凸模糊映射的幾種定義及其性質(zhì)

何 豆

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 重慶 401331)

凸模糊映射的幾種定義及其性質(zhì)

何 豆

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 重慶 401331)

在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，介紹了幾種常見(jiàn)的凸模糊映射的定義，同時(shí)，給出了在可微條件下凸模糊映射的一些性質(zhì)。并得到了凸模糊映射的等價(jià)刻畫(huà)。

凸模糊映射；可微凸模糊映射；下半連續(xù)；上半連續(xù)

一、預(yù)備知識(shí)

隨著模糊凸集研究的深入與發(fā)展，許多學(xué)者討論了模糊映射在模糊凸集上的凸性及其在模糊規(guī)劃中的應(yīng)用。凸模糊映射是模糊規(guī)劃中的重要內(nèi)容，因此，有必要進(jìn)一步討論模糊映射在凸集上的凸性及其性質(zhì)。本文主要從以下幾個(gè)方面展開(kāi)，介紹了不同條件下凸模糊映射的定義，分析了其相關(guān)性質(zhì)，給出了可微條件下凸模糊映射的等價(jià)刻畫(huà)。凸模糊映射的幾種定義：

1.1992年Nanda和Kar[1]，在引入?yún)^(qū)間數(shù)的定義及運(yùn)算法則之后，建立了由矢量空間到模糊數(shù)之間的映射，在此基礎(chǔ)上給出了凸模糊映射的如下定義：

定義1[1]設(shè)為矢量空間中的一個(gè)非空凸集，F(xiàn)∶C→E1為模糊映射，如果對(duì)任意的,有

則稱F為C上的凸模糊映射。

特別的，定義在凸集上的凸模糊映射是凸的當(dāng)且僅當(dāng)它的上圖是凸的。

2.1998年Nagata[2]將凸性和局部利普西茲連續(xù)兩個(gè)概念F(引ax入+到(1-模糊映射，通過(guò)規(guī)定模糊數(shù)的模糊最大順序:

給出了凸模糊映射的定義和局部利普西茲連續(xù)模糊映射的定義，同時(shí)也給出了模糊映射的局部利普西茲連續(xù)的基本定理。其中凸模糊映射的定義如下:

定義2[2]設(shè)Ω為Rn中的一個(gè)非空凸集，F(xiàn)：?→E1為模糊映射，如果對(duì)于任意的x, y∈?，及0≤a≤1，有F(αx+(1-α)y≤αFx)+(1-α) F(y)，則稱F為Ω上的凸模糊映射。

3.2002年， Hong和Xu在Goetschel和Voxman所給出的包含模糊數(shù)空間E1的空間

給出了模糊映射F:?→E1為凸的如下定義：

定義3 設(shè)Ω為Rn中的一個(gè)非空凸集，F(xiàn)：?→E1為模糊映射，如果對(duì)于任意的x, y∈?，及0≤l≤1，有，即

則稱F為Ω上的凸模糊映射。

定義4 設(shè)Ω為Rn中的一個(gè)非空凸集，F(xiàn)：?→E1為模糊映射，如果對(duì)于都是Ω上的凸函數(shù)，即對(duì)于有

則稱F為Ω上的凸模糊映射。

注：關(guān)于凸模糊映射的上述定義中，最常用且用起來(lái)最方便的還是定義4

定義5 設(shè)F: C→E1為模糊映射且x0∈C，若對(duì)任給的e＞0，都存在d＞0使得當(dāng)x∈C且時(shí)

1.如果F( x0)≤F( x)+e，則稱F在點(diǎn)x0處是下半連續(xù)。如果F在C上的每一點(diǎn)處都是下半連續(xù)，則稱F在C上是下半連續(xù)的。

2.如果F( x)≤F( x0)+e ，則稱F在點(diǎn)x0處是上半連續(xù)。如果F在C上的每一點(diǎn)處都是上半連續(xù)，則稱F在C上是上半連續(xù)的。

引理1 設(shè)F: C→E1為模糊映射，如果存在a∈(0,1)，使得對(duì)任意的x, y∈C，都有則集

在[0，1]中稠密。

二、主要結(jié)論

凸模糊映射的性質(zhì)。定理1：設(shè)F: C→E1為下半連續(xù)模糊映射，如果存在a∈(0,1)，使得對(duì)任意的x, y∈C，都有則稱F是C上的凸模糊映射。

所以由F的下半連續(xù)性，對(duì)任給的e＞0，存在N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)有

于是由ln∈A有，因此對(duì)任意的r∈[0,1]有

于是由ε的任意性，令n→∞則對(duì)任意的r∈[0,1]有

因此對(duì)任意的x, y∈C有

即F是C上的凸模糊映射。

定理2：設(shè)F: C→E1為上半連續(xù)模糊映射，如果存在a∈(0,1)，使得對(duì)任意的x, y∈C，都有則稱 是 上的凸模糊映射。

定理3：設(shè)C是閉集且F: C→E1為下半連續(xù)模糊映射，如果對(duì)任意的x, y∈C，都存在l∈(0,1)( λ取決于x,y)使得

則稱F是C上的凸模糊映射。

證明：設(shè)F: C→E1為下半連續(xù)模糊映射，則對(duì)任意的都是 上的下半連續(xù)實(shí)值函數(shù)，從而是Rn+1中的閉集。

O159.2

A

1000-9795（2014）08-000224-02

何 豆(1989-)，女，陜西興平人，碩士研究生，專業(yè)：運(yùn)籌學(xué)與控制論，研究方向：優(yōu)化理論與算法。