小學數學教學原則簡論

胡重光

（湖南第一師范學院教育科學系，湖南長沙410205）

小學數學教學原則簡論

胡重光

（湖南第一師范學院教育科學系，湖南長沙410205）

小學生的思維處于具體運算或前運算階段，小學數學以合情推理為主，教學內容基本上按照兒童的認知發展過程編排。根據兒童的思維發展水平、數學認知特點和我國小學數學教育的具體情況，小學數學教育應遵循從具體水平開始教學的原則、從兒童的數學現實出發的原則、以理解為基礎的原則和數學活動教學原則。

小學數學；教學原則；數學現實；數學活動教學

一、問題的提出

教學原則反映了人們對教學活動的本質特點和內在規律的認識，是指導教學工作有效進行的行為準則，對教學質量和教學效率發揮著重要的保障性作用。可以說，教學原則是教師教學的“章程”。

然而，只要經常關注各種教育類雜志就不難發現，研究者很少提及教學原則，數學教學原則更少，小學數學教學原則更是幾乎無人提及。在高師的小學數學教學論之類的課程中，小學數學教學原則應該是一項課程內容，但是并沒有得到重視。例如各高校使用較廣泛的教材中，馬云鵬的《小學數學教學論》（2006）和宋乃慶、張奠宙的《小學數學教育概論》（2008）都無教學原則的內容。因此，可以說，我國的小學數學教育有課程標準，卻無教學“章程”可循。

二、學科教學原則的特點

教學原則雖然是教學規律的反映，但是教學規律很多，并非凡是反映了教學規律的就可以作為教學原則。例如教學必然受到時間、空間的限制；必然受到經濟條件的制約；必然受到物資條件的制約；必然受到家庭和社會的影響等等，都是客觀存在的、不以人的意志為轉移的規律，但并沒有作為教學原則提出來。作為學科教學原則，應具備以下特性：

(1)科學性。教學原則的科學性即教學原則應符合教學規律，應是教學規律的反映，這是基本的一條。

(2)學科性。即學科教學原則應體現該學科的特點。學科教學原則不僅來源于教學規律，還來源于學科特點。例如弗賴登塔爾提出的數學化原則、嚴謹性原則，都是根據數學的學科特點提出來的。弗賴登塔爾的一個重要觀點是：與其說是學習數學，不如說是學習數學化。而嚴謹性是眾所周知的數學的突出特點。張奠宙教授指出，不應把教育學的一般原則在數學教學原則中重復提出，數學教學原則應反映數學教學的特點和規律[1]。

（3）針對性。即教學原則應針對當前教學中存在的實際問題。這一特點在現代教學論三大流派之一的贊科夫的教學原則中體現得最鮮明。贊科夫提出了五條教學原則，頭兩條是：以高難度進行教學的原則、以高速度進行教學的原則。贊科夫為什么會這樣“走極端”呢？原因是當時蘇聯教育界片面強調教學的可接受性和鞏固性，導致教學內容過于淺顯，重復多，進度慢。也就是說，贊可夫提出這兩條原則是有很強的針對性的。

三、小學數學教學原則

小學數學教育與中學數學教育具有一些本質性的區別。首先，小學生的思維處于具體運算或前運算階段，而中學生的思維則已進入形式運算階段，這兩個階段的兒童思維有本質的不同。其次，小學數學以合情推理為主，基本上沒有演繹推理，教學內容基本上按照兒童的認知發展過程編排；中學數學則以演繹推理為主，教學內容基本上按知識的邏輯體系編排。例如中學幾何是按照點、線、面、體的順序安排的，小學的幾何部分則首先安排立體圖形的認識。這些因素決定，中學的數學教學原則不一定適合小學；對于小學數學教育，僅有一般的數學教學原則是不夠的。

為了提出科學、適用的小學數學教學原則，遵循上述學科教學原則的三個特性，我們認真總結了長期的小學數學教學實踐，運用數學教育理論深入仔細地分析了我國目前小學數學教學的現狀和存在的問題，提出了以下四條小學數學教學原則。

（一）從具體水平開始教學的原則

兒童的數學學習可大致分為以下四種水平:

（1）具體水平。這一水平的學習有兩個特點，一是以實物為基本學習材料；二是以動手操作為基本活動方式。例如小學生用實物數數，通過操作小棒來做加法，通過折疊一張長方形的紙片來認識長方形的性質等，都是具體水平的學習。

