具有同宿軌的系統(tǒng)在擾動下的分岔及混沌行為

朱長榮

(重慶大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 401331)

由方程導(dǎo)出的動力系統(tǒng)，一直以來都是動力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容.考慮下面的方程

(1)

其中,f∈Cr,r≥1.在滿足初值x(0)=x0時，方程(1)的解是存在唯一的.如果存在x=x0，使得f(x0)=0，則稱x0為方程(1)的平衡點，有時也稱之為平衡解.如果方程(1)有平衡點x0，作適當平移以后，可以將x0移到原點，而系統(tǒng)的動力性態(tài)不改變.因此，以下總假設(shè)x0=0為系統(tǒng)的平衡點.記方程的解為x(t)=φt(x0).令U?RN為原點的適當開領(lǐng)域，下面定義原點的局部穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形：

當t→∞,

且φt(x)∈U對所有t≥0},

且φt(x)∈U對所有t≤0}.

(2)

其中Df(0)是函數(shù)f在0點處的雅可比矩陣.如果Df(0)的所有特征值的實部不為零，則稱0為雙曲平衡點.由常微分方程的基本理論可知：方程(2)在雙曲平衡點附近，會有維數(shù)分別為ns、nu的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的不變子空間.方程(2)在雙曲平衡點附近的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的不變子空間與方程(1)在原點附近的局部穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間，由下面的穩(wěn)定流形定理說明了它們的關(guān)系[1-2].

正在研究的系統(tǒng)(1)，是實際問題經(jīng)過高度抽象和舍棄許多細枝末節(jié)而得到的抽象系統(tǒng).當補充上這些被舍棄的小節(jié)后，實際問題應(yīng)該是下面的系統(tǒng)：

(3)

1 同宿軌的存在性

對這個問題的研究，一直以來有2個主要的方法：幾何的方法和分析的方法.這2個方法現(xiàn)在任然是研究同宿軌的保持性和破裂的重要方法.令x∈R2，g關(guān)于t是周期的，g(0,t,)=0(這個條件不是本質(zhì)的，因為只要做個平移，總可以辦到).1963年，V. K. Melnikov[5]從幾何的觀點入手，應(yīng)用Poincaré映射的方法，來研究系統(tǒng)(3)在很小的參數(shù)時的同宿軌的存在性.因為0對方程(1)是雙曲的，它有一維的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形.則對于方程(3)，它的平衡點附近也有在γ附近的一維的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形.在γ(0)處取一小段橫截痕Σt0，則(3)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形與Σt0分別相交于和定義距離

d

很顯然d0(t0)=0，并且如果存在t0，使得d(t0)=0，則擾動方程在γ附近就存在同宿軌γ.定義Melnikov函數(shù)

其中∧是外積.如果將d(t0)沿著展開，M(t0)與展開式的一次項緊密相關(guān).可以證明，如果存在t0，使得M(t0)=0，DM(t0)≠0,則方程(3)在γ附近就存在同宿軌γ.這個方法就是著名的Melnikov方法.

在接下來的近20年中，人們在研究同宿軌的保持性時，大都采用幾何的方法.直到1980年，在文獻[10]中，S. N. Chow等從幾分析的觀點出發(fā)，考慮如下系統(tǒng)的同宿軌問題

(4)

其中f(t+T)=f(t).很顯然，當λ=(λ1,λ2)=(0,0)時，系統(tǒng)(4)有一對同宿軌，并且(0,0)也是當λ=(0,0)時，系統(tǒng)(4)的雙曲平衡點.他們在參數(shù)原點附近找到一個領(lǐng)域U以及通過原點的曲線Cm、CM，Cm、CM將U分成4個部分.當參數(shù)在其中的2個部分時，系統(tǒng)(4)會出現(xiàn)同宿軌；當參數(shù)在另外的兩個部分時，系統(tǒng)(4)就不會出現(xiàn)同宿軌.

現(xiàn)在對(3)式作一些假設(shè):

(A1)f和g都是C3的；

(A2)f(0)=0并且矩陣Df(0)的特征值的實部不等于零；

(A3) 系統(tǒng)(1)有一條同宿于原點的同宿軌；

(A4)g(0,t,)=0；

(A5)g(x,t,)=g(x,t+T,).

