一類漸近線性橢圓方程非平凡解的存在性

劉春晗， 王建國

(齊魯師范學院數學系 山東濟南250013)

獻［2］知，H20(Ω)? H(Ω)? W1，p0(Ω)，同時記

對于任意的

0 引言

文獻［1］在新的Hilbert空間H中研究了特征值問題

證明了問題(1)有解，其中H是將H20(Ω)空間按下列范數的完備化空間，H為按內積〈dx的Hilbert空間．如果1≤p＜2，由文

獻［2］知，H20(Ω)? H(Ω)? W1，p0(Ω)，同時記

首先在空間H中討論(1)的特征值問題．

第一特征值定義為λ1

第二特征值定義為λ2

類似地，可以定義第n個特征值λn，?

其相應的特征函數記作φn．

存在非平凡解．

本文利用山路引理，在f滿足無窮遠處共振的情況下研究了非線性橢圓型方程(2)的存在性問題．

對于任意的

下面給出一些假設條件:

(F0)對某一個正數C及所有的N≥5．，對 a．e．x∈ Ω 一致，其中 A ＜ λ1＜ B，B= λk，k≥2，且 λk是特征值問題(1)對應的特征值，或者B=+∞．

定義1 設Φ∈C1(E，R)，稱Φ對于每一個c∈R滿足(C)c條件，若任意滿足

的數列{un}都有收斂子列，稱Φ滿足(C)條件，如果Φ對于每一個c∈R滿足(C)c條件．

引理1［3］Hilbert空間H緊嵌入到L2(Ω)空間中．

引理2 假設f(x，t)滿足(F0)、(F2)、(F3)，且B= λk，則泛函 Φ 滿足(C)條件．

證明 首先證明{un}是有界的．假設un滿足

若v(x)≠0，由(F2)可得λk．在 L2(Ω)中，vn→ v，則有

由(F3)可知根據 Fatou 引理可得．因為

另一方面，可以得到

矛盾，因此{un}是有界的．于是{un}在H中有弱收斂的子列，仍記為{un}，記弱極限為u．由引理1，可以看出在L2(Ω)中 un→u．再由(1+ un)Φ'(un)→0，有

引理3 假設 f(x，t)滿足(F0)、(F2)、(F'3)，如果設{un}? H，〈Φ'(un)，un〉→ 0，并且{tn}? R，tn＞ 0，tn→0．令 wn=tnun，則當 n充分大時，有 Φ(wn)≤ μΦ(un)+o(1)．

證明 當n充分大時，有t2n〈Φ'(un)，un〉→ 0，從而

引理4 假設 f(x，t)滿足(F0)、(F2)、(F'3)，且B=+∞，則泛函Φ滿足(C)條件．

證明 假設un滿足(1+ un)Φ'(un)→0，Φ(un)→c．設 un→+∞，令有界．因此可以假設2

下面考慮2種情況:1)v≠0;2)v=0．

n設∑ ={x∈Ω:v(x)≠0}，則，由條件(F2)可得，對于任意的x∈∑，有

另一方面，由條件(F1)、(F2)可得，存在η ＞ － ∞，對于(x，t)∈Ω ×R，有．注意到當n→∞時則存在 T＞ －∞，使得

由引理3可知

綜上，{un}是有界的，類似于引理2即證得Φ滿足(C)條件．

定理1 (山路引理)假設φ∈C1(E，R)滿足max{φ(0)，φ(1)}≤α ＜β≤||iu|n|=fρφ(u)，對某一個 α ＜β，ρ ＞ 0且u1∈E， u1＞ ρ．令Γ ={γ∈C(［0，1］，E):γ(0)=0，γ(1)=u1}．且c=inf maxφ(γ(τ))．

γ∈Γτ∈［0，1］則c≥β＞0且存在序列{un}?E，使得φ(un)→c，(1+ un)φ'(un)→0，n→∞，而且，如果φ滿足(C)c條件，則c是φ的臨界點．

1 主要結果

定理2 如果f(x，t)滿足(F0)～(F3)且B=λk，則方程(2)至少存在一個非平凡解．

由(F2)可得，對?ε ＞0，存在C2＞0，使得 F(x，u)≤A+ε)u2+C2up+1．取 ε ＞0充分小，使得A+ε ＜ λ1，由Poincaré不等式和Sobolev不等式，有

另一方面，B= λk，由(F2)可知，對于 ?ε ＞ 0，存在C4＞ 0，使得F(x，u)≥(λk－ ε)u2－ C4．取ε＞0充分小，使得λk－ε＞λ1，有

則存在e∈H， e ＞ r，使得Φ(e)≤0．

所以Φ滿足定理1的所有條件，由定理1可得，方程(2)至少存在一個非平凡解．

定理3 如果f(x，t)滿足(F0)～(F2)和(F'3)，且B=+∞，則方程(2)至少存在一個非平凡解．

證明 由引理4可得，Φ(u)滿足(C)條件．下面證明Φ(u)滿足山路引理的其他條件．

由定理2的證明可得存在 u =r＞0，使得Φ?Br≥α ＞ 0，其中Br={u∈H:u ≤r}．

因為B=+∞，由(F2)可知，對于任意的M ＞0，存在C5＞0，使得F(x，u)≥Mu2－C5，x∈Ω．

因此，有 F(x，tφ1)≥ Mt2φ12－C5，x∈ Ω ．這里 φ1是相對于特征值 λ1的特征函數，兩邊同除以t2，有．進而，可得

設u=tφ1，這里φ1是相對于特征值λ1的特征函數，φ1=1，有

取t0充分大，且e=t0φ1，則Φ(e)＜0．因此Φ滿足定理1的所有條件，故方程(2)至少存在一個非平凡解．

注1 在研究超線性問題時，許多文獻都要求f(x，t)/t關于t是單調增加的或者f(x，t)滿足條件:存在θ≥ 1，對(x，t)∈ Ω × R，s∈［0，1］，有 G(x，st)≤ θG(x，t)，其中 G(x，t)=f(x，t)t－ 2F(x，t)．容易看出這里的(F'3)是比前面的2個條件都要弱，因此我們推廣了一些已知的結果．

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