（2）半具體水平。這一水平的學習材料是象形的圖，例如小學數學教材中出現的各種人物圖、水果圖、小動物圖等等，都是半具體水平的學習材料。學習方式則是觀察，例如一張圖上畫有一株樹，樹上有5只小鳥，還有3只小鳥正在飛過來。小學生通過觀察這張圖得出5只小鳥加上3只小鳥等于8只小鳥。這種學習就是半具體水平的學習。

（3）半抽象水平。這一水平的學習材料是一種代碼。代碼可以是圖，但這種圖不象形，例如用小圓圈來代表人，畫幾個小圓圈就代表幾個人，等等。代碼也可以是實物，例如兒童可以用小棒來代表各種事物；算盤上的一粒珠子也可以代表各種事物。

（4）抽象水平。這一水平的學習材料是符號，即數字、運算符號、字母等。抽象水平的學習主要通過抽象思維進行。

小學生的思維處于具體運算階段（近年來由于入學年齡提早，一部分一年級小學新生的思維還處于前運算階段），其思維要依賴具體事物，手是他們的第一感覺器官。因此，小學生的數學學習主要應該以動手操作實物的方式進行。

有一個教學實例生動地說明了小學生的認知不能只依靠象形的圖：教師出示圖1，向學生說明，圖中有4個小立方塊。但一位男生堅決認為只有3個，教師想了各種辦法都不能說服他。最后一位女生激動地沖上講臺，指著最上面的小立方塊說：“要是下面沒有一塊托著，它不就掉下去了嗎？”男生才恍然大悟。

圖1

這一原則的思想許多教育家都已提到。《美國現代小學數學》一書指出：小學數學教學的許多問題都是由不從具體水平開始教學引起的。“兒童在具體水平或操作水平階段，甚至在描述水平或畫圖水平階段，對概念還沒具有充分經驗之前，不宜于在抽象水平或符號水平學習什么概念。”[2]5“大多數兒童將在前運算階段進入學校，因此我們準備讓他們從頭開始，學習系統的思維方法。既然這種思維方法還沒有形成，教師開始必須從具體的基礎去教所有的概念。”[2]35

皮亞杰和一些西方心理學家進行了許多這方面的實驗，結果都表明，兒童要建立幾何表象，單憑知覺或視覺是不夠的，還必須有兒童對物體施加的動作。在這些實驗中，必要的動作就是兒童用手指或雙手沿著物體的輪廓運動，形狀正是這樣抽象出來的。但是如果兒童只是偶然地沿著一個物體的輪廓運動，那還是不夠的，還必須是有目的的、協調的動作。皮亞杰強調指出：“動作性的活動對于兒童理解空間觀念具有無比巨大的重要性。”[3]

動手操作對兒童的智力發展有很大作用，蘇霍姆林斯基對此有精辟的論述：“兒童的智慧在他的手指尖上。”[4]77“在手和腦之間，有著千絲萬縷的聯系，這些聯系起著兩方面的作用：手使腦得到發展，使它更加聰明，腦使手得到發展，使它變成創造的聰明的工具，變成思維的工具和鏡子。”[4]107“手所掌握的和正在學習的技藝越高超，兒童、少年和青年就越聰明，他對事實、現象、因果聯系、規律性進行深入思考和分析的能力就表現得越鮮明。”[4]77

貫徹這一教學原則要求教師準備恰當的、足夠的實物學具讓學生操作。《美國現代小學數學》指出，這些學具主要應該是兒童容易認識和熟悉的用具。對于我國兒童來說，可以是筷子、匙子、塑料杯、筆、本子、橡皮擦等等。教師應該精心設計、認真組織學生的操作活動。

（二）從兒童的數學現實出發的原則

大家知道，“數學現實”一詞是弗賴登塔爾提出來的，他認為：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的數學知識結構。這就是他的數學現實。

兒童也有自己生活和思考著的特定客觀世界，不僅如此，他們也有反映這個客觀世界的數學知識。城市學生絕大多數上過幼兒園，即使沒上幼兒園也能數一些數，有購物的經驗，接觸過貨幣、重量、長度、時間等常見的量，觀察過各種形狀的體和面，等等。兒童的許多生活和游戲的經歷都與數學有關。這些就是兒童的“數學現實”。兒童不是從零開始學習數學的，小學數學教學的起點應該是每一個兒童的數學現實，而不是數學知識的邏輯起點。