到1984年，K. J. Palmer[7]應(yīng)用分析的方法，在方程(1)有一條非退化的同宿軌的假設(shè)下，將文獻[10]中的結(jié)果推進到RN.在文獻[7]中，K. J. Palmer不僅得到了這條非退化同宿軌得到保持的條件，還給出了關(guān)于(3)的“Shadowing Lemma”.具體情況如下：

令n為正整數(shù)，為ψn雙邊無窮序列所構(gòu)成的集合：a=(…,a-1,a0,a1,…),其中ak∈{0,1,…,n-1}.在乘積拓撲下，ψn是一個完全不連通的緊Housdorff空間(Cantor集).定義同胚映射β為(β(a))k=ak+1，β常稱為Bernoulli平移.在文獻[7]中有下面的結(jié)論：

定理2[7]在假設(shè)(A1)～(A5)下，如果方程(3)有一個T-周期解u和另一個解v滿足:

(I) (3)式沿著v的線性變分方程在(-∞,∞)上有指數(shù)二分性；

(II) |v(t)-u(t)|→0當|t|→∞.

|xa(t+(2k-1)mT)-v(t+akT)|≤,

其中k為整數(shù)，-mT≤t≤mT.映射φ(a)=xa(0)是RN中的一個緊子集上的同胚，在這個緊子集上，(3)式的解的周期映射F的2m-次迭代F2m是不變的且滿足：F2m°φ=φ°β.

定理2常常用來證明具有周期映射的系統(tǒng)，如果存在橫截的同宿軌，則在橫截的同宿軌附近會出現(xiàn)馬蹄形混沌.因為定理2是說，對于解v，它有n段相應(yīng)于時間[-mT,mt],[-(m-1)T,(m+1)T],…,[-(m-n+1)T,(m+n-T)]的弧，周期系統(tǒng)有一條在這些弧之間可以任意轉(zhuǎn)換的軌道xa，它在每一時間段[(2k-2)mT,2kmT]上“shadow”了這些弧.

在這之前，人們大都在做關(guān)于非退化同宿軌方面的工作，J. K. Hale在文獻[11]中建議考慮帶多參數(shù)的具有退化同宿軌的分岔問題.20世紀90年代，許多人[12-19]開始研究具有兩個參數(shù)的帶退化同宿軌的問題:g(x,t,)=1g1(x,t,)+2g2(x,t,).在文獻[15]中，J. Gruendler考慮了g不依賴于時間t的自治擾動，在文獻[16]中，他將擾動推進到一般的非自治擾動.更進一步，如果擾動g是周期的，J. Gruendler在文獻[17]中證明，被保持下來的同宿軌是橫截的，因此周期擾動系統(tǒng)就具有混沌特性.在考慮退化的同宿軌時，擾動函數(shù)不僅依賴于沿著同宿軌的切方向，還有沿著同宿軌的法方向；而如果同宿軌是非退化的，則只有切方向.為了解決法方向帶來的困難，J. Gruendler先對線性變分方程的解進行分類，分類如下：

引理1[16]在假設(shè)(A1)～(A3)下，方程(2)存在矩陣解U，正常數(shù)K,α以及4個投影算子Pss、Psu、Pus、Puu滿足Pss+Psu+Pus+Puu=I并且,

(a) 當0≤s≤t時,|U(t)(Pss+Psu)U(s)-1|≤Ke2α(s-t),

(b) 當0≤t≤s時,|U(t)(Pus+Puu)U(s)-1|≤Ke2α(t-s),

(c) 當t≤s≤0時,|U(t)(Pss+Pus)U(s)-1|≤Ke2α(t-s),

(d) 當s≤t≤0時,|U(t)(Psu+Puu)U(s)-1|≤Ke2α(s-t).

并且Rank(Pss)=Rank(Puu):=d.

令ui(t)是U(t)的第i-列.則相應(yīng)于投影算子Pss、Psu、Pus、Puu，這4類解為：

?ui∈PusU,

?ui∈PsuU,

?ui∈PuuU,

?ui∈PssU.

不失一般性，可以假設(shè)：

令U-1為U的逆，則有：

PuuU=[u1,…,ud],

PssU=[ud+1,…,u2d].

引入記號，令

Φi(λ,,θ)

其中

J. Gruendler在文獻[16]中得到下面的結(jié)論：

定理3[16]在假設(shè)(A1)～(A4)下，如果存在θ使得(Φi(λ(θ),(θ),θ))=0(λ(θ),(θ))θ，并且矩陣C(θ)=(cij(θ))(d-1)×(d-1)滿秩：

cij(θ)=ηij+1-d(θ),j=d,d+1,

則存在開集0∈I?R以及可微函數(shù)ψ:I→R2,使得方程(3)在=s2((θ)+ψ(s))時有同宿軌,s∈I.

在1996年，J. Gruendler在文獻[17]中推廣文獻[13]關(guān)于混沌的結(jié)果證明了：如果擾動函數(shù)是周期的，則擾動方程的解決定的周期映射在同宿軌附近會出現(xiàn)馬蹄形混沌B,該結(jié)果后來被推廣到高維空間中[21-23].

