新課程標準下小學概率教學探究

李明亮，曾 鵬，楊夢霞

(1.湖南第一師范學院數學系中國長沙410205；2.廣東省中山市三鄉鎮大布學校，廣東中山528463；3.廣東省中山市青少年活動中心，廣東中山528403)

隨著計算機技術的快速發展和應用，各種信息量正在快速增長。面對大量紛繁復雜的信息，需要人們能及時收集信息，正確整理好各種數據，并對數據進行分析，以找出各種數據所反映出的事物本質規律，從而對現在的發展作出正確的評價，對未來作出正確的預測，而這其中涉及大量與統計、概率有關的數學知識。事實上，學會處理數學信息已成為信息時代每一個公民的基本素質，統計與概率知識技術將越來越重要。

《數學課程標準》在研制過程中，將統計與概率作為數學教育的四大領域之一，這足以說明其教育價值的重要性。小學數學新課標于2011年進行了修改，由2001年版的“三維”目標改為現在的知識與技能、數學思考、問題解決、情感態度“四維”目標[1]。因此，這就要求教師在教學過程中，必須“與時俱進”，更新自己的知識體系，吃透教材，正確把握每個知識點的理論背景和實際含義，以適應新課程標準的要求，適應學生發展的需要，準確無誤地教會學生。

本文以新《課標》為依托，結合筆者多年教《概率論與數理統計》的經驗，以及這幾年“國培”的經歷，就小學數學概率教學作了一些嘗試與探索。筆者認為，在教學過程中，要把小學概率知識點講清楚，需從以下幾個方面著手。

一、隨機現象

（一）現象的分類

任何的研究都是從社會和自然現象開始的，從數學的角度，這些現象分為以下三類：

1.確定現象。在一定條件下必然發生的現象，稱之為確定現象，即在相同的條件下重復進行試驗，它的結果總是肯定的。如：在一個標準大氣壓下給水加熱到100℃便會沸騰；太陽每天都是從東方升起，西方落下；在地球上向上拋出的重物必然落下等等，這樣的現象在我們身邊到處可見。

2.隨機現象。在一定條件下可能出現這樣的結果，也可能出現那樣的結果的現象，稱之為隨機現象，即在相同條件下重復進行試驗，每次結果未必相同，或知道事物過去的狀況，但未來的發展卻不能完全肯定。如：以同樣的方式拋硬幣卻可能出現正面向上也可能出現反面向上；走到某十字路口時，可能正好是紅燈，也可能正好是綠燈；擲一顆勻質骰子，擲出的點數可能是1,.2,…,6中的任何一個；一箱子里裝有紅、黃、綠三種不同顏色的同質小球各1個，從中隨機摸1個，則摸出來的可能是紅色、黃色或綠色等等，這樣的現象在我們身邊也到處可見。

(3)模糊現象。事物本身的含義不確定的現象。如：“情緒穩定”與“情緒不穩定”，“健康”與“不健康”，“年青”與“年老”等等。

（二）現象之間的關系

確定性現象與隨機現象的共同特點是事物本身的含義確定；隨機現象與模糊現象的共同特點是不確定性，但隨機現象是指事件的結果不確定，而模糊現象是指事物本身的定義不確定。

（三）研究現象的目的

為什么要研究這些現象呢？那就是要通過研究，找出現象所反映的本質，把現象運行的規律找出來。

人們對確定現象的研究，獲得了許多規律，比如：牛頓的運動學理論，萬有引力定律，愛因斯坦的相對論，物體的熱脹冷縮原理、質量守恒定律等等。

隨機現象雖然給人的感覺是“純屬偶然”、難以捉摸，似乎沒有規律可言，但事實上人們發現很多隨機現象依然存在固有的規律，這種規律體現在對同一隨機現象的重復觀察之中，我們對隨機現象的研究，就是要把這些規律找出來，而在數學中，這些規律就是概率，比如我們常說的拋硬幣，出現正面的概率為0.5，擲骰子，出現1,2,…,6的概率均為等。

（四）隨機實驗

研究隨機現象，就是要把隨機現象的規律找出來，而要找出這些規律，首先要對研究對象進行觀察，我們把對隨機現象的觀察或為觀察隨機現象而進行的實驗稱為隨機試驗。隨機試驗應具備以下三個特征[2]：

