例談巧解一元二次方程的兩種方法

殷國華

【摘 要】一元二次方程的常規(guī)解法一般是配方法、因式分解法和公式法。有些一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)數(shù)學(xué)較大，用公式法去解，計(jì)算量過大，用配方法去解會出現(xiàn)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算，用因式分解法去解難以入手，特別是沒有理數(shù)根的方程無法分解，本文介紹兩種解一元二次方程的特殊解法。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程 特殊解法

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.01.098

一、根的和、差、積法

這個方法一般用在一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)較大而二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程上。

例1：解方程x2+14x-207=0

設(shè)：方程的兩個根x1>x2，且x1-x2=k（k>0）

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=-14，x1x2=-207

那么（-14）+k=2x，-14-k=2x2

（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4x（-207）

（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4×（-207）

即142-k2=4×（-207），k2=142-4×（-207）=4（72+207）=4×256

k=2×16=32

因此，2x1=-14+32，x1=9，2x2=-14-32，x2=23。

例2：解方程x2-3x-16=0

解：設(shè)x1-x2=k 那么x1+x2=3

那么 k+3=2x1 k-3=2x2

（k+3）（k-3）=-4x1x2=4（-16）

k2-9=4×16 k2=64+9=73 k=■

因此 2x1=3=■，x1=■，2x2=3-■，x2=■

用上述兩例的解題方法可以推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。

設(shè)x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根。

由根與系數(shù)的關(guān)系定理知道

x1+x2=-b/a ① x1x2=c/a ②

若x1-x2=k（k>0） ③

①-③得2x2=-b/a+k ④

④×⑤得（-b/a+k）（-b/a-k）=4x1x2 ⑥

②代入⑥得（-b/a+k） （-b/a-k）=4c/a

即（■）■-k2=4■ k2=■-4■=■

a=■將它代入④和⑤得

2x■=■，2x■=-■-■

所以x1=■，x2=■

二、新配方法

新配方法可避免復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，對于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程用此方法最好。

例1：解方程49x■+28x-12=0

分析：本方程的特點(diǎn)是二次項(xiàng)系數(shù)49是7的完全平方數(shù)，并且一次項(xiàng)系數(shù)28有因數(shù)7，方程可變形為：

（7x）2+4×（7x）-12=0

解：對方程（7x）2+4×（7x）-12=0進(jìn)行配方

（7x）2+4×（7x）+4=12+4

（7x+2）2=16， （7x+2）2-16=0

分解因式得（7x+2+4）（7x+2-4）=0

即（7x+6）（7x-2）=0 x1=-■，x■=■

例2：解方程 12x2-16x-11=0

分析：方程的二次項(xiàng)系數(shù)12不是完全方數(shù)，若方程兩邊都乘以3，則方程變?yōu)椋?/p>

36x2-48x-33=0，再按例1的方法變形為（6x2）-8×（16x）-33=0

配方求解：（6x）2-8×（6x）+16=33+16

即（6x-4）2=49，（6x-4）2-49=0

分解因式（6x-4-7）（6x-4+7）=0

即（6x-11）（6x+3）=0 x■=■，x■=-3

例3：17x2-38x+5=0

分析：方程的二次項(xiàng)系數(shù)17是質(zhì)數(shù)，方程兩邊只能乘以它本身才能使二次項(xiàng)系數(shù)成為完全平方數(shù)，就是：17×17x2-38×17x+5×17=0再寫

（17x）2-38×（17x）+5×17=0

配方求解：（17x）2-38×（17x）+192=192-5×17

即（17x-19）2=361-85=4×69

（17x-19）2-4×69=0

分解因式得（17x-19+2■）（17x-19-2■）=0

x1=■，x2=■

新配方法解一元二次方程同樣可以推導(dǎo)它的求根公式

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次項(xiàng)系數(shù)a不是一個完全平方的形式。如果兩邊都以a，則方程變?yōu)閍2x2+abx+ac=0，這時二次項(xiàng)系數(shù)雖然成為完全平方的形式，但一次項(xiàng)系數(shù)ab沒有2年因數(shù)，所以配方時分式的出現(xiàn)仍不可避免，為了即使二次項(xiàng)系數(shù)為完全平方數(shù)，又要使一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù)2，我們給原方程兩邊都乘以4a，則方程成為：

4a2x2+4abx+4ac=0

移常數(shù)項(xiàng)，配新常數(shù)項(xiàng)，得：

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

即（2ax+b）2=b2-4ac，或（2ax+b）2-（b2-4ac）=0

分解因式（2ax+b+■）（2ax+b-■）=0

由2ax+b+■=0得x=■

由2ax+b=■=0得x=■

推導(dǎo)過程沒有分式運(yùn)算，這樣比較簡要。