公元前6-17世紀數學方法發展研究

李 琦

（中國農業大學，中國 北京 100193）

伴隨人類認識能力的提高，科學方法在不斷地克服歷史局限性和人類認識能力局限性的基礎上朝前發展。在科學研究活動中，只有遵循一定的方法和原則才能獲得對自然界的深刻認識，因此我們可以說科學方法是研究人類如何更有效認識自然界的一門科學。數學方法作為科學方法中的重要組成，對科學研究活動有重大影響。每一次數學領域的重大突破，都成為科技進步的先導和基礎，數學史上的里程碑也大多是科學發展史上的里程碑。

1 公元前6-17世紀數學方法的產生與演進

16世紀，一種新的變換過程，即數學方法，被引入科學研究，使科學方法發生了變革，從而導致了近代科學革命。數學方法并不是某個時代特定的產物，而是隨著時間的積淀一步步發展成為重要的科學方法。在古代以直觀觀察和哲學思辨為主流的科學方法中，數學方法以處在萌芽狀態并不斷發展完善。

古希臘人繼承了古埃及和古巴比倫的輝煌文明，運用演擇推理的方法把幾何學的研究推進到系統化、理論化的程度，比如泰勒斯幾何定理的證明和在測量金字塔高度上的運用。他的學生畢達哥拉斯及其學派繼承和發揚了泰勒斯的論證幾何學，并且將數學概念抽象化，進一步推動了演繹數學的發展。畢達哥拉斯認為數是萬物的本質，有關數的理論構成了他的數學哲學的核心。雖然畢達哥拉斯學派的數學哲學產生了數學理性的萌芽，但仍屬于哲學思辨方法范疇。柏拉圖深化了畢達哥拉斯學派的數學理念，提出了“理念世界”的概念，主張通過數學了解現實世界，通過數學實現自己的目的。畢達哥拉斯與柏拉圖對數學的抽象理解和世界是按照數學理念構成的信念，為后來數學方法的發展起了奠定性功用。亞里士多德提出了演繹推理的一般原則：三段論法，創立了非常嚴密的形式邏輯體系。歐幾里得的《幾何原本》便是在亞里士多德的基礎上，把數學從古埃及、古巴比倫時的一門經驗科學轉變成了具有一般理論性程度的演擇科學。阿基米德將演繹方法和數學方法進行了有效結合，為數學方法的崛起打下基礎。

由于古代科學和哲學是一體的，哲學思辨方法占主導地位，數學方法并未得到足夠重視，對于科學的推進只是停留在淺層次上，還未形成強大的推動力。希臘時期之后中世紀數學進入低谷期，到13世紀，文藝復興的思想解放運動把自然哲學從神學的迷霧中拯救出來，并第一次使它廣泛地服務于對自然界的研究。到了16世紀之后，科學家的數學觀更加鮮明一致：科學的本質即數學，所有的現象都能用數學語言進行描述。“科學工作的最終目標是確立定量的數學上的規律”。

哥白尼提出日心說，用太陽取代地球位于宇宙的中心，然后以這一思想為基礎，構建了一個全新的宇宙數學模型，用簡潔的方式詮釋了天體的運行。丹麥天文學家第谷曾試圖折衷哥白尼的日心說與托勒密的地心說，之后在第谷原有的觀察基礎上，德國天體物理學家開普勒應用幾何方面的理論知識，將天體的結構與行星運動的過程予以展現出來，運用了理論應與觀測一致的科學方法論原則，證明了哥白尼天文學體系的正確性，并進一步得出行星運動的三大定律，找到了一個更為簡單的世界體系。

伽利略把數學方法和實驗方法結合起來應用于力學研究，取得了重大突破。他說：“盡管這些工匠懂得多，他們的知識并不真正是科學的，因為他們不熟悉數學，所以他們不能從理論上發展成果。”他第一個把數學方法應用于力學研究，并創立了理想化方法。他把實驗方法與數學方法相結合，推翻了亞里多士德的力學結論，發現了鐘擺定律、慣性定律、落體定律等。它不僅在科學理論方面為牛頓做了奠基，更為牛頓的物理學實驗提供了系統的實驗-數學方法。他按照數學方式對自然現象進行解釋，最后應用實驗驗證所得的結論，獲得了運動的三大定律與萬有引力定律，建立起自己的理論體系，成就輝煌而卓著。

在化學、生命學等學科發展中，也可以看到數學方法的貢獻。比如赫爾蒙特的“柳樹實驗”就是運用實驗-數學的方法得出“萬物始于水”的結論，哈維運用定量試驗推翻了蓋倫的動脈吸收理論，提出了血液循環理論。

笛卡爾總結了數學方法在力學、天文學中應用的成就，提出了方法論的四條基本原則，創立了數學一演繹法，并試圖將其推廣到一切領域。他用這種方法發現了動量守恒原理、慣性原理，創立了解析幾何。解析幾何的創立使數學發生了重大轉折。以強調實驗方法和歸納方法著稱的培根，實際上也注意到了數學方法在科學上所起的作用。他認為，數學是一門抽象化的科學，它以數量關系為研究對象，只有運用數學的方法才能表達和確定自然界的真理。他同時認為實驗與數學在科學研究中并不是相對立的，而是具有十分密切的關系，其中數學方法具有重要地位。

