六種求三角函數最值的思維方法

張建祿

摘 要 三角函數是數學中重要的函數概念，它和其它數學知識有著密切的聯系，且常常在學習和研究其他數學知識時有著廣泛的應用。在三角函數的學習中，三角函數最值的求法有著重要的地位。在求三角函數最值時的正確思維方法對學好三角函數知識是有意義的。

關鍵詞 三角函數 最值 思維方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。三角函數是函數的一種重要的函數，三角函數的最值問題包括了對三角函數的概念、圖像、性質及誘導公式、同角三角函數間基本關系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數思想的具體體現，有廣泛的實際應用，一直是高考命題的熱點。我們從以下六個方面舉例介紹求三角函數的最值。

1 將已知函數轉化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數的最值

求三角函數的最值問題的主要依據就是正弦、余弦函數的值域。求三角函數的最值時，常常通過恒等變換，使它轉化為反含同名函數的各項。而恒等變換，一般要綜合運用同角三角函數間的關系、和角、半角、半角的三角函數及和差化積、積化和差公式等轉化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉化，問題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當 = （）時 = 1，當 = + （）時 = 。

2 應用平均值定理求最值

求函數 = （為銳角）的最大值。

解：∵ = >0

∴ = = 4·≤4（）3 =

∴當 = ，即 = 時， = 。

應用平均值定理求函數最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過分析將 （）放大或縮小成一個常數，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應用二次函數判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內角）的最大值。

解：原函數化為 = [ ]

∴ + 2 = 0

= 8 ≥0∴ ≤≤

當 = 時， = = ，

所以當 = = 時， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時，等號必須成立。

4 應用函數的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∴∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域為（，- ]∪[1，）。

5 應用函數的單調性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。∴ = + 。

6 利用數形結合

求函數 = 的最值。

圖1

解：原函數變形為 = 這可看作點（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動點，由圖1可知，過（-2，0）作圓的切線時，斜率有最值，由幾何性質得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見的求三角函數最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時， = 8。

當 = 1時， = 4。

方法三：利用函數的有界性，原式化為 = ，∵0≤≤1，∴0≤≤1解得4≤≤8，∴ = 8， = 4。

由上述例題可知數學問題形式多樣，千姿百態，不要墨守成規，往往用多種方法互相配合使用解答同一道數學題，不僅能更牢固地掌握和運用所學知識，而且，通過多種方法實現一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，這樣能夠提高自身思維能力。