2 多條同宿軌的并存性

上面的結(jié)論能夠回答這樣的問題：在沒有擾動的系統(tǒng)存在同宿軌的情況下，在適當?shù)臋M截性條件下，擾動系統(tǒng)會出現(xiàn)同宿軌.但不能回答這樣的問題：在沒有擾動的系統(tǒng)的同宿軌是退化的情況下，擾動系統(tǒng)能有多少條同宿軌.這個問題直到最近才有了答案：沿用引理1的符號，C. Zhu等在文獻[24]中證明了，對任意的，擾動系統(tǒng)可以存在條不同的同宿軌.在(3)式中，研究者們把∈R作為參數(shù)，這是一個一維的擾動問題.如果增加擾動函數(shù)的自由度，將整個函數(shù)空間C3(RN×R,RN)作為擾動參數(shù)，則問題就變?yōu)橄旅娴膯栴}：

(5)

其中‖g‖C3很小.在C3(RN×R,RN)中定義子空間：

={g∈C3(RN×R,RN)|g(0,t)=0,

C. Zhu等在文獻[24]中得到了下面的結(jié)論：

定理4[24]如果假設(shè)(A1)～(A3)成立，并且ζijj≠0.則在中存在領(lǐng)域和d個余維為kd的經(jīng)過原點的子流形Γk,k=1,…,d，使得當g∈∩(Γk(Γk+1∪…∪Γd))時，方程(5)有k個不同的同宿軌.

以上介紹的是正常擾動條件下的同宿軌分岔問題.還有一類擾動—奇異擾動問題：

g(x,t,),

(6)

方程(6)與方程(3)有很大的區(qū)別：前者對參數(shù)是不連續(xù)；當把方程(6)轉(zhuǎn)化為等價的積分方程時，積分方程的解的增長性不能較好地控制.基于這些困難C. Zhu等在文獻[25]中考慮了如下的方程的同宿軌的分岔問題：

(x,t,).

(7)

方程中的g任然看做在C3(RN×R×R,RN)中的擾動函數(shù).在引進截斷函數(shù)等新的工具后，作者在文獻[25]中得到與定理4相似的結(jié)果.

文獻[24-25]的工作表明：當沒有擾動的方程的同宿軌是退化的情況下，作適當?shù)臄_動，擾動系統(tǒng)可能會出現(xiàn)從1到d條不同的同宿軌.當擾動系統(tǒng)出現(xiàn)一條同宿軌時(即擾動系統(tǒng)存在同宿軌)，文獻[24-25]中的結(jié)果表明：擾動參數(shù)需要d維，即擾動余維為d.與前面的定理2、3相比較，他們的工作表明，如果只考慮擾動系統(tǒng)的同宿軌的存在性，擾動維數(shù)只需要1維就夠了.從這個角度講，文獻[24-25]中的擾動維數(shù)太大，可能擾動系統(tǒng)出現(xiàn)k條同宿軌，并不需要kd維的擾動余維數(shù).這個問題正在考慮中.

3 白噪聲下的同宿軌的保持性

以上討論同宿軌的分岔時，都是確定性系統(tǒng).最近，很多學者[26-31]討論了由Brownian運動引起的隨機過程擾動下，同宿軌的保持性以及由此產(chǎn)生的混沌運動.就一般而言，Brownian運動是一個無界運動，因此這個問題就不是剛才的小擾動問題.

令(Ω,,)表示經(jīng)典的Wiener概率空間，在緊開拓撲下，

Ω={ω(t)|ω(·):R→Rω(0)=0}

dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))°dB(t),

(8)

θtω(·)=ω(t+·)-ω(t).

對任意給定的Δ>0,令:Ω→R定義為：

對每個ω∈Ω,得到由此可以看出，(ω)可以被看做白噪聲在t=0時刻的離散情形.在定義了,得到

(9)

這是一個帶有正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機過程.由Brownian的特性,(θtω)幾乎處處無界，且(θtω)可看做白噪聲的離散形式.在文獻[31]中,K. Lu等用幾何的方法，考慮了如下系統(tǒng)的同宿軌的保持性與混沌：

其中μ是小參數(shù),f,g,P,Q在原點附近是Cr的，r>2.假設(shè)f(0,0)=g(0,0)=P(0,0)=Q(0,0)=0，且μ=0時，方程(10)有一條同宿軌γ(t)=(a(t),b(t))，通過在同宿軌附近引入回復(fù)映射，他們得到下面的結(jié)論：

定理5[31]如果存在t∈R使得

b′(t)P(a(t),b(t))-a′(t)Q(a(t),b(t))≠0,

對于有同宿軌或異宿軌的系統(tǒng)，在白噪聲下的在同宿軌或異宿軌附近的動力行為還有很多沒有解決.在同宿軌非要進還有另外一種十分重要的現(xiàn)象，次調(diào)和分叉，就是當同宿軌在小擾動下不能保持而破裂，在破裂的同宿軌附近出現(xiàn)周期解的現(xiàn)象[8-9,32-36]等.對于在同宿軌或異宿軌附近發(fā)生的分叉或它們的保持性，還有很多學者得到了很好的結(jié)果，比如文獻[37-52]等等.

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