風(fēng)速分布模型在系統(tǒng)可靠性評(píng)估中的應(yīng)用

李 慧

（北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100192）

風(fēng)能是清潔的可再生能源，近年來(lái)，因其發(fā)電成本低廉和技術(shù)成熟已成為電力系統(tǒng)中相對(duì)增長(zhǎng)較快的新能源。但與其他傳統(tǒng)發(fā)電相比，風(fēng)速具有隨機(jī)性、波動(dòng)性和間歇性，直接影響風(fēng)電場(chǎng)的輸出功率，導(dǎo)致風(fēng)電并網(wǎng)后對(duì)電力系統(tǒng)的可靠性評(píng)估變得復(fù)雜。究其原因，主要存在兩點(diǎn)：第一，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出功率取決于風(fēng)速，而當(dāng)前時(shí)刻的風(fēng)速值是一個(gè)服從統(tǒng)計(jì)分布的隨機(jī)量，風(fēng)速預(yù)測(cè)的精度相對(duì)于負(fù)荷預(yù)測(cè)而言較低；第二，風(fēng)機(jī)的輸出功率與風(fēng)速之間的關(guān)系是非線性的。因此，對(duì)于含有風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)，需要建立正確的可靠性模型并分析其可靠性。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)含有風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估研究較多。文獻(xiàn)[1]建立了基于序貫蒙特卡羅方法的風(fēng)電場(chǎng)發(fā)輸電可靠性模型；文獻(xiàn)[2]提出改進(jìn)相關(guān)矩陣蒙特卡洛模擬法與拉丁超立方采樣法相結(jié)合的多維相關(guān)風(fēng)速抽樣方法用于含有多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的發(fā)輸電系統(tǒng)可靠性評(píng)估；文獻(xiàn)[3]考慮風(fēng)速和負(fù)荷預(yù)測(cè)誤差的隨機(jī)性、風(fēng)力發(fā)電機(jī)組和常規(guī)機(jī)組的停運(yùn)率，應(yīng)用分散抽樣蒙特卡洛算法對(duì)含風(fēng)電場(chǎng)的發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評(píng)估；文獻(xiàn)[4]利用歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到風(fēng)機(jī)的出力概率分布圖，并利用蒙特卡洛算法，對(duì)各種條件下風(fēng)電并網(wǎng)后的電力系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評(píng)估；文獻(xiàn)[5]考慮風(fēng)電機(jī)組故障，將風(fēng)電場(chǎng)可用容量的概率分布與可用風(fēng)能的概率分布相結(jié)合，計(jì)算出風(fēng)電場(chǎng)輸出功率的概率分布，得到系統(tǒng)可靠性模型；文獻(xiàn)[6]建立了多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)通用的風(fēng)速概率分布模型，只需知道風(fēng)電場(chǎng)的年平均風(fēng)速和標(biāo)準(zhǔn)差就可以求解該風(fēng)電場(chǎng)的概率分布；文獻(xiàn)[7]在通用風(fēng)速模型基礎(chǔ)之上，綜合考慮風(fēng)機(jī)的輸出功率特性以及風(fēng)向的統(tǒng)計(jì)分布特性，建立了風(fēng)電場(chǎng)的發(fā)電可靠性評(píng)估模型。然而，上述方法在進(jìn)行風(fēng)速建模時(shí)均是在加入其他約束或假設(shè)的前提下，用確定的數(shù)學(xué)函數(shù)擬合風(fēng)速分布規(guī)律。實(shí)際上，風(fēng)的不確定性無(wú)法用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)描述，尤其當(dāng)出現(xiàn)雙峰分布情況時(shí)，威布爾分布擬合效果較差[8-10]，從而導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性評(píng)估的結(jié)果往往偏差較大。

最大熵原理在電力系統(tǒng)研究中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，如風(fēng)電功率預(yù)測(cè)[11]、電力系統(tǒng)故障選線[12]、狀態(tài)估計(jì)及控制[13]等。文獻(xiàn)[14-15]通過(guò)最大熵原理得到權(quán)重因數(shù)，對(duì)各種不同預(yù)測(cè)方法的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)，從而改進(jìn)了風(fēng)電預(yù)測(cè)的精度，本文思路與其類似，從風(fēng)速的測(cè)量結(jié)果中得到約束條件，利用最大熵原理求解出滿足約束條件的最大熵分布作為風(fēng)速的真實(shí)分布。但是，相比以往使用的威布爾分布，本文提出的風(fēng)速分布擬合方法未引入人為假設(shè)，從信息論的角度給出一種更為一般化的方法，從而能夠更好地?cái)M合各種環(huán)境下的風(fēng)速分布。

