二自由度無阻尼振動系統(tǒng)主振型概念辨析

李天勻，李 威，朱 翔

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

二自由度無阻尼振動系統(tǒng)主振型概念辨析

李天勻，李 威，朱 翔

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

主振型是結(jié)構(gòu)動力學(xué)課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動特性時引入。教科書中假設(shè)的振動位移幅值為正，但推導(dǎo)出的主振型中存在幅值比為負的問題。針對這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

自由度；無阻尼振動；圓頻率；振型；特征值；特征向量

結(jié)構(gòu)動力學(xué)是力學(xué)、機械、土木、航空航天、船舶等專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動特性時引入，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學(xué)內(nèi)容的順利進行，也說明力學(xué)類課程對數(shù)學(xué)知識有很大的依賴性，應(yīng)加強數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，以深入理解豐富的力學(xué)內(nèi)涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡化推導(dǎo)，以二自由度振動系統(tǒng)為例。其他多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動機理類似于二自由度系統(tǒng)。在圖1所示的二自由度系統(tǒng)中，考慮無阻尼自由振動，則剛體動力學(xué)方程為：

圖1 二自由度無阻尼振動系統(tǒng)

圖2 主振型形狀

二、存在的問題

兩個質(zhì)點的振動位移一般假設(shè)為式（4）所示的簡諧形式，在該式中，系數(shù)A1、A2為振幅，是大于零的代數(shù)值，其比值必須為正數(shù)。而在主振型的推導(dǎo)中，則出現(xiàn)了如式（10）所示的負數(shù)。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)教學(xué)中，這是一個令學(xué)生困惑的問題，而相關(guān)的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經(jīng)過分析，認為問題出在對代數(shù)方程（5）的求解、分析過程中，其本質(zhì)是一個數(shù)學(xué)問題。二個振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數(shù)矩陣的特征值即固有頻率相關(guān)，主振型實質(zhì)上是特征向量的基礎(chǔ)解系（基向量）。按照矩陣?yán)碚揫5]，一個矩陣可當(dāng)作一個線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個線性變換對一些非零向量的作用是否能夠相當(dāng)于一個數(shù)乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡諧形式實際上只表示了同相振動，與首階固有圓頻率對應(yīng)的第一主振型是與同相振動對應(yīng)的特征向量。如假設(shè)為反相振動形式：.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：（13）.上式中的系數(shù)矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時得到的與二階固有圓頻率對應(yīng)的主振型為：（14）.它表示反相的振動。這樣就合理解釋了負值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學(xué)中一方面要通過具有物理意義的驗根過程檢驗結(jié)果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數(shù)學(xué)意義闡述結(jié)果的完整性。這樣才能準(zhǔn)確地解釋振型的同相振動（正值）與反相振動（負值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學(xué)中存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維。

本文的分析針對目前教材中關(guān)于主振型存在同相與反相振動的事實與假設(shè)振動位移同相振動相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關(guān)系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學(xué)中應(yīng)有機結(jié)合學(xué)生前期學(xué)習(xí)過的工程數(shù)學(xué)課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在物理、材料、力學(xué)等方面都有重要的應(yīng)用。特別是在結(jié)構(gòu)振動領(lǐng)域，固有頻率與主振型就反映了二者的內(nèi)在聯(lián)系，或者說“有振動的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識的傳承性，又進一步強化了數(shù)學(xué)工具的重要性。

[1]鄒經(jīng)湘.結(jié)構(gòu)動力學(xué)[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結(jié)構(gòu)動力學(xué)[M].第二版.王光遠，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動學(xué)[M].上海交通大學(xué)出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數(shù)方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學(xué)出版社，2010.

G642.0

A

1674-9324（2014）29-0090-02

本文受湖北省教育廳項目資助。

李天勻，男，教授，從事結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制研究。