磁單極子存在時的Maxwell方程組的初邊值問題

王治蓉, 楊丕文*, 李又超

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 東方電氣集團(tuán) 東方電機(jī)有限公司, 四川 德陽 618000)

Maxwell方程組是電磁理論的核心,描述了宏觀電磁現(xiàn)象,方程組的微分形式為

(1)

方程組(1)的4個方程表示的物理意義在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)的解釋.此方程組表明自然界中存在著作為場源的電荷和電流,不存在磁荷與磁流,即磁單極子不存在.理論和實(shí)驗(yàn)卻說明磁單極子存在,國內(nèi)外都有一些關(guān)于磁單極子的研究[2-9].

如果磁單極子存在,設(shè)磁荷密度為g0,磁流密度為K,與處理電荷的方法類似,磁流密度K與磁荷密度g0滿足連續(xù)性方程

(2)

方程組(1)中的第一與第二式可改寫為

▽·B=g0,

(3)

(4)

方程組(1)中第三與第四式在磁荷存在時仍然成立.

因此,磁單極子存在時,得到一組新的Maxwell方程組為

(5)

設(shè)C=1,ε0=μ0=1,E=Φ,H=Ψ, Maxwell方程組(1)與方程組(5)即可簡化為[10-11]

(6)

(7)

引入擬四元數(shù)空間[12],即記二階矩陣

則有

e2e3=-e3e2=-ie1,e3e1=-e1e3=-ie2.

引入一階微分算子

▽,

在文獻(xiàn)[12]中討論了某些一階雙曲方程組的初邊值問題,用類似的方法,在文獻(xiàn)[13]中討論了Maxwell方程組(6)的初邊值問題,而在文獻(xiàn)[12]中引入了擬四元數(shù)空間后,Maxwell方程組(6)可表示為

D(ψ+iΦ)=if2,

(8)

而方程組(7)可表示為

D(ψ+iΦ)=f1+if2,

(9)

而方程組(7)是磁單極子存在時的Maxwell方程組,下面就討論此方程組的初邊值問題.為了簡化計(jì)算,先討論方程

▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J)

2 方程▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J)的初邊值問題

設(shè)G是R4中的一個區(qū)域,考慮G上關(guān)于(ψ+iΦ)的方程

▽)(ψ+iΦ)=-K+i(ρ-J), (10)

(11)

記Ω={(t,x)||x|<1-t,0

(φ2e0+iφ3e1)(0,x)=f2e0+if3e1,

(12)

φ1(0,0,x2,x3)=f1(x2,x3),

(13)

ψ1(0,x)=τ(x),x∈?B3,

(14)

Re(x2e0-ix3e1)κ[ψ2(0,0,x2,x3)e0+

iψ3(0,0,x2,x3)e1]=r(x2,x3)e0,

(15)

其中

ω(x)=ω1+(ω2e0+iω3e1)e2,

(16)

(17)

2)當(dāng)κ< 0時,問題可解,當(dāng)且僅當(dāng)r′(ζ)滿足條件

m=1,2,3,…,-κ-1.

(18)

當(dāng)此條件滿足時,其解仍如結(jié)論(1)中式子表示,但其中ψ(t,x)中的ω(x)=ω1e0+(ω2e0+iω3e1)e2,ω1與結(jié)論(1)中表示一致,而

(19)

從而可以推出方程(10)及方程組(11)的相容性條件

▽·J=0,

(20)

方程(20)在電動力學(xué)中被稱為電荷守恒方程[14],以下恒假設(shè)ρ及J滿足此方程.

定理1對錐形區(qū)域ω上的滿足方程組

(21)

的向量函數(shù)Φ(t,x)的初始條件(12)和(13)的Cauchy問題,有且僅有唯一的解

(22)

其中

(24)

(25)

(26)

證明由(23)和(24)式知,φ2,φ3滿足方程及初始條件[15]

(27)

(28)

而C(t,x2,x3)滿足方程

(29)

由(25)式與(27)、(28)式,可得

則

從而

即得φ1(t,x)滿足方程(30).