兒童的數學現實對其數學學習有重大影響，并為數學教育界所高度重視。我國的《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《數學課標》）指出：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎”[5]3，“教師應注意數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生學科知識的聯系”[5]45。《美國現代小學數學》指出：“促使兒童通過他們自己的經驗去發現什么，這是現代數學教學的主要特征之一。”[2]5“小學啟蒙數學教學大綱應該從幼年兒童學前特有的數學經歷開始。應該把現實世界形成的情景呈現在教室里。”[2]36“在開始講授之前，教師必須考慮每個兒童的學前經歷和能力。”[2]35美國著名教育家奧蘇伯爾指出：“影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。”[6]

為什么兒童的數學現實對他們的數學學習如此重要呢？原因主要有三：

（1）重復已經知道的東西兒童不會感興趣。

（2）兒童是在他們已有知識和經驗的基礎上進行學習的，新知識只能通過同化或順應來獲得。

（3）數學源于生活，用于現實，兒童的生活經驗有助于他們對數學的理解；聯系生活實際能激發他們學習數學的興趣。

我國的小學數學教材都是從數學知識的起點開始安排教學內容的，并且一年級新生是從零開始學習數學的。而由于我國幼兒園教育普遍小學化以及家庭的早期教育，許多小學新生幾乎學完了一年級的數學知識，這就給教師的教學帶來了困難。如果原原本本地按照教材的安排教學，孩子們就會失去學習的興趣。因此，教師在教學新知識時，首先應通過各種途徑了解學生已有的知識和經驗。讓孩子們說出他們已經知道的東西是一個很好的方法，因為孩子們都樂意展示自己的知識和才能，交流又使他們能相互學習，并大大提高他們的學習興趣。例如對剛入學的孩子應讓他們數數，以了解每一個孩子能數到多大的數；讓他們說出自己會做哪些計算；學習方位知識時先不要講授，而讓學生充分地說出他們知道哪些方位知識，用上下、左右、前后來描述方位等；學習時間的知識時，讓學生說出他們知道的時間單位、有關鐘表的知識、怎樣看鐘表等。

（三）以理解為基礎的原則

數學是一門邏輯性很強的理論性科學，因此理解在數學學習中極其重要。《數學課標》指出：“學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎”。[5]3“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”[5]44

《美國現代小學數學》指出：“這里是要求記憶和訓練都必須在理解了基本法則和計算步驟（算法）之后才進行。如果學生不懂得這一點，就不大可能在數學上有很大的進展，也不可能把所學到的數學知識應用于解決重要的實際問題。”[2]45《美國學校數學教育的原則和標準》一書認為：“學生必須理解地學習數學，在經驗和先前知識的基礎上，積極主動地掌握新知識。”[7]21“從兒童最早期的數學學習，就應該幫助他們理解需要根據理由作出結論。這樣做是十分重要的。”[7]53

蘇霍姆林斯基一再強調：要思考，不要死記！他指出：“對于沒有充分思考過的規則進行死背，只能獲得表面的知識，而表面的知識是很難在記憶中保持的。”[4]132他在《給教師的建議》中介紹了優秀教師雷薩克是怎樣教算術規則的：“她向兒童提出的目的是要記住這條規則。但她首先努力做到使兒童深刻理解這一規則的實質。然后，當兒童透徹理解了這一規則后，她就提出一系列例子讓兒童去反復理解和反復思考。”[4]133

由此可見，東西方的小學數學教育都十分重視理解。為什么理解對學習數學如此重要呢？除了數學本身的特點外，至少還有以下幾點理由：

（1）死記硬背式的學習機械、枯燥，會扼殺兒童的數學學習興趣。

（2）理解是比記憶和按程序操作更高層次的思維，能培養兒童的思維能力；只讓兒童記憶和按程序操作難以提高兒童的思維能力。

（3）理解是應用的基礎，不理解就不能靈活應用；理解也是創新的基礎，不理解就不能創新。

貫徹這一原則不但要求教師在教學中將理解作為基本目標，而且要求教材的編排要有理有據，并符合兒童的數學認知規律和數學現實。后者顯然更為重要，因為教材是教師教學的藍本。下面我們以人教版小學數學教材“分數乘分數”為例來說明這一點。

