耗散SLRW方程的一個新的守恒差分逼近

林雪梅, 胡勁松, 劉 倩

(西華大學 數學與計算機學院, 四川 成都 610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時,文獻[1]提出了對稱正則長波(SRLW)方程

uxxt-ut=ρx+uux,

(1)

ρt+ux= 0.

(2)

關于SRLW方程(1)、(2)的定解問題的適定性及數值方法的研究也引起了廣泛關注[2-5].但在實際問題中,粘性耗散是不可避免的,且與色散一樣起著十分重要的作用.因此,本文考慮如下一類具有耗散項的SRLW方程的初邊值問題

uxxt-ut+βuxx=ρx+uux,

(3)

ρt+ux= 0,

(4)

u(x,0)=u0(x),ρ(x,0)=ρ0(x),

x∈[xL,xR],

(5)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,ρ(xL,t)=ρ(xR,t)=0,

t∈[0,T],

(6)

其中β是耗散系數.不難證明,該問題具有如下守恒律

(7)

(8)

在考慮耗散時,方程(3)和(4)是反映非線性離子聲波運動本質現象的合理模型[6].文獻[6-10]分別討論了方程(3)和(4)的解的適定性和整體存在唯一性以及解的長時間性態等,但其解析解很難求出,于是,研究其定解問題的數值解就很有意義.如果計算精度較高,而且還能模擬問題本身的守恒性質,無疑是最理想的數值方法[2-4,9-10].文獻[11-12]對(3)～(6)式分別提出了一個具有二階精度的2層非線性差分格式和3層線性差分格式,文獻[13-14]又進一步對帶有阻尼項的耗散SRLW方程進行了數值研究,但都沒有考慮問題的守恒律(7)和(8)式.本文利用Lax格式的離散思想,在保持二階理論精度的情況下,引入加權系數a,對問題(3)-(6)提出了一個3層線性的加權差分格式,格式合理地模擬了(7)和(8)式,從而適合長時間計算.由于格式是線性的,數值求解是不需要迭代,計算時間比較節約;數值算例表明,通過適當地調整加權系數a,從而使計算結果比文獻[12]中的二階格式具有更高精度.

1 守恒律和差分解估計

(9)

(10)

(9)～(12)式對(7)和(8)式的數值模擬得定理1.

定理1(9)～(12)式關于離散能量守恒

(13)

(14)

證明(9)式兩端乘以h后對j求和,結合(12)式和(3)式,可得

遞推可得(13)式.

同理,對(10)式兩端乘以h后對j求和,然后遞推可得(14)式.

定理2設u0∈H1,ρ0∈L2,則(9)～(12)式的解滿足:‖un‖ ≤C,‖uxn‖ ≤C,‖ρn‖ ≤C,‖un‖∞≤C(n=1,2,…,N).

(15)

(17)

(18)

將(15)與(18)式相加,并結合(16)和(17)式得

令

a(‖ρn+1‖2+‖ρn‖2),

將上式遞推可得

Bn≤Bn-1≤ …≤B0=C,

又

則

(a-|1-a|)(‖un+1‖2+‖un‖2)+

(‖ρn+1‖2+‖ρn‖2) ≤Bn≤C,

由離散的Sobolev不等式[3]得

‖un‖∞≤C.

2 差分格式的收斂性和穩定性

(20)

定理3設u0∈H1,ρ0∈ L2,則差分格式(9)～(12)式的解un以‖·‖∞,ρn以‖·‖L2收斂到初邊值問題(3)～(6)式的解,且收斂階為O(τ2+h2).

(22)

(23)

(24)

由定理2以及Schwraz不等式得

‖en+1‖2+‖exn+1‖2+‖exn-1‖2),

(25)

又

(26)

(27)

再將(24)和(27)式相加,并結合(25)和(26)式,令

有

Dn-Dn-1≤τ‖rn‖2+τ‖sn‖2+Cτ(‖en+1‖2+

(28)

將(28)式從1到n求和有

(29)

其中

T·O(τ2+h2)2,

T·O(τ2+h2)2,

先用2層格式[11]計算出u1和ρ1,使之滿足D0≤O(τ2+h2)2,又類似(19)式有

(‖ηn+1‖2+‖ηn‖2)

‖ηn‖≤O(τ2+h2),

再由(3)式有

‖en‖∞≤O(τ2+h2).

與定理3類似,可以證明定理4.

定理4在定理3的條件下,差分格式(9)～(12)式的解un以‖·‖∞,ρn以‖·‖L2穩定.

3 數值實驗

在t=0時,由于耗散還沒有產生,所以在數值實驗中,把(3)～(6)式中的初值函數取為SRLW方程(1)和(2)的初值函數[11](t=0時)

固定-xL=xR=20,T=1.0,取β=1.由于方程(3)和(4)的精確解并不知道,用類似文獻[11]中的誤差估計方法,將細網格(τ=h=1/160)上的數值解作為精確解來估計誤差,就τ和h的不同取值時,幾個不同時刻的l∞誤差(表1～2),及對守恒量的模擬(表3和4).

當加權系數a=1時,本文的格式即為文獻[14]中的格式.數值結果表明,加權系數a(a>1/2)取得越小,計算精度越高,特別當a=1/2時,計算精度比文獻[14]中的格式的計算精度有大幅度提高;另外格式對守恒量(7)和(8)式也進行了很好的模擬,故本文的格式是有效的.

表 1 τ=h=0.05時,就不同的參數a,在幾個不同時刻的l∞誤差Table 1 The error at various time step in norm ‖·‖∞ with τ=h=0.05

表 2 τ=h=0.025時,就不同的參數a,在幾個不同時刻的l∞誤差Table 2 The error at various time step in norm ‖·‖∞ with τ=h=0.025

表 3 在不同時刻對守恒量(7)和(8)式的數值模擬和Table 3 Numerical simulations on two conservation invariants and with τ=h=0.05

表 4 在不同時刻對守恒量(7)和(8)式的數值模擬和Table 4 Numerical simulations on two conservation invariants and with τ=h=0.025

致謝西華大學研究生創新基金(YCJJ201311)對本文給予了資助,謹致謝意.

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