固定設計下時間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點檢驗

孫耀東， 徐 寶， 趙志文

(吉林師范大學數(shù)學學院 吉林四平136000)

} ，其中

，故

定理1設條件1)～4)成立，在H0為真時

0 引言

考慮如下時間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點檢驗，

其中xt=t/n是等距固定設計點，g是定義在［0，1］上的回歸函數(shù)，{εt}為零均值和有限方差σ2的嚴平穩(wěn)α－強混合序列，檢驗問題為

H0:E(ε2t)=σ2，對所有的 t=0，1，2，…，n;H1:H0不成立．

一般認為，變點問題的研究始于1954年［1］，從20世紀60年代后期開始，有更多的統(tǒng)計學者投入到這一研究領域，文獻［2］就是對這一領域近20年來理論問題的總結．時間序列在經(jīng)濟、金融等領域中有重要應用［3］，關于時間序列的方差變點問題變得越來越重要［4－7］．

本文采用文獻［8］提出的Beta-Bernstein光滑方法估計回歸函數(shù)研究模型(1)的檢驗問題，Beta-Bernstein光滑方法克服了文獻［6］中經(jīng)典核方法的有邊界偏差的缺點，在一定條件下可以提高檢驗效果．

1 主要結果

應用Beta-Bernstein方法估計模型(1)中的回歸函數(shù)g(·)，估計量為，其中，這里 Kα，β是 Beta 分布 Beta(α，β)的密度函數(shù)，λ 為光滑參數(shù)，1/λ 類似于經(jīng)典核估計的窗寬，滿足．記殘差的估計量為

} ，其中

定義CUSUM檢驗統(tǒng)計量為Tn為得到統(tǒng)計量Tn的極限性質，需要以下假設:

1){εt}是 α － 強混合序列，且存在C ＞ 0，ρ＞0使得混合系數(shù)αk≤Ce－ρk，E(εt)=0，存在r＞2使得

2)g(·)具有連續(xù)二階導數(shù)，g(·)是Lipschitz連續(xù)的，即存在K1＞0，對0≤x，y≤1，使 g(x)－g(y)＜1

引理1［9］當1)成立，在H為真時

0

引理2 當1)～3)成立，在H0為真時

中C1為常數(shù)，從而式(3)第一項為，其．由文獻，式(3)的第二項為O

A－A．12為常數(shù)

，故

引理3當1)～4)成立，在H0為真時

由Schwarz不等式，

對 i=2，4 有

由文獻［11］

定理1設條件1)～4)成立，在H0為真時

2 數(shù)值模擬

考慮如下數(shù)據(jù)生成過程 yt=g(xt)+ εt，εt= φεt－1+et，xt=t/n，t=0，1，2，…，n，g(xt)=25x3t－45x2t+24xt－3．6，et是均值為0、方差為 σ2的獨立同分布正態(tài)隨機變量，取 ln=［n1/4］，λ =［n1/3］．假定方差變點發(fā)生的時刻為 t0=［nτ0］，檢驗問題如下:

H0:σ2=1，對所有的 i=1，2，…，n;H1:σ2在 t0=［nτ0］之前為 1，之后為 α2．

其中 α2取值為2，4，9，τ0取值0．5，φ 取值0，0．3，0．5，0．8，樣本容量 n=100，200，300，見表1．實驗重復1 000次，在0．05的顯著性水平下計算拒絕原假設的頻率．通過隨機模擬，在0．05檢驗水平下，檢驗的臨界值為1．36．通過模擬結果可以看出檢驗是一致的，樣本容量n越大，檢驗效果越好，并且當n足夠大時，檢驗的勢函數(shù)值趨近于1．變點后的方差α2越大，檢驗效果越好．另外，檢驗效果與自回歸系數(shù)φ有關，隨著φ增大接近1，自回歸模型趨近非平穩(wěn)，檢驗效果相對較差．由于文獻［6］的非參數(shù)估計方法需要刪掉部分樣本信息，在樣本量不大時本文結果相對較好，當樣本量增大時，本文結果與文獻［6］的結果相差不大．