由佩爾方程想起

宋建章

由佩爾方程的演變和同余式的定理，用初等數論的一些方法，推導出素數的一些基本定理，拓寬人們對素數的認識。對佩爾方程的解法及數論其他方面的研究有所幫助。

我們知道佩爾方程x2-Dy2=1，D為給定的正數，當D不是一個平方數的情況下，具有無限多解。這里我們僅討論D為素數且D≡3（mod4）的情況。

即：x2-Dy2=1，D為素數且D≡3（mod4），D=4K0+3

設x2-Dy2=1的基本解為（x0，y0）時

一：若x0為奇數，y0為偶數。有：

x0-1=2y012 或 x0+1=2y012

x0+1=2Dy022 x0-1=2Dy022

y0=2y01y02 y0=2y01y02

得：y012-Dy022=-1（A） 得：y012-Dy022=1（B）

（A） 式不可能。因為二次同余式x2+1=0（modD）有解的充要條件是D≡-1（mod4）而這與D≡3（mod4）相矛盾[1]

（B）式因（x0，y0）是基本解，而解（y01 ，y02）小于基本解這不可能。

說明：x2-Dy2=1，D為素數且D≡3（mod4），D=4K0+3，其基本解（x0，y0），x0為偶數，y0為奇數。

二：若x0為偶數，y0為奇數。有

x0-1=y012 或 x0+1= y012

x0+1=Dy022 x0-1=Dy022

y0=y01y02 y0=y01y02

得：y012-Dy022=-2 （C） 得：y012-Dy022=2（D）

因 x0為偶數，y0為奇數。則y01?，y02 均為奇數，設y01 =2q+1

則：y012 -1=2q（2q+2）=4q（q+1）

因8|4q（q+1），故y012 ≡1（mod8），同理y022 ≡1（mod8）

根據（C）式：1-（4K0 +3）×1=-2（mod8），得K0 為偶數。

根據（D）式：1-（4K0 +3）×1=2（mod8），得K0 為奇數。

故知：佩爾方程x2-Dy2=1，D=4K0+3

當 K0為偶數，不定方程y012-Dy022=-2有解，得同余式 x2=-2（modD）有解。

當K0為奇數，不定方程y012-Dy022=2有解，得同余式 x2=2（modD）有解。

根據同余式x2=-2（modD）有解，將證明以下定理：

三：定理一，設D 是素數，且D=4K0+3，K0為偶數，則D=a2+2b2

舉例：179=92+2×72

證明：如果D=3時，則D=3=1+2×12，則D=a2+2b2 有解。

由同余式 x2=-2（modD）有解。因整數0，±1，±2…±（D-1）/2組成模D的完全剩余系。

假定x 是其中之一，因而存在整數x 與t ，其中|x|≦（D-1）/2

使得：x2+2=tD （t>0） <1>

且：t=（x2+2）/D<{（D/2）2+2}/D=D/4+2/D

因2=2×12，由<1>式有整數x，y，t（y=1）得：

x2+2y2=tD（1≦t

以下將證明若t>1，可調整x，y的值 ，使之減小到1。

設k>1，是最小整數使：kD=x12 +2y12 <3> 且不可能x≡y1≡0（modk）

由<2>式知：1、

用完全剩余系、0，±1，±2…可以假定：|x2|≦k/2，|y2|≦k/2 <5>

由<4>式得：x22+2y22=x12+2y12 ≡0（modk）

由<3>與<4>，存在整數m，使得：x22+2y22=km <6>

該文原載于中國社會科學院文獻信息中心主辦的《環球市場信息導報》雜志http：//www.ems86.com總第577期2014年第45期-----轉載須注名來源 則：m=（x22+2y22）/k≧1 ，由<5>式有：

m={（k/2）2+2×（k/2）2}/k=3k/4

即1≦m

K2mD=（x12+2y12）（x22+2y22）=（x1x2+2y1y2）2+2（x2y1-x1y2）2

再由（4）：x1x2+2y1y2≡x12 +2y12 ≡0（modk）

x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0（modk）

于由：mD={（x1x2+2y1y2）/k}2 +2{（x2y1-x1y2）/k}2

得：mD=x23 +2y32

這 與所設k是最小整數矛盾，問題得到證明，即：D可以寫成 a2+2b2 即：D=a2+2b2

當K0為奇數，根據 同余式 x2=2（modD）有解，將證明以下定理：

四：定理二，設D 是素數，且D=4K0+3，K0為奇數，則D=a2-2b2 。

補充說明：因 x2-2y2=1有解，故定理二有無限多解。

如：1031=372-2×132=592-2×352=…

證明：如果D=4×1+3=7=32-2×12，則D=a2-2b2有解。

由同余式 x2=2（modD）有解。因整數0，1，2…（D-1）組成模D的完全

剩余系。 假定x 是其中之一，因而存在整數x 與t ，其中x≦（D-1）

使得：x2-2=tD （t>0） <7>

且：t=（x2-2）/D<（D2-2）/D

因2=2×12，由<7>式有整數x，y，t（y=1）得：

x2-2y2=tD（1≦t

以下將證明若t>1，可調整x，y的值 ，使之減小到1。

設k>1，是最小整數使：kD=x12 -2y12 >0 <9> 且不可能x≡y1≡0（modk）

由<8>式知：1

用完全剩余系、0，1，2…（k-1）可以假定：

x2≦k-1，y2≦k-1，且x22-2y22 >0 <11>

由<10>式得：x22-2y22=x12-2y12 ≡0（modk）

由<9>與<10>，存在整數m，使得：x22-2y22=km <12>

因km=x22-2y22≦（k-1）2-2y22

有：

k2mD=（x12-2y12）（x22-2y22）=（x1x2-2y1y2）2-2（x2y1-x1y2）2

再由（10）：x1x2-2y1y2≡x12 -2y12 ≡0（modk）

x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0（modk）

于由：mD={（x1x2-2y1y2）/k}2 +2{（x2y1-x1y2）/k}2

得：mD=x23 -2y32

這與所設k是最小整數矛盾，問題得到證明，即：D可以寫成 a2-2b2 即：D=a2-2b2

五：結論 設D 是素數，且D=4K0+3，K0為偶數，則D=a2+2b2

設D 是素數，且D=4K0+3，K0為奇數，則D=a2-2b2

（作者單位：南通紫瑯混凝土有限公司實驗室）