一類非完整系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制

張宇

摘 要 本文研究一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間控制問(wèn)題。為了使此類非完整系統(tǒng)各狀態(tài)能夠更快收斂至平衡狀態(tài)，本文利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器，使得非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)在所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器的作用下，通過(guò)有限次切換，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。

關(guān)鍵詞 非完整系統(tǒng) 有限時(shí)間控制 state-scaling 增加冪積分技術(shù)

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Finite Time Stabilization Control of Nonholonomic Systems

ZHANG Yu

（School of Mathematics， Liaoning University， Shenyang， Liaoning 110036）

Abstract This paper studies a class of finite time three-dimensional nonholonomic chained system control problem. In order to make a complete system to such non-state faster convergence to equilibrium， we use state-scaling and increasing the power of integration technology， we propose a switching control strategy based on the finite time stabilization controller makes nonholonomic chained systems the limited time the role of stabilizing controller design， finite switching times， each state of the system can converge to the equilibrium point from any non-equilibrium position for a limited time.

Key words nonholonomic systems； limited time control； state-scaling； increase the power of integrating technology

0 引言

近幾年來(lái)，由于非完整系統(tǒng)運(yùn)用在許多力學(xué)系統(tǒng)的描述中，因此對(duì)于非完整系統(tǒng)的控制與鎮(zhèn)定問(wèn)題的研究受到了廣泛關(guān)注。由Brockett定理可知非完整系統(tǒng)不存在光滑的時(shí)不變狀態(tài)反饋控制律。因此，對(duì)于非完整系統(tǒng)的控制問(wèn)題研究的主要困難之一就是不存在光滑甚至連續(xù)的反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。所以，尋求新的設(shè)計(jì)方法成為備受關(guān)注而又十分困難的課題。

本文針對(duì)一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器，并證明了非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)在所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。與文獻(xiàn)【2】中提出的控制器相比，本文提出的有限時(shí)間切換控制器能夠更快、更準(zhǔn)地將系統(tǒng)各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。

1 問(wèn)題描述

本文下面一類非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)：

（1）

其中：，，為狀態(tài)變量，，為控制輸入。

針對(duì)此類系統(tǒng)，設(shè)計(jì)切換的狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)的狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡位置。

注1：在實(shí)際中有很多機(jī)器控制的非完整系統(tǒng)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)化成本文研究的這種系統(tǒng)，例如，獨(dú)輪自動(dòng)小車、滾動(dòng)的圓盤系統(tǒng)、雙輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人、自動(dòng)雙輪啟動(dòng)機(jī)器。

定義1[1]：非線性自治系統(tǒng)

= （）， （2）

是有限時(shí)間穩(wěn)定的，是指系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn) = 0是有限時(shí)間收斂的，即存在一個(gè)原點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域和一個(gè)函數(shù)： | {0}→（0，），使得所有系統(tǒng)（2）從初始值出發(fā)的解（，）在[0，（）]內(nèi)是確定唯一的并且（，） = 0。這里（）稱為關(guān)于的停息時(shí)間。而系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的是指它是Lyapunov穩(wěn)定和有限時(shí)間收斂。

引理1：對(duì)于系統(tǒng)（2），如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)：→和實(shí)數(shù)>0，>0且（0，1）與一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域 使得（）≤- （）， （3）

那么，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

（）≤

定理1：在如下切換控制器作用下：

（1）當(dāng)|| + || + || = 0 時(shí)，

（2）當(dāng)|| ≠0， || + || ≠ 0時(shí)，

三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)（1）的狀態(tài)在有限時(shí)間收斂。

證明：情形一：（0）≠0。令。由系統(tǒng)，得

。

當(dāng)（） = -時(shí)，。

定義，， = 。系統(tǒng)（1）可表示為如下形式： （4）

定義（） = ， = = 。對(duì)于系統(tǒng)（4），有

（5）

令

并帶入（5），得。選取參數(shù) = 1， = ， = 。令

，則有：

取，

則

令， = ，

則。

根據(jù)引理1，可知系統(tǒng)（4）是有限時(shí)間穩(wěn)定的，

且

令（） = ，系統(tǒng)（4）在控制器 = = [1 + （1 + ） + ]的作用下，狀態(tài)，可在有限時(shí)間[0，]內(nèi)從非平衡點(diǎn)到達(dá)平衡點(diǎn)。將變量關(guān)系代入上式可以得到：

由（0）≠0， = - 在時(shí)間內(nèi)≠0而使得 = 0， = 0，即 = 0， = 0。此時(shí)系統(tǒng)在控制器的作用下，

狀態(tài)在[0，]時(shí)間內(nèi)由（0）≠0，（0）≠0，（0）≠0到達(dá)， = 0， = 0，其中（）≠0，[0，]。當(dāng)>時(shí)，對(duì)于（1），同樣應(yīng)用上面的方法。令，由引理1可得閉環(huán)系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間穩(wěn)定的，且停息時(shí)間為

。

令。當(dāng)[， ]時(shí)，取

那么，在[0， ]時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（1）在上述設(shè)計(jì)的切換控制器作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

情形二：（0） = 0 。令 = ， = ， >0， >0。當(dāng)>0時(shí)，有（） = ≠0，（） = ≠0。此時(shí)應(yīng)用情形一所設(shè)計(jì)的切換控制器可得閉環(huán)系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

2 結(jié)論

本文通過(guò)切換的控制器使得一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。在應(yīng)用本文中的控制器下能夠令三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間更短。使得系統(tǒng)的解更快地達(dá)到平衡點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1] Bhat，S.，Beernstein，D.（2000），“Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems”，SIAM Journal of Control and Optimization，38，751-766.

[2] 王軼卿，李勝，陳慶偉，侯保林.基于無(wú)擾切換的非完整系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器，南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（1）.