例析用幾何畫板的深度迭代功能制作數學課件

施永新

摘要：在教學極限的概念和定積分的定義等涉及圖形的無限分割或與操作次數有關的數學內容時，借助幾何畫板的深度迭代功能，能快速制作出集動態性、交互性、實用性于一體的輔助教學課件，有效突破了教學難點。

關鍵詞：幾何畫板；深度迭代；數學課件

幾何畫板操作簡單、功能強大，是廣大數學教師的首選教育軟件。筆者在用幾何畫板輔助教學的實踐中，深感幾何畫板的深度迭代功能十分強大。現將有關輔助教學課件的設計思想和制作步驟與大家分享，以期拋磚引玉，共同提高。

● 深度迭代功能

在數學上，迭代是指把某些數學結構、計算或其他操作的過程重復應用于先前的相同操作的結果。這些操作必須根據某些輸入來定義輸出，迭代則是用每一步的輸出作為下一步的輸入。幾何畫板中的迭代是按一定的迭代規則，從原象到初象反復映射的過程。原象是產生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。初象是原象經過一定規則變換操作而得到的第一個象。幾何畫板中的深度迭代是一種帶參數的迭代，通過改變參數的值可改變迭代深度，從而使我們能對某些數學對象反復進行相同操作的工作變得簡單易行，可實現人機交互、動態變換。

● 課件制作案例

1.動態演示圓的內接與外切正多邊形

（1）設計思想

在高中數學極限的概念教學或選修課《數學史選講》中，一般都會講到我國古代數學家劉徽的“割圓術”，其體現了樸素的極限思想。在教學中我們若用幾何畫板動態演示圓的分割過程（如圖1），隨著分割的份數n的值越來越大，圓的內接和外切正多邊形越來越接近于圓，并動態計算圓周率的精確度也越來越高，這有助于提高學生的學習興趣和對極限概念的理解。

（2）制作步驟

①畫一個圓，在圓上取一點A，圓心標記為O。將角度、距離和其他的精確度設為“十萬分之一”，新建參數n，參數值為6，計算和的值。

②雙擊圓心O，將點A按標記角度旋轉得點，構造線段、，過作線段的垂線a，將點A按標記角度旋轉得點B，構造射線OB，與直線a交于點C。

③雙擊線段，選中點C，選擇“變換→反射”，得點，構造線段， 隱藏直線a，射線OB，線段。

④依次選中點A和參數n=6，按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，原象A的初象選，單擊迭代按鈕，即得圓的內接和外切正六邊形。

⑤度量O、A兩點間的距離和線段、的長度，然后分別計算內接正多邊形周長和外切正多邊形周長除以直徑的值，將其計算結果標簽分別改為“的近似值1”和“的近似值2”。

⑥隱藏點A、、C、、O的標簽，并將其點型設為稍小，隱藏無關點和一些度量值，圖1是分割份數n=9時的情形。

2.動態演示曲邊梯形的分割過程

（1）設計思想

高中數學新課程中引入了極限與微積分的基礎知識，其中定積分的概念歷來是一個教學難點。而借助幾何畫板的動態作圖（如圖2），對位于區間上，由函數與x軸圍成的曲邊梯形進行任意n等份的分割，隨著分割的份數n的值越來越大，所有小矩形的面積之和無限接近所求曲邊梯形的面積。生動形象地詮釋了分割→以直代曲→求和→取極限的微積分基本思想，為學生理解和學習定積分這一抽象定義作了直觀形象的鋪墊與解釋.

（2）制作步驟

①繪制函數的圖像，隱藏網格，將原點標記為O，在x軸上任意作2個點A、B。新建一個參數n，值為4。計算， 選中 標簽，單擊右鍵，在屬性對話框數值頁面中，將其精確度設置為“十萬分之一”。

②雙擊點A，將點B按標記比值縮放得點，分別選中A、，度量A、的橫坐標，，并計算、，繪制，。

③過點C作x軸的平行線，交直線于點E，隱藏平行線和直線，構造線段、、、，構造四邊形內部，并度量四邊形的面積，同時選中四邊形內部和面積的度量值，再選擇“顯示→顏色→參數”，選擇雙向。