(1)可在相同的條件下重復進行；

(2)實驗的結果至少有2個，并且事先知道所有可能的結果；

(3)實驗之前，至于出現哪一個結果，事先并不知道。

例：一箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則這個實驗就是隨機實驗。

二、可能性

在研究隨機現象時，要對隨機現象進行隨機試驗，每次試驗出現的結果是隨機的，我們把描述這些出現隨機結果的工作稱為隨機事件。在每次試驗中，某一隨機事件可能發生，也可能不發生，在《概率論與數理統計》中，描述隨機事件發生可能性大小的數量指標就是概率，英文為probability。在小學課本中，沒有出現概率這個概念，而是可能性，從上述定義知，概率即就是可能性，它們在本質上是相同的。對可能性的教學，應突出以下幾個方面：

（一）可能性的存在

可能性是事物（隨機現象）的本質特性，是客觀存在的，不以人的意志為轉移的，一旦某一事物給定，可能性也就確定了。比如：姚明和易建聯，只要他們的各種條件確定，他們的投籃命中率就已經確定，是各不相同的；再如，箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則不管怎樣摸，摸出紅球和白球的可能性是確定的。

（二）可能性的大小

對某一事件而言，該事件發生的可能性是有大小關系的，事件不同，發生的可能性大小也不同，事件發生的可能性大小為[0,1]里的一個數，最大為1，最小為0。

（三）可能性的可度量性（計算）

事件發生可能性大小是可以度量的，度量事件（隨機現象）發生的可能性是《概率論與數理統計》的核心任務，度量事件（隨機現象）發生可能性大小也是一件很難的事情。人們在研究概率的過程中，先后經歷了許多階段，出現了相應的研究方法，歸納起來主要有頻率法、古典法、幾何法等，這些在后面會具體研究。

三、可能性的幾種定義

在小學概率的學習中，所涉及的隨機現象都基于簡單事件：所有可能發生的結果是有限的或無限的，每個結果發生的可能性是相等的，我們把這樣的事件稱為等可能事件。

（一）古典定義

滿足下列兩個條件的概率模型為古典概型：

(1)每個結果出現的可能性是相等的，即為等可能型；

(2)隨機試驗中出現的所有可能的結果（即基本事件）只有有限個，則事件A發生的概率為（其中n為所有可能的結果總數，m為A包含的結果數）。

比如，一箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則摸到紅球的概率為。

（二）幾何定義

滿足下列兩個條件的概率模型為幾何概型：

如圖5所示，光鏡下觀察小鼠腎上腺結構，腎上腺皮質由外向內依次為：球狀帶、束狀帶、網狀帶，對照組球狀帶排列成襻狀、圈狀或者籃狀；束狀帶向心性排列成束狀；網狀帶細胞排列成網狀。與對照組比較，抑郁癥組和BCRD模型組出現不同程度的束狀帶變寬，細胞增大，網狀帶的細胞相互吻合成更密集的網狀結構，并且出現了細胞排列疏松且散亂，細胞間隙變寬，細胞核固縮和深染，胞漿空泡增多等現象，提示皮質功能處于亢進狀態。

(1)每個基本事件出現的可能性是相等的，即為等可能型；

(2)隨機試驗中出現的所有可能的結果（即基本事件）有無限個，則事件A發生的概率為

（其中S為隨機實驗所有可能的結果所對應的幾何圖形的面積,SA為事件A所對應的幾何圖形的面積。）

比如，若在圓心處釘一指針（見圖1），隨意轉動圓盤，停止轉動后，指針指向B區域的概率是0.4.（其中A區域占25%，B區域占40%，C區域占35%）

圖1

（三）統計定義

統計定義就是用頻率定義概率。一個事件A所發生的頻率是指在某次實驗中，事件A發生的次數nA與實驗總次數之比，即

用頻率去估算概率是人們早期研究概率的主要方法，比如，拋一勻質硬幣出現正面的概率為0.5，人們最早就是從拋硬幣的實驗中計算出現正面的頻率，再根據頻率的變化規律得到的。

（四）三種定義之間的關系

(1)這些定義都建立在等可能概型基礎之上的，都是人們在認識、探索概率過程中出現的幾個階段。

(3)古典定義和幾何定義都可用統計定義來證明，因此，統計定義是整個定義中最基礎的。

四、新課程標準下小學概率教學策略

小學階段學習統計與概率的目的主要是：引導學生用隨機的觀點來理解現實世界，初步掌握收集、整理、描述和分析數據的方法，逐步形成統計的觀念；通過統計與概率的學習，幫助學生認識人、自然和社會，在面對大量數據和不確定情境時制定較為合理的決策，提高解決問題的能力[3]，因此，在教學中應突出以下幾點：

