⅰ型應力強度因子越小，并伴隨著Ⅱ型應力強度因子的增大，其量級較小，所以非直線裂紋與直線裂紋相比是有利的．而對于雙材料(G2/G1≠1)，圓弧裂紋半徑的變小導致應力強度因子的變化較復雜，其變化規律與裂紋的方位有關．在距離界面較遠處，變化規律如同均質材料，但在靠近界面處，會出現隨著圓弧半徑變小而Ⅰ型應力強度因子反而變大，Ⅱ型應力強度因子有時變大、有時變小的情況，如表1中c/a=1的結果所示，但多數情況下還是遵從與均質材料相同的規律．因此，總體來說，材料中的非直線裂紋較直線裂紋安全．此外，材料的切變模量比也是影響應力強度因子大小的主要因素，在G2/G1＜1時導致Ⅰ型應力強度因子變大，而在G2/G1＞1情況下，導致Ⅰ型應力強度因子變小，這種變化應歸因于半平面之間的相互約束．

表1 圓弧裂紋中點徑向角θ0=0°時的無量綱應力強度因子Tab．1 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=0°

表2 圓弧裂紋中點徑向角θ0=45°時的無量綱應力強度因子Tab．2 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=45°

表3 圓弧裂紋中點徑向角θ0=90°時的無量綱應力強度因子Tab．3 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=90°

4 結論

基于所得圓弧裂紋問題的超奇異積分方程，通過變量與函數代換進行歸一化處理，建立了該問題的數值方法，并通過進一步編程計算，系統求解了雙材料平面中圓弧裂紋問題的無量綱應力強度因子．結果表明，雖然在裂紋岸作用單一法向載荷，因裂紋變曲卻使得Ⅰ、Ⅱ型應力強度因子同時存在，但Ⅱ型應力強度因子量級較小，與無限遠處直線裂紋相比，應力強度因子的變化一般呈減小趨勢;而在雙材料界面附近，應力強度因子的變化規律較為復雜，表現為有時變小，有時增大，這主要取決于裂紋的方位．另一方面，當含裂紋半平面的切變模量大于另半平面的切變模量時，裂紋越靠近界面，Ⅰ型應力強度因子越大;相反情況下，裂紋越靠近界面，Ⅰ型應力強度因子越小;量級較小的Ⅱ型應力強度因子一般也呈相同變化規律，但有時則呈相反的變化，這也取決于裂紋的方位;當裂紋遠離界面時，界面對應力強度因子大小的影響消失．

［1］ Heitzer J，Mattheck C．Fem-calculation of the stress intensity factors of a circular arc crack under uniaxial tension［J］．Engineering Fracture Mechanics，1989，33(1):91 －104．

［2］ Lorentzon M，Eriksson K．A path independent integral for the crack extension force of the circular arc crack［J］．Engineering Fracture Mechanics，2000，66(5):423 －439．

［3］ Shen Dawei，Fan Tianyou．Semi-inverse method for solving circular arc crack problems［J］．Engineering Fracture Mechanics，2004，71(12):1705－1724．

［4］ Yan Xiangqiao．A boundary element analysis intensity factors of multiple circular arc cracks in a plane elasticity plate［J］．Applied Mathematical Modelling，2010，34(10):2722 －2737．

［5］ Ioakimids N I．A natural approach to the introduction of finite-part integrals into crack problems of 3-dimensional elasticity［J］．Engng Fract Mech，1982，16(5):669 －673．

［6］ Ioakimids N I．Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and 3-dimensional elasticity［J］．Acta Mech，1982，45(1/2):31 －47．

［7］ Chan Younsha，Fannjiang A C，Paulino G H．Intergral equations with hypersingular kernels-theory and applications to fracture mechanics［J］．International Journal of Engineering Science，2003，41(7):683 －720．

［8］ 杜云海，樂金朝．雙材料平面中斜裂紋問題的超奇異積分方程方法［J］．機械強度，2004，26(3):326－331．

［9］ 樂金朝，杜云海，萬強，等．雙材料平面多裂紋問題的超奇異積分方程方法［J］．巖石力學與工程學報，2004，23(22):3834－3839．

［10］杜云海，呂存靜，董棟，等．環形界面雙材平面中環向裂紋問題的超奇異積分方程法［J］．機械強度2006，28(5):733－738．