一類二階多點邊值問題在共振條件下的可解性

張海波

(吉林化工學院理學院，吉林吉林132022)

1 預備知識

微分方程多點邊值問題在應用數學和物理等不同的領域有著重要的應用，如:彈性力學、核物理、化學工程、地下流水等很多問題都可以歸結為邊值問題的研究.近年來，對于多點邊值問題的研究取得了不少結果，如文［1-4］，本文給出了二階多點邊值共振問題

這里f:［0，1］×R2→R=(-∞，+∞)是連續函數，其中 e(t)∈L1［0，1］，βi∈R，i=1，2，…，m-2，βi取不同的符號，0＜ ξ1＜ ξ2＜ … ＜ ξm-2.本文主要應用Mawhin重合度理論討論共振條件下的二階多點邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.

定義1.1 設L:domL?X→Y是一個零指標的Fredholm映射.如果Ω?X是一個有界開子集，domL∩ Ω ≠ φ ，且 QN(Ω)有界，Kp(IQ)N:Ω→X是緊的，則稱N:X→Y在Ω上是L-緊的.

引理1.1 (Arzela-Ascoli引理)為了使F?C［0，1］是一個列緊集，必須且僅須F是一致有界且等度連續的函數族.

引理1.2［5］設 L是零指標的 Fredholm 算子，N在Ω上是L-緊的.假設

(i)Lx≠ λNx，?(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ?Ω］× (0，1);

(ii)Nx?ImL，?x∈KerL∩?Ω;

(iii)deg(JNQKerL，Ω ∩ KerL，0)≠0 .

其中Q:Y→Y是一個投影，滿足ImL=KerQ，則方程Lx=Nx在domL∩Ω中至少有一個解.

本文所用的 Banach 空間是 Ck［0，1］(k=0，1)和 L1［0，1］.對 x ∈ C1［0，1］時，定義 ‖x‖∞= maxt∈［0，1］x(t) ， ‖x‖ = max{‖x‖∞，‖x＇‖∞}，記 L1［0，1］的范數為 ‖·‖1.我們還將用到Sobolev空間，Sobolev空間定義為:

W2，1(0，1)={x:［0，1］→ R:x，x＇在［0，1］上絕對連續，x″∈ L1［0，1］}.

記 X=C1［0，1］，Y=L1［0，1］.定義線性算子L:domL∩X→Y如下:

N(x)=f(t，x(t)，x＇(t))+e(t)， ?x∈X ，

其中

domL= {x ∈ X:x″∈ L1［0，1］}，

則邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)就能寫成算子方程Lx=Nx.

2 主要結果

在這部分，我們將利用重合度理論證明邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.為此，我們先給出一些引理.

定理2.1 設 f:［0，1］×R2→ R是連續函數，e(t)∈L1［0，1］.如果滿足下列條件:

則邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］上至少存在一個解.

這里J:Ker(L)→Im(Q)是自然同構，定義J(ct)=c，則由(H3)可證得Ω3是有界的.

(C1)Lx≠ λNx，?(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ?Ω］× (0，1);

(C2)Nx?ImL，?x∈KerL∩?Ω;

(C3)令 H(x，λ)= ± λx+(1- λ)JQNx，則有

H(x，λ)≠0，x∈ KerL∩ ?Ω .

從而由拓撲度的同倫不變性，可得

故由引理1.2，得到方程Lx=Nx在domL∩Ω 中至少有一解，從而邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］中至少存在一個解.

［1］ V.A.ll’in，E.I.Moiseev.Nonlocal boundary value problem of the first kind a Sturm Liouville operator in its differential and finite difference aspects［J］.Differential Equations.1988，23(27):803-810.

［2］ Du Zeng-ji，Bai Zhan-bing Ge Wei-gao.Existence Results of Third Order Multi-Point Boundary Value Problem at Resonance［J］.J.Beijing Inst.Technol，2005，14(4):449-452.

［3］ 薛艷春，葛渭高.共振條件下一類三階m-點邊值問題解的存在性［J］.數學學……