監測過程均值小的偏移的綜合控制圖

宋向東， 宋宗偉

(燕山大學 理學院 河北秦皇島066004)

0 引言

為了進一步監測過程均值小的偏移，文獻［1］提出了一個結合休哈特控制圖以及合格品鏈長控制圖(CRL控制圖)的綜合控制圖(通過把樣本組作為一個單元)，在此基礎上文獻［2］又提出一種“group runs”控制圖．本文與之前研究不同之處是在隨后的運行當中出現CRL值小于等于L時，認為控制圖處于警戒狀態，緊接著做下一輪單元組檢驗，這時采取增加單元組的樣本量．如果檢驗的CRL值小于等于L，即為第一次出現兩個連續的CRL值小于等于L，就認為過程失控［3］．讓μ0代表過程受控下的均值，ARL(δ)代表均值由μ0偏移到μ0±δσ時從而發出報警信號的平均鏈長．對于休哈特控制圖來說，其中β為第2類型錯誤，n為樣本量，k為控制限系數，ARL(0)基于錯誤報警概率的原因經常被使用者明確指定．

1 合格品鏈長控制圖

在百分百檢驗當中，合格品鏈長控制圖是為了檢驗兩個不合格單元組之間所檢驗的單元組的個數(包括最后一個不合格品單元)．從圖1中可以看出CRL1=4，CRL2=5，CRL3=3．

圖1 合格品鏈長控制圖的圖形解釋Fig．1 Control chart explanation of conforming run length

在休哈特控制圖中，如果樣本均值沒有落在控制域內則認為失控，VGR控制圖會認為該樣本單元組不合格．已知，令ATSCRL代表檢驗單元組的平均數，即

2 VGR圖的設計與執行

2．1 VGR圖的概念

1)μ0:受控下的過程均值．

2)σ:過程標準差．

3)ATS(δ):當過程均值由μ0偏移到μ0±δσ時從而發出失控信號的平均時間．

4)δ1:均值的偏移量，其大小被認為是大到足以嚴重影響產品的質量．

5)n:樣本單元組的數目．

6)k:子圖的控制限系數．

7)L:VGR圖的下限．

8)Yr:第r－1個與第r個不合格單元組間的單元組數．

2．2 VGR圖的設計

VGR(n1，n2，k，L，delta)是結合可變樣本、休哈特控制圖以及合格品鏈長控制圖用來監測均值小的偏移的控制圖［4］．它有一條單一的線Y=L，VGR圖的運行如下:

1)連續的檢查含有n1個樣本的單元組，把每個單元組看作一個個體．

3)如果Y1≤L認為過程失控或出現一個Yr≤L(Yr≠Y1)，緊接著檢查含有n2個樣本的單元組，同時Yr+1≤L也認為過程失控．如果該Yr+1＞L就認為受控，將要返回第1)步繼續進行．

4)當過程失控時，就需要采取相應的糾正措施重新設置，返回到第一步重新開始．

以上過程可以通過流程圖2加以解釋．K=2代表處于失控狀態，從而發出失控信號，應及時對產品采取糾正措施．

令P為不合格品單元組的概率，

令Yr(r=1，2，…)為獨立同分布服從幾何分布的隨機變量，它表示第r－1個與第r個不合格單元組之間的單元組數，令N代表過程失控時檢驗的不合格單元組的個數．檢查樣本量為n1的單元組時Yr≤L的概率為

同樣，檢查樣本量為n2的單元組時Yr≤L的概率為B=1－(1－P2)L．

當 r=1，P(N=1)=P(Y1≤L)=A;當 r=2，P(N=2)=0;

當 r≥3，P(N=r)=(P(Yr≤L)P(Yr－1≤L)P(Y1r－2＞L))P(N＞r－3)+(P(Yr≤L)P(Yr－1≤L)P(Y2r－2＞L)P(Y1r－3＜L))P(N ＞r－4)．

