耦合Burgers方程的對稱群和新精確解

楊立娟, 楊瓊芬, 杜先云

(1. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽 621000; 2. 成都信息工程學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225 )

非線性發(fā)展方程可以描述物理、化學(xué)、生物等眾多科學(xué)領(lǐng)域中的復(fù)雜現(xiàn)象,因而求解非線性發(fā)展方程一直受到物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注.近年來也發(fā)展了一些行之有效的求解方法,例如反散射方法、B?cklund變換法、齊次平衡法、Jacobi橢圓函數(shù)展開法、輔助方程法等.

李群方法[1-4]是研究非線性發(fā)展方程的對稱,守恒律及求精確解的有力工具之一.然而,對許多非線性系統(tǒng)特別是高階多維的非線性系統(tǒng)而言,運(yùn)用李群方法尋求非線性系統(tǒng)的李代數(shù)計(jì)算非常復(fù)雜.而應(yīng)用推廣的CK直接方法[5-6],可以方便的求出方程的一般對稱群、李點(diǎn)對稱群以及李對稱.

Burgers方程

qt+qxx+2qqx=0,

(1)

是非線性系統(tǒng)中最重要的模型之一.許多非線性現(xiàn)象可以用Burgers方程來描述[7-9]. 近來,一些推廣的Burgers方程被提出并得到了深入的研究[10-12].

將利用推廣的直接約化方法研究耦合Burgers方程的對稱、不變量,并約化方程求方程的精確解.

(2)

其中c是常數(shù).

耦合Burgers方程也可以應(yīng)用到許多物理領(lǐng)域,例如,該模型可以從2層不可壓縮的無黏流體的歐拉方程組中推導(dǎo)出來.顯然當(dāng)q=0,耦合Burgers方程(2)退化為(1).

1 耦合Burgers方程的對稱群

由推廣的直接約化方法,假設(shè)方程(2)有如下形式的解

(3)

其中,αi=αi(x,t),βi=βi(x,t)(i=1,2),ξ=ξ(x,t),τ=τ(x,t)是x、t的待定函數(shù),同時(shí)要求P(ξ,τ)、Q(ξ,τ)關(guān)于ξ、τ滿足類似于(2)式的方程,即

(4)

將(3)式代入(2)式中第一個(gè)方程,并利用(4)式得

(5)

其中F1與Pττ無關(guān),從而τx=0.

將τx=0代入(5)式,令P、Q及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零,可得

α1t+α1xx+2α1α1x+2cα2α2x=0,

β1t+β1xx+2α1β1x+2α1xβ1=0,

β1ξt+2β1xξx+β1ξxx+2α1β1ξx=0,

2β1β1x=0,

2cα2β2x+2cα2xβ2=0,

2cα2β2ξx=0,2β2β2x=0.

(6)

將(3)式代入(2)式中第2個(gè)方程,并利用(4)式,且令P、Q及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零,可得

β2t+2α1xβ2=0,

β2ξt+β2ξxx+2α1β2ξx=0,

-τt+β1ξx=0,

(7)

求解方程組(6)和(7)得

β1=δc1,β2=δc1,δ=±1,

(8)

和

(9)

其中ci(i=1,…,7)是常數(shù).由上面計(jì)算結(jié)果,對于耦合Burgers方程,可以得到如下定理.

定理1如果P(ξ,τ)、Q(ξ,τ)是耦合Burgers方程的解,那么

和

(11)

也是方程的解.

根據(jù)定理1,由耦合Burgers方程的已知解可以得到新的精確解.從而可以推廣已有文獻(xiàn)的一些結(jié)果.并且(10)式是耦合Burgers方程的對稱群.如果令

δ=1,c1=1+εC1,

c2=εC2,c3=εC3,c4=εC4,

其中,ε是無窮小參數(shù),Ci(i=1,2,…,4)是任意常數(shù).由定理1,則得到方程的李點(diǎn)對稱為

σ≡σ1(C1)+σ2(C2)+σ3(C3)+σ4(C4)=

(12)

2 耦合Burgers方程的對稱約化及新精確解

由上面求出的方程的對稱,可以求出方程的約化及新精確解.為此,解如下的特征方程

(13)

通過對方程(13)的不同情況分析,可以得到方程的不變量和約化方程.

