一維光子晶體能帶結構特性分析

李 棚，金宗安，劉明明

六安職業技術學院信息工程系，安徽 六安 237100

1987年，E. Yablonovitch 與S. John根據半導體材料中形成電子能隙的物理機理，提出了在介電材料周期性排列的光子系統中也會出現光子能隙[1] [2]。將介電材料在三維空間進行周期性排列，固定波段的電磁波會因為干涉呈現衰減性傳輸，色散關系呈現帶狀，此種現象稱為光子晶體帶隙[3] [4]。相對于三維、二維的復雜結構，兩種介電材料周期性堆疊在一起形成的一維光子晶體，具有結構簡單，計算方便，便于制作的優勢，受到眾多科研工作者的重視[4] [5]。通過理論分析發現，一維光子晶體結構滿足一定的條件，能夠實現全向反射光子禁帶。

1 一維光子晶體理論模型

雖然光子與電子之間存在諸多相似之處[6]，但是，由于光子之間不存在庫侖作用，兩者之間的理論分析還有不可忽視的差異。現階段主要采用平面波展開法[7](PWM)，傳輸矩陣法[8] [9](TMM)，時域差分法[10](FDTD)等方法分析一維光子晶體。其中平面波展開法是光子晶體計算方法中應用最早，最為廣泛的一種方法。它綜合使用了薄膜光學的傳輸矩陣理論和固體物理的Bloch定理，解釋了光子帶隙的形成機理，相對于其他研究方法，物理意義更清晰、更深刻。本文將利用平面波展開法，計算一維光子晶體的色散曲線，找出其能隙位置，分析能隙特點，判斷全向帶隙的充分必要條件。

(1)

(2)

(3)

2 光子帶隙數值分析

設一維光子晶體由A、B兩種薄膜沿著x方向交替組成。如圖1(a)所示，A、B膜層的表面平行于y-z平面。A、B的折射率分別為nA和nB,厚度分別為dA和dB。光波在xy平面內傳播，如圖1(b)所示，從空氣介質中入射λ0光波，在第α(α=A,B)種材料中的波長計算為λa=λ0/na，波矢的切向分量為β=kay=kasinθα/λ0，由折射定律可知，nasinθa保持不變，故ky是一個常數。當電磁波以角度θ0入射并在該光子晶體中傳輸時滿足Bloch定理，電場的數學表達式為

EK(x,y)=EK(x)eiKxeiKy

(4)

圖1 周期性一維光子晶體結構示意圖

考慮光子晶體的一個晶格常數中光的相位關系，如圖1(c)，其中入射角為θA，折射角為θB的光在相同y坐標的A與B兩點的位相差δ。C點超前于A點的位相為2πdtgθBsinθA/λA，B點滯后于C點的位相為2πd/(λAcosθB)，所以A點超前于B的相位

δ=2πd/(λBcosθB)-2πdtgθBsinθA/λA=2πd(1-nAsinθB/nB)2πdcosθB/λB=k2xd

其中k2x表示材料B中波矢的垂直分量，后續公式中的k1x表示材料A中波矢的垂直分量。考慮分界面上的電磁場的切向分量，An-1表示從A1介質入射的電場強度切向分量，Bn-1表示從B1介質反射的電場強度切向分量；Cn表示從B1介質入射的電場強度切向分量，Dn表示從A2介質反射的電場強度切向分量；An從A2介質入射波電場強度的切向分量，Bn表示從B2介質反射的電場強度切向分量。

E和H切向分量在1界面兩側連續：

An-1+Bn-1=exp(ik2xdA)CN+exp(-ik2xdB)Dn
k1z(An-1-Bn-1)=k2z[exp(ik2xdB)Cn-exp(-ik2xdB)Dn]

(5)

同比的，在界面2左右兩側有

Cn+Dn=exp(ik1xdA)An+exp(-ik1xdA)Bn
k1z(Cn-Dn)=k1z[exp(ik1xdA)An-exp(-ik1xdA)Bn]

(6)

由上面四式，可推得

(7)

其中，

(8)

由于一維光子晶體結構滿足周期性結構，因此光波在系統中滿足Bloch條件：

(9)

將式(9)與式(7)聯立求方程可以得到：

(10)

通過(10)式可以判斷光子晶體帶隙的位置，以及傳輸狀態。對于導帶具體細節可以在另一篇論文中介紹。因此，滿足(1/2)(A+D)>1條件， Bloch波矢是復數，Bloch波矢衰減的，這些區域稱為禁帶或光子帶隙；滿足(1/2)(A+D)<1條件，Bloch波矢是實數，光允許在系統中傳播，對應的區域稱為允帶；滿足(1/2)(A+D)=1條件為能帶邊緣，為了獲得光子晶體能帶特性，只需求得能帶邊緣位置就可以了。

對于TM偏振，將上述計算流程中將電場換成磁場便可以獲得TM偏振。即將(8)式中的系數改為如下內容，最終的判斷條件不變。

(11)