解答的過程是：

那么我們能否使兒童理解分數乘分數的意義和計算法則呢？回答是肯定的。按下面的安排，就可以很自然地做到。

分數乘分數是一種新的運算，不能按照“同數連加的簡便運算”來理解，其意義須重新定義。對于小學生，可以通過實例來使他們懂得新運算的意義，例如：

這個問題的數量關系是：

耕地總數＝每小時耕地數×耕地時間

學生首先想到的算法可能是：

這樣就會出現一個問題：平分3份得不到整數。但是把一個分數的分母擴大2倍，這個分數就縮小2倍，于是我們得到算法：

這是有一個分數的分子是1的兩個分數相乘，下面再看兩個分數的分子都不是1的乘法，例如：拖拉機每小時耕地公頃，小時耕地多少公頃？

最后即可總結出分數乘分數的計算法則。這里的教學要點有二：一是用實際例子來說明分數乘法的意義，二是將分數乘法與整數乘法作類比。這兩點正體現了兒童的數學現實和認知特點。

由此可以看到，以理解為基礎的教學是比較復雜的。但是我們要培養兒童的數學興趣和解決問題的能力，舍此別無他途。

弗賴登塔爾提出了“嚴謹性”的數學教學原則。嚴謹性是數學的特點，但是他認為，數學的嚴謹性有不同的級別，在教學中應根據不同階段的學生的數學現實和理解能力來確定適當的嚴謹性。按照這種思想，則小學數學也有自己的嚴謹性。《數學課標》提出的使學生理解數學知識、理解技能操作的程序和步驟的道理，就是小學數學的嚴謹性的體現。

在我國目前的小學數學教學中，死記硬背、盲目模仿的現象仍然相當普遍，是我國當前小學數學教學的主要問題之一。解決這一問題的首要措施，應該是在教材上下功夫。

（四）數學活動教學原則

“數學活動”是數學教育的一個重要概念。蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾的一個重要思想是：“數學教學是數學活動的教學”[8]，其基本含義是，教師應通過數學活動來“教”數學，而學生則在數學活動中學習數學。弗賴登塔爾認為，“要實現真正的現代數學教育，必須以根本不同的方式來組織教學，……應當組成混合的學生小組。”[9]這種小組學習也就是數學學習活動的基本形式。

我國的《數學課標》將“基本數學活動經驗”作為數學學習的“四基”目標之一，并指出：“學生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數學思考、問題解決和情感態度方面得到發展。”[5]44《數學課標》中提到的數學活動有觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等。

數學活動有兩個基本特點：主動性和合作性。也就是說，數學活動是學生的一種主動的合作學習。這種形式的學習對兒童特別適合和有效。在合作學習中，小組成員之間不可避免地會出現不同看法，而兒童之間的認知矛盾對數理邏輯知識的發展是必不可少的。據《怎樣教幼兒學數》一書介紹，佩雷特和克拉蒙特在1980年用實驗證明了兒童之間的相互影響的重要性。他們將處于前運算階段的兒童分成三人一組進行實驗，使實驗組出現意見不一致，并要求他們努力在10分鐘內解決分歧。對比組則沒有這種機會。結果發現，這種活動可以促進實驗組兒童的推理以及建立新的關系，其思維水平比對比組要高一級[10]40。

出現沖突的情境而讓兒童自己協商解決，特別能激發兒童的思維。因此當學習小組出現不同意見時，教師不要輕易發表自己的意見，而讓學生自己去討論。在討論中，兒童要學習怎樣表達自己的思想，分析別人是怎么想的，以便說服別人，等等，這些都能有力地激發兒童的思維。《怎樣教幼兒學數》一書指出：“教數理邏輯知識的一個基本原則是，教師既不要強調正確答案，也不要糾正錯誤答案，而要鼓勵兒童彼此交換意見。”[10]39

數學活動教學的課堂有兩個基本特點：（1）教師將教學內容設計成幾個大的學習活動，教學過程就由學生的活動組成，教師只是活動的組織者和參與者；（2）學習活動的形式是小組合作學習。我們舉一個案例來說明。

這一年我有一個星期代替一位一年級老師上數學課，這位老師有個習慣，每次上課之前她總要在黑板上寫幾道題讓來校較早的學生在上課以前做，一般是十以內的加減法，很少超過10，從來沒有超過20。

一天我忘了在黑板上出題目，有兩三個孩子進了教室，一看黑板上沒有題目。想了一會，問我能不能讓他們把問題寫在黑板上。我說：“可以，寫吧。”他們開始出了一些和往日相仿的題，接著膽子大起來了，出了象70+20=？這類題目。在計算的時候他們經常發生爭論，但總是要等到他們確實知道該怎么做時方肯罷休。他們往往能在短時間內就取得一致意見，而他們所同意的答案總是對的。……他們很少前來要求我幫忙，只有在他們爭論不休時，他們中間一部分人確信自己是對的，在那種情況下才來問我。過不久他們開始做200+400，甚至235+500或340+420之類的題目。一步一步地他們的題目愈來愈復雜，孩子們——不是全部，但數目相當大——自己研究出絕大部分加法的運算法則。在一個星期之內——每天只用幾分鐘時間做這類題目——他們完成了學校準備花幾年教他們的內容。