本文運(yùn)用最大熵原理，提出了一種新的風(fēng)速分布建模方法用于風(fēng)電系統(tǒng)可靠性評(píng)估。該方法采用歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)的1 階原點(diǎn)矩和2～4 階中心矩?cái)M合得到風(fēng)速分布模型，并結(jié)合風(fēng)機(jī)出力模型和傳統(tǒng)機(jī)組出力模型的卷積結(jié)果來(lái)獲得系統(tǒng)總的出力模型，通過(guò)計(jì)算充裕性指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的可靠性。

1 基于最大熵原理的風(fēng)電可靠性評(píng)估方法

1.1 基于最大熵原理的風(fēng)速分布估計(jì)方法

最大熵原理由Jaynes 在1957年提出[16]：在對(duì)只掌握部分信息情況下的分布做出推斷時(shí)，應(yīng)該取符合約束條件但熵值最大的概率分布，這是唯一的不偏不倚的選擇，任何其他的選擇均添加了約束或假設(shè)。該原理成功地應(yīng)用在光學(xué)圖像復(fù)原、譜估計(jì)、綜合負(fù)荷預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。

1）最大熵原理求解的問(wèn)題

某未知連續(xù)隨機(jī)變量X，欲求其概率密度函數(shù)q（x）。已知其若干函數(shù)的期望為

2）最大熵原理求解的思路

取微分熵最大為目標(biāo)函數(shù)

而概率密度函數(shù)必須滿足

在式（1）和式（3）作為約束條件情況下，以微分熵最大為目標(biāo)函數(shù)得到的最優(yōu)解即為對(duì)于變量X 分布的最優(yōu)推斷。

3）最大熵原理求解的方法

引入拉格朗日Lagrange 乘子進(jìn)行求解。取

則

式中，λ0=β+1。將式（6）代入約束條件（1）和（3）中，便可解出各乘子λm（m=0，1，…，M）。

本文選取實(shí)測(cè)歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)的1 階原點(diǎn)矩、2～6 階中心矩等統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述風(fēng)速的分布。原因是1 階原點(diǎn)矩描述了風(fēng)速的平均大小，2 階中心矩體現(xiàn)了風(fēng)速的方差，而3 階以上中心矩反映了風(fēng)速波形的情況。上述風(fēng)速分布統(tǒng)計(jì)量可由原點(diǎn)矩和中心矩的定義獲得，對(duì)應(yīng)的部分表達(dá)式為

式中，EV 為風(fēng)速的期望。

為了保證選取的約束條件能夠較好地刻畫(huà)風(fēng)速分布，本文對(duì)風(fēng)速統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，確定中心矩的階數(shù)。具體方法為：在同一地點(diǎn)隨機(jī)抽取不同時(shí)間段的風(fēng)速，分別計(jì)算2～6 階中心矩，統(tǒng)計(jì)出各自的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，將標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值作為檢驗(yàn)指標(biāo)，當(dāng)比值小于給定的閾值（由試驗(yàn)所得）時(shí)，則判斷該中心矩能反映風(fēng)速的固有特征。然后，將式（6）、（7）代入式（1），便可求解出拉格朗日乘子，從而得到風(fēng)速累計(jì)分布函數(shù)為

1.2 基于最大熵的風(fēng)電可靠性評(píng)估建模與步驟

1.2.1 風(fēng)機(jī)出力模型

風(fēng)電機(jī)組的輸出功率由風(fēng)機(jī)本身參數(shù)與安裝所在地風(fēng)況共同決定。在確定風(fēng)速模型之后，便可通過(guò)功率輸出特性曲線[17]來(lái)表征風(fēng)速與風(fēng)機(jī)輸出功率的關(guān)系，即風(fēng)電機(jī)組輸出特性。風(fēng)電機(jī)組通常是在風(fēng)速達(dá)到切入風(fēng)速vci以上才開(kāi)始工作，當(dāng)風(fēng)速達(dá)到額定風(fēng)速vr以上時(shí)，即以額定功率值穩(wěn)定輸出，當(dāng)風(fēng)速高于切出風(fēng)速vco時(shí)，則必須停機(jī)以保證風(fēng)機(jī)的安全。所以，用分段函數(shù)來(lái)表達(dá)風(fēng)速-功率特性最為合適。其中，在切入風(fēng)速vci到額定風(fēng)速vr這個(gè)區(qū)間內(nèi)有多種關(guān)于功率特性的表達(dá)式，由文獻(xiàn)[7]可知，采用二項(xiàng)式形式建立的風(fēng)電機(jī)組輸出功率模型較準(zhǔn)確，本文取二項(xiàng)式形式作為風(fēng)電機(jī)組輸出功率表達(dá)式，即