3 數值計算結果及分析

取一維光子晶體結構參數一為nA=4.6,nB=1.6,dA=0.33d,dB=0.67d，繪制如圖(2)的光子晶體帶隙結構。取一維光子晶體結構參數二為nA=2.2nB=1.7，dA=0.33d，dB=0.67d，繪制如圖(3)光子晶體帶隙結構，彩色區域為光子晶體中傳輸態，藍色區域為光子晶體的消逝態。

圖2 高折射率差光子晶體能帶結構圖

圖2(a)為結構參數一的TE模式能帶圖，圖2(b)為結構參數一的TM模式能帶圖，通過兩圖的能帶比較可以發現，在歸一化頻率范圍內的光子帶隙數量相同，擁有5個帶隙，其中頻率最低的帶隙(第一帶隙)最寬。其中，隨著切向波矢分量的增大(入射角度的增大)TE模擬和TM模式的帶隙都在向高頻方向移動。同時，TE模式的帶寬展寬，TM模式的帶寬收縮。

圖3 較低折射率差光子晶體能帶結構圖

圖3(a)為結構參數二的TE模式能帶圖，圖3(b)為結構參數二的TM模式能帶圖，通過兩圖的能帶比較發現，在歸一化頻率范圍內的光子帶隙數量也是相同的，擁有3個帶隙，其中頻率最低的帶隙(第一帶隙)最寬。隨著切向波矢分量的增大(入射角度的增大)TE模式和TM模式的帶隙都在向高頻方向移動。同時，TE模式的帶寬展寬，TM模式的帶寬收縮。相比較圖2與圖3，可以發現，在增大兩種介質折射率差值時，會增加光子帶隙數量，帶隙中心頻率向低頻方向移動，同時增大帶隙寬度。

一維光子晶體的全向反射是指一維光子晶體能夠對從垂直入射到掠入射全角度范圍內的某頻率范圍的TE模式和TM模式都具有很高的反射率，該頻率范圍為全向反射帶。下面，通過分析結構參數一能帶結構中的第一帶隙，介紹一維光子晶體實現全向反射的充分和必要條件。TE模式的第一帶隙如圖4，TM模式的第一帶隙如圖5。

圖4 TE模式全向反射帶隙條件判定

不同入射角θα的光具有不同的切向波矢分量β=kay=kasinθα/λ0，由圖4可知，紅色線為90°掠入射光線，光線只有在掠入射光線以上區域方可傳輸到光子晶體內部。兩根藍色的線分別為30°入射角和60°入射角線，縱坐標為垂直入射光線，即入射角為0°。要實現TE模的0°到60°的反射，必須是在白色實線之間的頻率方可。

圖5 TM模式全向反射帶隙條件判定

4 小結

在眾多的一維光子晶體分析方法中，平面波展開法是在不考慮復雜情況下，能夠較準確的分析一維光子晶體帶隙的一種方法。在歸一化頻率范圍內能夠出現多個帶隙，其中，介質折射率之差影響帶隙數量，帶隙寬度，帶隙中心頻率。另外，布儒斯特角的大小直接關系到全向反射的可能性。對于光子晶體介質參數對帶隙的影響，以及入射光線的透射率和反射率以及色散問題，將采用傳輸矩陣法進行分析，另文研究[11]。

[1] Yablonowitch E Inhibited spontaneous emission solid-state physics and electronics [J]. Phys Rev Lett,1987,58 (20):2059-2061

[2] Joannopoulos J D, Meade RD, Winn JN. Photonic crystal: Molding the flow of light[M].Princeton: Princeton University Press,1995

[3] 李 棚,張明存,葉 飛.一維光子晶體全向帶隙限光特性的研究[J].井岡山大學學報(自然科學版),2012,33(3):26-30

[4] 張 玲,梁 良,張琳麗,等.一維光子晶體帶隙結構研究[J].光子學報,2008,37(9):1815-1818

[5] 陳慰宗，忽滿利，李紹雄，等．一維光子晶體禁帶的特點及增寬[J]．西北大學學報：自然科學版，2002，32(6)：625-628

[6] 劉思科，朱秉升，羅普生，等.半導體物理學[M].北京：電子工業出版社，2003

[7] 段曉峰，牛燕雄． 一維光子晶體的光學傳輸特性分析[J]． 光子學報，2003，32( 9) : 1086-1089

[8] 劉鴻娟, 葉志清, 鄧海東, 等. 用轉移矩陣方法計算一維光子晶體的禁帶結構[J]. 江西師范大學學報:自然科學版, 2004, 28(2) :105-108

[9] 王 輝，李永平．用特征矩陣法計算光子晶體的帶隙結構[J]．物理學報，2001，50(11)：2172-2178

[10] 葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分法[M].西安：西安電子科技大學出版社，2005

[11] 李 棚,張明存,葉 飛. 一維光子晶體周期層厚度對禁帶寬度的影響[J].赤峰學院學報(自然科學版),2012(6):81-82