情形Ⅰ

C1=C4=0,C2≠0,C3≠0,

其中不變量為

其約化方程為

情形Ⅱ

C1=C2=0,C3≠0,C4=0,

其中,不變量為

其約化方程為

情形Ⅲ

C1=0,C2≠0,C3≠0,C4≠0,

其不變量為

其約化方程為

情形Ⅳ

C1=0,C2≠0,C3=0,C4≠0,

其中不變量為

其約化方程為

為了得到耦合Burgers方程的精確解,需要求解約化方程,這里只討論第Ⅳ種情況.其他情況可以類似討論.

(14)

(15)

其中,u′=u′(η),v′=v′(η),η=x+lt.

(16)

其中,m和n是正整數(shù),ai,bj(i=1,…,n,j=1,…,m)是待定的常數(shù).G=G(η)滿足下面的二階線性常微分方程

G″+λG′+μG=0,

(17)

其中λ、μ是常數(shù).根據(jù)齊次平衡原則,計(jì)算得m=n=1,從而

(18)

(19)

其中λ、l、b0、c是任意常數(shù).將(19)式及(17)式的解代入(18)式,就可以得到(15)式的解,下面討論解的各種情況.

1)λ2-4μ>0,求解(17)式得

如果以(20)式作為種子解,利用定理1,就可以得到耦合Burgers方程的新的精確解.利用(11)式可寫出一組解

2)λ2-4μ<0,求解(17)式得

利用(18)和(19)式可得

(21)

3)λ2-4μ=0,求解(17)式得

(22)

如果以(21)和(22)式作為種子解,利用定理1,同樣可以得到耦合Burgers方程新的精確解.

3 結(jié)論

利用推廣的直接約化方法,求出了耦合Burgers方程的一般對稱群和李點(diǎn)對稱,建立了方程新舊解之間的關(guān)系,推廣了以有文獻(xiàn)的結(jié)果.而且進(jìn)一步利用對稱求出了不變量和約化方程,通過求解約化方程,得到耦合Burgers方程的新精確解,若結(jié)合定理1,還可以得到群不變解.文中只求解了約化方程Ⅳ,如果求解其它的約化方程,同樣可以得到方程的解,再利用定理1,就可以得到耦合Burgers方程大量的新的精確解.

[1] Peter E H. Symmetry methods for differential equations[M]. Cambridge:Cambridge University Press,2000.

[2] Olver P J. Application of Lie Groups to Differential Equation[M]. New York:Springer-Verlag,1986.

[3] Bluman G W, Anco S C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations[M]. New York:Springer-Verlag,2002.

[4] Liu P, Gao X N. Symmetry analysis of nonlinear incompressible non-hydrostatic boussinesq equations[J]. Commun Theory Phys,2010,04:609-614.

[5] Ma H C. A simple method to general Lie point symmetry groups of the (3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equation[J]. Chin Phys Lett,2005,22:554-557.

[6] MA H C. Generating Lie point symmetry groups of (2+1) dimensional Broer-Kaup equation via a simple direct method[J]. Commun Theory Phys,2005,43:1047-1052.

[7] Gamba A, Ambrosi D, Coniglio A. Percolation, morphogenesis and Burgers dynamics in blood vessels formation[J]. Phys Rev Lett,2003,90:118101.

[8] Thoo J B, Hunter J K. Nonlinear hyperbolic wave propagation in a one-dimensional random medium[J]. Wave Motion,2003,37:381-405.

[9] Denisova N V, Kozlov V V. Steady motions of a continuum, resonances and Lagrangian turbulence[J]. J Appl Math Mech,2002,6:897-904.

[10] Svinolupov S I. On the analogues of the Burgers equation[J]. Phys Lett,1989,A135:32-36.

[11] Tang X Y, Lou S Y. Variable separation solutions for the (2+1)-dimensional Burgers equations[J]. Chin Phys Lett,2003,3:335.

[12] Foursov M V. On integrable coupled Burgers-type equations[J]. Phys Lett,2000,A272:57-64.

[13] Wang M L, Li X Z, Zhang J L. TheG′/G-expansion method and traveling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics [J]. Phys Lett,2008,A372:417-423.

[14] 馬志民,孫峪懷,孫陽,等. 廣義變系數(shù)Gardner方程新的精確解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35(4):435-438.

[15] 馬玉蘭,李幫慶,孫踐知.G′/G展開法在高維非線性物理方程中的新應(yīng)用[J]. 物理學(xué)報(bào),2009,58(11):7402-7409.