經過近代科學家和哲學家的努力，在17世紀末，確立了機械自然觀和實驗-數學的方法論，這也成為了近代科學區別于古代科學的標志。由以上史論我們可以看出，隨著一種科學方法的產生與發展，科學方法之間不停地摩擦融合，可以推動新方法、新理論的產生，科學研究可以突破以往的桎梏取得新的進展。科學的發展與科學方法的發展具有一致性，因此我們說一部科學史也是一部科學方法發展史。

2 數學方法發展對科學進步的作用

數學方法與科學似一對孿生兄弟，相伴發展，密不可分。這種關系決定了數學方法對科學發展有舉重若輕的作用，它是科學產生的搖籃，為科學進步披荊斬棘，不僅影響科學發展方向，直接推動科技進步，還通過自我完善和發展進一步促進科學理論的發展。

數學方法是科學認識的有效手段和工具，直接服務于科學認識，每一次數學領域的重大突破都成為科學進步的基礎條件。其作用和地位主要表現在以下幾個方面：

第一，幫助科研工作者發現新理論、提出新假說、作出新發明。科學研究是一項研究自然界中未知領域的活動，在研究假設是否成立、研究成果是否與假設一致等方面具有不確定性。因此科研人員需要應用與研究問題相契合的科學方法，否則不僅不會有新發現，還有可能誤入歧途，得出與自然規律相悖的結論，從而阻礙科技的發展進步。數學方法具有高度的抽象性和概括性、嚴密的邏輯性、高度的精準性和廣泛的應用度。這些特性決定了數學方法在揭示量與量關系時，其結果具有客觀實在性，并且還能深刻挖掘物質結構的層次性。

從歷史的發展進程看，相較于其他學科，數學發展具有超前性，平面幾何和代數都取得了輝煌的成就，被直接應用到實踐生活中，促進了各領域的進步。例如金字塔建造過程中應用了豐富的幾何知識和精確的計算方法，阿基米德將數學方法和試驗方法結合起來極大地推動了物理學的發展。雖然古代的數學方法帶有超前性，但仍被歸類于自然哲學之中，帶有籠統、膚淺和直觀猜測性等特征。直到文藝復興之后，數學方法結束混沌狀態，徹底從神學束縛中解脫出來，并直接作用于科學研究活動。它使科學認識集中于某一類問題上，使其成為一種目的性很強的認識活動。這種相對穩定和獨立的狀態直接推動了天文學、物理學等領域科學理論的迅猛發展。例如牛頓利用微積分推導出了萬有引力定律，并糾正了開普勒定律中存在的錯誤；惠更斯用數學方法創立了離心力公式，很快成為發現萬有引力定律的橋梁，牛頓稱其為“當代最偉大的幾何學家”。

第二，實現了數學方法從一學科領域到另一學科領域的移植。文藝復興后,近代科學的誕生和迅猛發展除了其他的社會因素外，研究方法的創新和發展也是一個重要因素。近代科學之所以能夠順利地從古希臘自然哲學中脫離出來，走上獨立發展的道路，數學-演繹方法功不可沒。從天文學、物理學到化學、生命科學，數學方法在多領域的廣泛應用成就了科學的欣欣向榮局面。

第三，推動了科學革命的成功。科學發展的歷史表明，一場科學革命的發生常常產生于科學方法的變革。當科學方法與科學發展的本質要求不符合時，便會產生“危機”。這種“危機”是原有理論無法克服的本質上的矛盾。在危機時期，科學家運用故有的科學方法、理論無法解決矛盾，甚至加深矛盾，只有運用新的思維方式和方法才能推動科學認識上質的飛躍。哥白尼的理論證明中數學方法的運用拉開了解決中世紀科學危機的序幕，伽利略數學-實驗方法的推廣推動了物理學、化學、生命學等多領域的科學發展。這場科學革命也數學方法“脫胎換骨”，不僅包含舊方法中的積極成分，還經過不斷地演繹、發展、結合，變成適合新范式的科學方法。

第四，它可以把哲學對科研活動的指導具體化、操作化。世界觀與方法論是一致的，有什么樣的世界觀就有什么樣的方法論。哲學是科學的深部基礎，它的作用在于為科學研究提供方法論,沒有哲學思維和邏輯范疇，科研活動難以深入。正如愛因斯坦所說的一樣，“相信有一個離開知覺主體而獨立的外在世界,是一切自然科學的基礎”。作為連接科學和哲學的橋梁，數學方法不僅輔助了科學研究，還推動了哲學的進步。在《方法談》中笛卡爾指出數學演繹方法具有不可錯性，只要前提正確，結論必然正確。這個正確的前提便是懷疑一切，“我思故我在”。從這個命題出發，笛卡爾提出了物質-心靈二元論，這也成為他科學研究的哲學基礎，為他在物理學原理方面的成就打下基礎。

綜上所述,無論從科學認識的常規階段，科學認識的革命階段,數學方法都體現出了自身價值和旺盛的生命力。雖然在許多社會科學分支沒有運用數學方法，這也并非表明不能應用數學方法，只能說明還沒產生與之相適應的數學工具。隨著學科建設的發展，越來越多的數學成果會找到應用領域，數學方法會伴隨著科學的發展而不斷進步，從而更有力的輔助科研活動。

［1］[美]莫里斯·克萊因.古今數學思想(第一冊）[M].上海科學技術出版社,P251.

［2］[英]斯蒂芬·S·梅森.自然科學史[M].上海譯文出版社.P142.