（一）認識隨機現象時，重復實驗的次數要多些，以充分體會各種不同的情況，全面了解隨機的含義

現行新課標要求在教學中讓學生積累豐富的數學活動經驗，從而加深對數學思想的體會與理解。以“拋硬幣”教學為例，學生的元認知也是建立在樸素的生活經驗上的，如：拋硬幣可以在足球比賽中可以用來選場地、乒乓球比賽中決定誰先發球等。至于拋硬幣為什么公平，每面朝上的可能性是不是均為二分之一學生是不理解的。那這節課到底要帶給學生怎樣的思考？筆者認為在學生樸素的生活經驗上滲透統計與概率思想應該是這節課幫助學生著重解決的問題。在教學中把班級分成若干個小組，讓每個小組進行拋硬幣的活動，再讓每個小組匯報收集的數據，在收集所有小組數據的基礎上幫助學生建立一個總表：把所有正面、反面的次數相加，從而幫助學生從生成的數據中分析正面與反面的可能性是否真的各占二分之一。通常教學中，這樣隨機收集的數據正反次數是不相同的。抓住數據的差異，追問同學們為什么足球、乒乓球比賽中還選擇拋硬幣呢？不是從數據中得出正、反的可能性不相等嗎？從而幫助學生分析理解數學中的“隨機”，是理論上的相等，而不是現實中的一定。然后再相繼介紹：做過這個實驗的數學家還不少，蒲豐、德·摩根、費勒、皮爾遜、羅曼諾夫斯基。為了得到盡可能精確的結果他們拋的次數很多，數學家們經過多次的統計結果證實了隨著拋幣次數的不斷增加，正面朝上的次數和反面朝上的次數就會越來越接近，說明正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。從而得出結論：拋硬幣的次數越多，正面朝上的次數就越接近拋硬幣總次數的一半。但所有這一切知識的獲得是建立在學生動手操作、收集、匯報數據基礎上的。

（二）同一個問題，用不同的定義去估算可能性的大小，幫助學生更好地理解

從不同的方法、不同的角度思考問題，從而實現學生對問題的理解，在這一過程中也體驗算法多樣化對結論的檢驗，以“摸球問題”教學為例：可用古典概率的方法來思考：枚舉所有可能，再找出問題中相應球的數量，用分數表示表示摸到球的可能性。也可以用幾何概率的方法：聯系扇形統計圖知識，把所有的可能性的和看成單位“1”，用一個圓形來表示。再引導學生按球的個數把圓形平均分成若干份，再根據題目要求涂色，選取的涂色部分占整個圓片的幾分之幾，用分數表示其可能性。還可以用統計的方法：如學生對前兩種方法都表示懷疑或不理解，可以讓摸一摸進行統計的方法來思考。以上列舉的古典、幾何、統計的方法為例，通過調用學生不同的知識經驗從不同的角度思考，無論是正常思考還是逆向驗證都是幫助學生更好的理解可能性教學。

（三）讓學生自己動手實驗，自己總結規律，以培養他們發現問題，歸納總結的思維能力

以“拋硬幣”、“摸球問題”的教學為例，只有學生充分經歷了數據的產生、數據的收集、數據的整理，才能從匯總的數據中進行分析和大膽的推測，才會有可能性教學的延續與發展。才能幫助學生理解現實中如中獎，轉盤等數學問題。又如2013年中山市五年級數學期末測驗卷中的一道題：在一次拋硬幣活動中，前4次正面朝上，后2次反面朝上，請問第7次正面朝上的可能性是（ ）。以筆者所在學校的班級為例，具備大量動手實踐操作的班級能輕松得出結論，因為在動手實驗時教師早已引導學生對每一次結果進行預測、分析，學生在思辨與反芻中早已明白答案為二分之一，但動手操作相對比較少的班級正確率還不到百分之六十。可知，學生的理解，是基于動手操作的經驗積累，是建立于直觀基礎之上的抽象學生才能很好的領悟。只是單一的說教，甚至事先把結論告訴學生，一遇到變式的題型學生很難理解，更不用說靈活運用知識，因為對可能性的內涵理解不清楚。所以說，小學階段的概率教學應當建立在學生充分實踐、充分操作的基礎上。

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育小學數學課程標準[S].北京:北京師范大學出版社.2010.

[2]齊民友.概率論與數理統計[M].北京:高等教出版社.20112:2.

[3]新課標下的教學設計[精][DB/OL].(2010-05-10).http://www.diyifanwenwan.com/jiaoan/jiaoxe/0812270648439 234557.htm.