將方程(10)化成關(guān)于向量函數(shù)ψ的方程組

(31)

由此可得定理2.

(32)

其中ω(x)是滿足方程▽ω=0的任一向量函數(shù).

τ″(x),x∈?B,

Re(x2e0-ix3e1)κ[ω2(0,0,x2,x3)e0+iω3(0,0,x2,x3)e1]=

r(x2,x3)e0-im(x2e0-ix3e1)κ×

r″(x2,x3)e0, (x2,x3)∈Г .

定理3(1)當(dāng)κ≥ 0時,Ω上的方程(10)的問題F有解ψ+iΦ,其中Φ(t,x)如(22)式所示,ψ(t,x)如式(32)所示,ω(x)類似于式(16)和式(17)表示,僅分別用τ″(x)和r″(x2,x3)代替其中的τ′(x)和r′(x2,x3).

(2)當(dāng)κ< 0時,Ω上的方程(10)的問題F可解,當(dāng)且僅當(dāng)r″(ζ)如r′(ζ)滿足條件(18),當(dāng)這些條件滿足時,其解ψ+iΦ仍由(22)式與(32)式表示,ψ(t,x)中的ω(x)由τ″(x)和r″(x2,x3)代替(19)式中的τ′(x)和r′(x2,x3).

3 含磁單極子的Maxwell方程組的初邊值問題

設(shè)G是R4中的一個區(qū)域,考慮G上關(guān)于(ψ+iΦ)的方程

▽)(ψ+iΦ)=f1+if2,

(33)

(34)

(34)式即為磁單極子存在時的Maxwell方程組.

從而可以推出方程(33)及方程組(34)中的g0、K、ρ、J滿足條件

▽·K=0,

(35)

(36)

方程(35)和(36)在電動力學(xué)中被稱為磁荷守恒方程和電荷守恒方程,以下恒假設(shè)g0、K、ρ、J滿足方程(35)和(36).對錐形區(qū)域Ω上的滿足方程組

的向量函數(shù)Φ(t,x)的初始條件(12)和(13)的Cauchy問題,有且僅有唯一的解

(38)

其中φ2、φ3、φ1如定理1的(23)～(26)式.

將方程(33)化成關(guān)于向量函數(shù)ψ的方程組

由此可得定理4.

定理4關(guān)于Ω上的向量函數(shù)ψ(t,x)的方程組(39)可解的充要條件是Φ(t,x)滿足(21)式中的

當(dāng)此條件滿足時,其一般解可表示為

▽×Φ)(ζ,x)dζ+T3[g0-

(40)

其中ω(x)是滿足方程▽ω=0的任一向量函數(shù).

τ?(x),x∈?B,

Re(x2e0-ix3e1)κ[ω2(0,0,x2,x3)e0+

iω3(0,0,x2,x3)e1]=r(x2,x3)e0-im(x2e0-ix3e1)κ×

r?(x2,x3)e0, (x2,x3)∈Г.

定理51) 當(dāng)κ≥ 0時,Ω上的方程(33)的問題F有解ψ+iΦ,其中Φ(t,x)如(38)式所示,ψ(t,x)如(40)式所示,ω(x)類似于(16)和(17)式表示,僅分別用τ?(x)和r?(x2,x3)代替其中的τ′(x)和r′(x2,x3).

2) 當(dāng)κ<0時,Ω上的方程(33)的問題F可解,當(dāng)且僅當(dāng)r?(ζ)如r′(ζ)滿足條件(18),當(dāng)這些條件滿足時,其解ψ+iΦ仍由(38)與(40)式表示,ψ(t,x)中的ω(x)由τ?(x)和r?(x2,x3)代替 (19)式中的τ′(x)和r′(x2,x3).

磁單極子存在時,電磁關(guān)系發(fā)生改變,定理5的結(jié)論即為磁單極子存在時的Maxwell方程組的初邊值問題在不同情況下的解,其中的Φ、ψ即為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度函數(shù).

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