首先定義一個函數ATS，它是當過程發出失控信號時要檢驗的所有樣本量的平均數．即ATS=n1·ARL1+n2·ARL2．其中ARL1表示信號發出后已檢驗的樣本量為n1的單元組的平均數．ARL2表示信號發出后已檢驗的樣本量為n2的單元組的平均數．

品監測流程圖

t monitoring flow chart

當單元組的樣本量為n1時，判斷該單元組是否合格的區間為

K=0表示為開始的狀態;K=1表示有一個Yr(≠Y1)≤L處于警戒狀態;K=2表示過程發出失控信號．根據Matlab程序編程給n1，n2，k，L，delta賦予最優值時能表現出比另外兩個圖較好的效果．下面舉出數值例子．

當單元組的樣本量為n2時，判斷該單元組是否合格的區間為

3 數值例子

規定某種意義上的標準值，μ0=0，σ =1，δ1=0．2，τ=10 000．

對于休哈特控制圖可以列出這樣的等式這樣可以利用Matlab給nX從1開始賦值，從而就可以得到相應的kX值，隨之就確定了ATSX(δ1)的值，利用軟件再找到最小的ATSX(δ1)值［6］．得

由

得

然后固定 n 值，得到一個區域．Dn={(n，k):k＞0，ATSg(0)≥τ，L=L*(n，k)}，最后用同樣的方法使n從1開始取，從而得到最優的參數使得ATSg(δ1)最小，得

對于VGR控制圖的數值例子，它和GR控制圖不同之處就是當Yr≤L(Yr≠Y1)時，K=1，這時如果處于警戒狀態，就增加單元組的樣本量［7］．這里規定n2=1．25n1，可以通過計算機隨機模擬得出．

為了進一步比較VGR圖、GR圖以及休哈特控制圖，給δ取定了不同的值．把GR圖作為一個比較標準，即單位1，另外兩個圖得出的ATS(δ)值要與其做商，得表1以及圖3．

表1 δ取不同值時GR控制圖和休哈特控制圖以及VGR控制圖的比較Tab．1 Performance of the GR chart，Shewhart’s chart and VGR chart for various values of δ

圖3 休哈特圖和GR圖以及VGR圖的ATS值的相對比較Fig．3 ATS comparation of Shewhart chart GR chart and VGR chart

4 結論

本文提出了可變樣本的綜合控制圖，它是對傳統休哈特控制圖、合格品鏈長控制圖以及可變樣本3者的恰當結合．由于過程描述稍微復雜，采用流程圖的方法把整個過程進行詳細的描述．同時對休哈特控制圖、GR控制圖以及VGR控制圖的設計與執行進行了概括．當均值未發生偏移時，3個要進行比較的控制圖都有一個共同的標準，即ATS(0)≥τ．當均值發生較小偏移時，該文所研究的VGR控制圖能表現出比另外兩個圖更好的效果．

［1］ Wu Z，Spedding T A．A synthetic control chart for detecting small shifts in the process mean［J］．Journal of Quality Technology，2000，32(1):32 －38．

［2］ Gadre M P，Rattihalli R N．A group runs control chart for detecting shifts in the process mean［J］．Economic Quality Control，2004，19(1):29－43．

［3］ Chang T C，Gan F F．Cumulative sum charts for high yield processes［J］．Statistica Sinica，2001，11(3):791 －805．

［4］ Davis R B，Woodall W H．Evaluating and improving the synthetic control chart［J］．Journal of Quality Technology，2002，34(2):63－69．

［5］ Ncube M M．An exponentially weighted moving average combined Shewhart cumulative score control procedure［J］．International Journal of Quality and Reliability Management，1990，7(6):29 －35．

［6］ 任景莉．一類非線性多邊值問題正解的存在性［J］．鄭州大學學報:理學版，2002，34(4):10－14．

［7］ 馬寧，于洪志．基于Arnold變換和DCT變換的圖像算法［J］．廣西師范大學學報:自然科學版，2011，29(23):163－167．