式中：Pr表示機(jī)組的額定功率；v 表示風(fēng)速；A、B 和C 分別為風(fēng)機(jī)功率特性曲線參數(shù)，其表達(dá)式為

風(fēng)電場(chǎng)通常是由許多處于同一地理位置、規(guī)格相同的風(fēng)機(jī)單元組成，因此風(fēng)機(jī)總出力可以通過(guò)將各臺(tái)風(fēng)機(jī)的風(fēng)速對(duì)應(yīng)出力相加得到。由于本文重點(diǎn)是考慮最大熵原理所擬合的風(fēng)速分布效果，故假定所有風(fēng)機(jī)的風(fēng)速一致。由風(fēng)速概率分布和風(fēng)電機(jī)組輸出特性可以得到風(fēng)電機(jī)組輸出功率的累積概率分布，如式（10）～式（12）所示。

（1）當(dāng)0 ＜v ≤vci或v ＞vco時(shí)，Pow=0，則

（2）當(dāng)vci＜v ≤vr時(shí)，0 ＜Pow≤Pr，則

（3）當(dāng)vr＜v ≤vco時(shí)，Pow=Pr，則

1.2.2 引入風(fēng)機(jī)后的系統(tǒng)出力模型

文獻(xiàn)[18]給出了由停運(yùn)概率表所表示的傳統(tǒng)發(fā)電機(jī)組的出力概率分布。可是，當(dāng)引入風(fēng)電機(jī)組后，系統(tǒng)的總出力等于風(fēng)機(jī)發(fā)電和傳統(tǒng)機(jī)組發(fā)電的總和，此時(shí)停運(yùn)概率表的獲取方法略有不同。本文采用通用生成函數(shù)法[19]，將風(fēng)機(jī)的出力離散化，與傳統(tǒng)機(jī)組出力的概率分布函數(shù)進(jìn)行卷積，即可得到系統(tǒng)總出力的概率分布。方法是：先構(gòu)造兩個(gè)自變量為z 的函數(shù)，分別為U1（z）和U2（z），即

式中：x1i和x2j分別表示第i 臺(tái)風(fēng)機(jī)和第j 臺(tái)傳統(tǒng)機(jī)組的出力；p1i和p2j分別表示第i 臺(tái)風(fēng)機(jī)和第j 臺(tái)傳統(tǒng)機(jī)組對(duì)應(yīng)的出力概率。于是，系統(tǒng)總的出力概率分布計(jì)算公式為

對(duì)式（14）的計(jì)算結(jié)果合并同類項(xiàng)，便得到系統(tǒng)總的出力概率分布，由此獲得對(duì)應(yīng)的停運(yùn)概率表。

1.2.3 系統(tǒng)充裕度評(píng)估模型

為了驗(yàn)證基于最大熵原理的風(fēng)速擬合方法能更好地用于對(duì)未來(lái)的系統(tǒng)可靠性進(jìn)行評(píng)估，本文采用充裕性指標(biāo)——失負(fù)荷概率LOLP（loss of load probability）為計(jì)算比較對(duì)象，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：Cj為發(fā)電機(jī)j 的發(fā)電能力；Li為負(fù)荷i 的大小。系統(tǒng)的LOLP 值表示給定時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)電機(jī)出力小于負(fù)荷總量的狀態(tài)全集的概率之和，它評(píng)價(jià)了系統(tǒng)發(fā)電能力的充裕性。

基于最大熵原理的風(fēng)電系統(tǒng)可靠性評(píng)估計(jì)算流程如圖1 所示。

圖1 基于最大熵原理的風(fēng)電系統(tǒng)可靠性評(píng)估流程Fig.1 Flow chart of system reliability evaluation based on the maximum entropy principle

2 算例結(jié)果與分析

本文測(cè)試所用的風(fēng)速數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)國(guó)家可再生能源實(shí)驗(yàn)室NREL（national renewable energy laboratory）的西部風(fēng)力資源數(shù)據(jù)集[20-22]，每10 min采集一個(gè)數(shù)據(jù)。本文將其2005年全年的風(fēng)速數(shù)據(jù)作為樣本集，用于擬合風(fēng)速分布，將2006年全年的風(fēng)速數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，用于驗(yàn)證風(fēng)速擬合方法在系統(tǒng)可靠性評(píng)估中的正確性和合理性。