④依次選擇“”，點A和“”，同時按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，原象n的初象選，原象A的初象選點，單擊迭代按鈕，即得4個小矩形。隱藏無關的點和度量值等對象，圖2是n=14時的情形。

3.動態演示用正弦線畫函數的圖像

（1）設計思想

利用正弦線畫函數

的圖像，用傳統手工畫圖費時費力，且不便展現隨意改變單位圓的等分份數及平移正弦線的動態效果。現用幾何畫板可實現動態演示單位圓的等分、平移正弦線、描點連線的作圖過程（如圖3），輸入參數n的值越大，單位圓等分的份數越多。單擊“平移描點”按鈕，動態演示單位圓的分割及將正弦線依次向右平移到相應的位置，單擊“平滑連線”按鈕，動態演示一支畫筆從左到右將點連成平滑的曲線，單擊“做圖復位”按鈕，動態演示一支畫筆從右到左將正弦線和圖像擦除。整個課件交互性、動態性、實用性強，可隨意更改單位圓的等分份數，可反復演示作圖過程，有助于學生深刻理解正弦曲線的做圖原理與過程。

（2）制作步驟

①選擇“自定義工具欄→07新坐標系→新坐標系工具”（幾何畫板5.06中文版），建立坐標系，在坐標系控制菜單中選三角坐標系、隱藏網格，拖動x軸上的單位點，適當放大單位長度，選中x軸兩端的控制點，構造線段，線型選細線，顏色選黑色。繪制點F（6.28，0），連接OF，在線段OF上取一點G，度量點G的橫坐標得。依次選中原點O和單位點，選擇“變換→標記向量”，在x軸負半軸上取一點，選擇“變換→平移”，得點，構造以為圓心，為半徑的圓，圓上任取一點H。

②新建3個參數，n=12，表示等分份數，m=1，表示迭代次數，x=0，表示迭代初始點的橫坐標。將角度的單位改為弧度，計算弧度除以n，并將計算結果標簽改為p，得弧度。計算的值，得，在迭代次數m=1的標簽上單擊鼠標右鍵，選編輯參數，計算弧度的值，得到新的m的值，即為迭代次數。

③雙擊點，將圓上點H按標記角度弧度旋轉得點。度量點H的縱坐標，繪制點。構造線段，線型為實線、細線，顏色為黑色，構造線段HK，線型為虛線。分別過點K、H作x軸的垂線，構造垂線段并隱藏垂線。

④依次選中H點，x=0和迭代次數m=11（m的值隨G點改變）的標簽，按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，H點的初象選，x=0的初象選，單擊迭代按鈕。

⑤選中點H，選擇“編輯→從圓分離點”，再選中點，選擇“編輯→合并點”，將點H與點合并，隱藏點K、，隱藏坐標系控制菜單和迭代產生的表格。

⑥計算弧度，將結果標簽改為angle，雙擊圓心，將按標記角度angle旋轉得點M，過M點作x軸的垂線段MN，線型為實線、中等，顏色為紅色。計算的值，繪制點，構造線段LG。

⑦在線段OF上取一點P，度量點P的橫坐標，計算，繪制點 依次選中點P、Q，選擇“變換→自定義變換”，名稱取默認值，構造線段OQ，選擇“變換→P→Q的變換”，并將線段OQ隱藏。

⑧標記向量OF，依次選中點G、F，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，所得按鈕標簽改為“移線描點”，依次選中點P、F，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，所得按鈕標簽改為“平滑連線”，修改點Q的標簽，輸入英文狀態下的“！”，字型為“windings2”，字號為“48”，加粗，顏色為深綠色，這時點Q的標簽為一支畫筆。

⑨依次選中點G、O，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，得“移動G→O”的一個按鈕。依次選中點P、O，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，得“移動P→O”的一個按鈕。選中這兩個按鈕，選擇“編輯→操作類按鈕→系列”，并將所得新按鈕的標簽改為“做圖復位”，將原兩個按鈕隱藏。隱藏無關的點與度量值，隱藏、F兩點的標簽，最后效果如圖3所示。

由以上案例可以看出，靈活運用幾何畫板的深度迭代功能制作課件、輔助教學，能有效彌補傳統教學手段的不足，在幫助學生理解概念、性質，詮釋抽象定義，印證數學猜想，揭示數學本質等方面具有很好的作用。endprint