高階分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性

劉東利， 楊 軍， 崔更新

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004;2.河北省數(shù)學(xué)研究所 河北石家莊050000;3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 北京100081)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程是整數(shù)階微分方程的推廣，很多自然界和社會(huì)中的現(xiàn)象都可以采用分?jǐn)?shù)階微分方程作為它們的數(shù)學(xué)模型［1-4］，使大多數(shù)用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)無法解釋的問題得以解決，包括流體力學(xué)、流變學(xué)、生物學(xué)圖像與信息處理、生物種群的繁衍以及目前較為新穎的系統(tǒng)辨識(shí)［5］等.近些年來，人們更深入研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的各種邊值問題，并取得了重要成果［6-11］.

文獻(xiàn)［12］研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性，其中0≤β≤1，Dα0+是標(biāo)準(zhǔn)的Rieman-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)．在此基礎(chǔ)上，本文研究了一類非線性分?jǐn)?shù)階高階微分方程邊值問題

正解的存在性，其中0≤β≤1，0≤a≤1，ξ∈(0，1)，ρ=aξα－β－1＜1，Dα0+是標(biāo)準(zhǔn)的Rieman-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并且函數(shù) f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續(xù)，函數(shù) λ:［0，1］→［0，∞)連續(xù)且

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 函數(shù)f:(0，+∞)→R的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2 連續(xù)函數(shù)f:(0，+∞)→R的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理2 如果g(t)∈L(0，1)，α，β為兩個(gè)正數(shù)，且α ＞1≥β≥0，則

2 主要結(jié)果和證明

引理3 假設(shè)g(t)∈L(0，1)，考慮線性分?jǐn)?shù)階高階微分方程邊值問題

再根據(jù)引理2有

又由邊值條件D0β+u(1)=aD0β+u(ξ)得

從而將(6)式代入(5)式即可得所證結(jié)果．

引理4 函數(shù)G1(t，s)具有下列性質(zhì):

引理5 函數(shù)G2(t，s)具有下列性質(zhì):

證明過程參考文獻(xiàn)［12］．

下面考慮非線性分?jǐn)?shù)階高階微分方程邊值問題(1)的正解的存在性，先引入Banach空間并定義幾個(gè)算子．

設(shè)空間E=C［0，1］表示由全體連續(xù)函數(shù)u構(gòu)成的Banach空間，其中范數(shù)?，定義E=C［0，1］中的錐 P={u ∈ E:u(t)≥ 0}，t∈［0，1］．

對(duì)給定的正數(shù)r，定義函數(shù)空間Ωr={u∈C［0，1］:u ＜r}，極大數(shù)Mr{f(t，u):(t，u)∈［0，1］× ［－ r，r］}，又 λ(t)在 t∈［0，1］上連續(xù)，從而存在正數(shù) ω ＞ η ＞ 0，使得 η ＜ λ(t)＜ ω．

引理6 (Banach不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)E是Banach空間X的非空閉子集，T:E→E為E上的壓縮映射，則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x∈E，使得Tx=x．

當(dāng)t1→t2時(shí)所以，T是全連續(xù)算子．證畢．

下面給出下列條件:

H1(i)f(t，u(t))在t∈［0，1］上是勒貝格可測(cè)的;(ii)f(t，u(t))對(duì)u(t)∈［0，∞)上是連續(xù)的．

H2存在一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)h(t)∈L［0，1］，對(duì)任意u，v∈［0，∞)有

定理1 如果條件H1和H2成立，且

則邊值問題(1)在t∈［0，1］上存在唯一的正解．證明 對(duì)算子T，任意u，v∈P，有

即T是壓縮映射，從而存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題(1)的唯一正解．證畢．

為了證明邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解，給出引理8．

引理8 (Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)P為Banach空間E的錐，Ω1，Ω2是E中的有界集，0∈Ω2∩Ω1，這里0表示E中的零元，T在P∩(Ω2Ω1)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，如果T:P∩(Ω2Ω1)→P是全連續(xù)算子且滿足下列條件之一:

為了方便，記

定理2 假設(shè)存在正數(shù)r1＜r2且Nr1＜Lr2，并滿足下列條件:則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解u，滿足r1≤ u ≤r2．

對(duì) u∈ P ∩ ?Ω2，t∈［0，1］，由引理5 ～ 6及條件1)可得

即 Tu ≤ u ，當(dāng)u∈P∩ ?Ω2．

即 Tu ≥ u ，當(dāng)u∈P∩?Ω1．因此算子T滿足引理8的條件2)，從而算子T至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u，且

滿足r1≤ u ≤r2，而u即是邊值問題(1)的正解．證畢．

3 應(yīng)用例子

例 令n=3，則α∈(2，3］，考慮分?jǐn)?shù)階積分微分方程

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