2.1 風(fēng)速分布建模及對(duì)比

將2005年全年的風(fēng)速數(shù)據(jù)按照季節(jié)不同分成4 部分，分別對(duì)4 個(gè)季節(jié)和全年的風(fēng)速統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，如表1 所示。

以全年風(fēng)速數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)為例，由表1 可以看出，2～4 階中心矩的波動(dòng)指標(biāo)均小于7%，已滿足代表風(fēng)速固有特征的需求，所以選取2～4 階中心矩即可，其對(duì)應(yīng)的約束條件為

表1 風(fēng)速統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)Tab.1 Test of the statistics %

按第1.1 節(jié)中所述方法求解出拉格朗日乘子，得到與之對(duì)應(yīng)的風(fēng)速概率密度函數(shù)為

采用最大熵原理與兩參數(shù)威布爾分布2 種方法分別對(duì)2005年全年的風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其各自的風(fēng)速概率密度函數(shù)如圖2 所示。可以看出，當(dāng)風(fēng)速小于6 m/s 時(shí)，最大熵原理比威布爾分布更能逼近實(shí)際風(fēng)速，真實(shí)地反映單峰情況下風(fēng)速的分布特點(diǎn)。

圖2 2005年全年2 種分布的風(fēng)速概率密度函數(shù)Fig.2 Two probability density functions of wind speed in 2005

2.2 充裕性評(píng)估對(duì)比

本文用Matlab 編寫(xiě)程序，選擇RBTS（roy billinton test system）為可靠性測(cè)試系統(tǒng)，其單線圖如圖3 所示。該系統(tǒng)包括2 個(gè)發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)（PV 節(jié)點(diǎn)）、4 個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)（PQ 節(jié)點(diǎn)）、10 條傳輸線和11 個(gè)發(fā)電機(jī)組，發(fā)電機(jī)組的最小額定功率是5 MW，最大是40 MW，傳輸線的電壓等級(jí)是230 kV，電壓限制為1.05 p.u.和0.97 p.u.，系統(tǒng)的峰值負(fù)荷是185 MW，總裝機(jī)容量是240 MW，系統(tǒng)元件的具體參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[23]。

圖3 RBTS 系統(tǒng)單線圖Fig.3 Single line diagram of RBTS

為了驗(yàn)證最大熵分布適用于風(fēng)電可靠性評(píng)估，考慮在原有測(cè)試系統(tǒng)上加入了20 MW 的風(fēng)電機(jī)組，對(duì)應(yīng)的風(fēng)電滲透率為7.7%。由文獻(xiàn)[24]可知，風(fēng)機(jī)的強(qiáng)迫停運(yùn)率對(duì)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)影響非常小，故本文忽略風(fēng)電機(jī)組故障率的影響。

表2 列出了采用最大熵原理和威布爾分布2種風(fēng)速分布建模方法后預(yù)測(cè)得到的2006 全年和4個(gè)季節(jié)的系統(tǒng)充裕性評(píng)估指標(biāo)LOLP 值（10-4）及其與實(shí)際值的偏差。圖4 為2005年夏季兩種分布的風(fēng)速概率密度函數(shù)對(duì)比圖。

表2 兩種風(fēng)速擬合方法得到的可靠性指標(biāo)Tab.2 Reliability index calculated by two fitting methods of wind speed

圖4 2005年夏季兩種分布的風(fēng)速概率密度函數(shù)Fig.4 Two probability density functions of wind speed in the summer of 2005

由表2 可以看出，全年和春季情況下兩種方法得到的LOLP 值與實(shí)際值都很接近，且最大熵原理得到的結(jié)果更優(yōu)；而其他季節(jié)下二者的LOLP 值略偏離實(shí)際值（秋季更為嚴(yán)重），原因是沒(méi)有考慮不同年份之間風(fēng)速分布的變化。但是，總體來(lái)說(shuō)，最大熵原理仍優(yōu)于威布爾分布，以夏季為例，風(fēng)速分布在2 m/s 和6 m/s 左右出現(xiàn)雙峰的情況（見(jiàn)圖4），比較二者的偏差指標(biāo)分別為5.67%和7.12%，由此說(shuō)明最大熵原理獲得的風(fēng)速分布更能反映實(shí)際情況。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種基于最大熵原理的風(fēng)速分布模型用于風(fēng)電場(chǎng)可靠性評(píng)估，以RBTS 測(cè)試系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了方法的正確性和實(shí)用性。該方法不僅能對(duì)單峰情況的風(fēng)速分布進(jìn)行有效擬合，而且對(duì)多峰的風(fēng)速分布也有較好地?cái)M合效果，從而為含有風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估提供了有利保障。

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