一星期過去了，我離開了這個班……但是據我所見，使我感到，如果數學是按照它的本來面目來對待的話——一個可供探索的領域而不是去學一大堆干巴巴的事實——孩子們，至少是許多孩子們，將以我們難以置信的速度進入這個領域[11]。

這是一項兒童自發的數學活動，但具備數學活動教學的基本特點，取得的效果卻是驚人的。從這個案例可看出，活動教學具備以下優點：

（1）全體性。即全體學生都在小組中參加數學活動；

（2）自主性。學生可以自主決定學習方法、學習進度，甚至決定學習目標和學習內容；

（3）探究性。教師不解釋、不示范，學生自己提出問題、分析問題、解決問題；

（4）合作性。學生之間有交流、討論、分享，完成共同的學習任務。

我國目前雖然有杜郎口中學、芳草小學等學校實行小組合作學習，但遠沒有實現廣泛的共識。普遍的小學數學課堂教學基本模式仍然是“問答式”，即教師不斷提出問題，一個一個地叫同學回答，在問答的過程中插入講解。這種模式有不少弊端：

（1）一節課有機會回答問題的只有少數學生，經常回答問題、與教師互動的主要是少數優生。

（2）課堂上只有教師與少數學生的互動，沒有學生之間的合作、交流和分享。

(3)為了使課上得順利，教師提的問題往往很簡單，思考性不強，學生的思維能力就得不到鍛煉。

(4)由于問題簡單，一節課40分鐘的提問多達數十個甚至超過100個，教師的頻繁提問剝奪了學生思考、操作、交流……的時間和空間。

以上提出的小學數學教學的4條教學原則，希望能夠得到教師和專家們的批評指正，如能起到一個拋磚引玉的作用，我們將感到十分欣慰。

[1]張奠宙.數學教育學[M].南昌:江西教育出版社,1991:21.

[2][美]J.W.海敦斯.美國現代小學數學[M].武漢:華中師范大學出版社,1989.

[3][美]R.W.柯普蘭.兒童怎樣學習數學——皮亞杰研究的教育含義[M].上海教育出版社,1985:264.

[4][蘇]蘇霍姆林斯基.給教師的建議(上)[M].北京:教育科學出版社, 1981.

[5]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京:北京師范大學出版社,2012.

[6][美]D.P.奧蘇伯爾等.教育心理學——認知觀點[M].北京:人民教育出版社,1994.

[7]全美數學教師理事會.美國學校數學教育的原則和標準[M].北京:人民教育出版社,2004.

[8][蘇]A.A.斯托利亞爾.數學教育學[M].北京:人民教育出版社, 1984:10.

[9][荷]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海上海教育出版社,1995.

[10][美]康斯坦斯·凱米依.怎樣教幼兒學數[M].南京:江蘇教育出版社,1986.

[11]兒童怎樣學習（選自胡夢玉主編《小學數學教學法》。原文摘譯自:John Halt《How children learn》P.123-124）

On the Principle of Math Teaching in Primary Schools

HU Chong-guang
(Department of Educational Science,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205)

Due to the fact that the pupils’way of thinking is in the calculation or pre-calculation period,Math teaching in primary school should rely on reasonable inference and accord to the cognitive development process.According to the development level of pupils’thinking and cognitive features of Math and the specific situation of primary Math education in China,primary Math teaching should follow the principle of beginning with specific level,the principle of starting with children’s Math learning status,understanding-based principle and the principle of Math activity teaching.

primary Math;teaching principle;Math status;activity teaching

G623.5

：A

：1674-831X（2014）01-0010-06

[責任編輯：劉濟遠]

2013-11-19

湖南省省級重點建設學科“課程與教學論”建設項目資助；湖南省普通高等學校省級精品課程“小學數學教學論”(湘教財指[2011]93號)；湖南省教育科學規劃課題“小學數學課程標準實驗教材研究”(XJK013CJC004)

胡重光（1950-），男，湖南道縣人，湖南第一師范學院教授,主要從事數學研究。